关于交互项的那些事（一）：什么是交互项？

计量经济学的初学者经常困惑于交互项的含义，以及在实证研究中如何取舍交互项。事实上，如果善于使用交互项，或许可以为你的论文增色不少。本文就来聊聊关于交互项的那些事。

什么是交互项？

考虑简单的二元线性回归模型：

不难看出，如果忽略扰动项，则此模型的回归系数即为相应解释变量对 的边际效应（marginal effect），比如：

由此可知，线性模型的方便之处在于，解释变量的边际效应一直是常数，而且就等于其回归系数。因此，线性模型非常容易解释。

现在考虑稍微复杂的模型：

其中，与的乘积 即为“交互项”（interaction term），也称为“交叉项”、“互动项”。

如何解释交互项？

应该如何解释交互项前面的回归系数 呢？我们继续通过边际效应来考察（依然忽略扰动项）：

从上式可知，加入交互项后，解释变量对的边际效应依赖于解释变量，不再是常数，而是的线性函数。

如果，则对的边际效应随着的增大而上升，这有时在市场营销中称为“协同效应”（synergy effect）。

反之，如果，则随着的增大，对的边际效应反而下降。

如果对上式继续求混合偏导数，可得：

因此，交互项之前的回归系数，也称为“交互效应”（interaction effect），或“调节效应”（moderating effect），即对的作用受到的调节。

当然，由于混合偏导数可以交换变量次序，故也可以通过考察对的边际效应来解释交互项的经济含义： 

为何使用交互项？

通过以上介绍，不难看出使用交互项的一些常见场景：

（1）如果解释变量的边际效应不是常数，此时可考虑引入交互项，使得某解释变量的边际效应依赖于另一解释变量。当然，也可以考虑加入平方项（仍可通过求偏导数来解释其经济含义）。

（2）如果真实模型（true model）为包含交互项的非线性模型，则简单的线性模型将遗漏此交互项，从而导致“遗漏变量偏差”（omitted variable bias）：

其中，扰动项 必然与解释变量、相关，导致内生性。因此，在回归方程中加入交互项，可能有助于缓解遗漏变量偏差。

（3）通常线性模型所说的“故事”（story）过于简单（比如，对有作用），可能文献中早已做过。而如果在模型中加入交互项 ，则会使得你的故事变得更为深入而微妙，比如，不仅对有作用，而且此作用还依赖于；然后进一步讨论，此依赖性为正还是负，以及其产生机制，从而为你的论文添色。

关于交互项的进一步讨论，比如引入交互效应的副作用（多重共线性等），使用交互项的注意事项，非线性模型中的交互项，以及如何在Stata中画“交互效应图”（interaction plot）等重要话题，将在下期推文中继续介绍。

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参考文献

陈强，《高级计量经济学及Stata应用》，第2版，高等教育出版社，2014年。

陈强，《计量经济学及Stata应用》，高等教育出版社，2015年。（配套教学视频，可在网易云课堂学习）

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