工具＆方法丨关于交互项的那些事（二）：画交互效应图原来如此简单

在上期推文中，我们从边际效应（求偏导数）的角度考察了交互效应的经济含义。这隐含地假设了，在交互项的两个变量中，至少有一个为连续变量，故可以求偏导数。显然，如果两个变量都是离散变量（比如虚拟变量），则此法不通，因为无法求导数。

但离散变量的交互效应也有其方便之处，可以将相应的回归方程用分段函数来表示。比如，考虑如下包含交互项的模型：

其中， 为虚拟变量，而  为连续变量（如也为离散变量，可类似讨论），则此模型可写为

这意味着，如果根据虚拟变量  取值为0或1将全样本分为两个子样本，则这两个子样本所对应的回归方程并不相同（截距项与斜率均可不同）。对于分段函数，很容易用画图的方法来形象地展示，即所谓“交互效应图”（interaction plot）。

下面以Stata手册（Stata Manual）所提供的案例进行示范。我们使用的数据集为nhanes2，来自Second National Health and Nutrition Examination Survey (NHANES II)，包含10,351名美国人在1976-1980间的健康数据。

被解释变量为“bpsystol”（systolic blood pressure，收缩压），而解释变量为“agegrp”（age group，年龄组）与“sex”（性别）。其中，agegrp为离散变量（分类变量），而sex为虚拟变量。

首先，载入数据集，并考察agegrp与sex的分布。

. use http://www.stata-press.com/data/r15/nhanes2

. tab agegrp sex

从上表可知，变量sex的参照组为男性（1=male，即sex=0），而另一组为女性（2=female，即sex=1）。变量agegrp则分为六类，分别对应于年龄在20-29，30-39，40-49，40-59，60-69，以及70岁以上的个体。

如果要手工书写此回归方程，则需首先根据agegrp定义五个虚拟变量（其中的某一类，比如20-29年龄组可作为参照类，无须放入回归方程），然后手工生成一系列与sex的交互项，此过程有些繁琐。Stata很贴心地提供了一个命令，即可轻松搞定包含交互项的回归：

. regress bpsystol agegrp##sex

其中，“agegrp##sex”表示既包含根据agegrp所生成的虚拟变量与sex虚拟变量（即所谓“主效应”，main effects，就是一次项），也包含agegrp系列的虚拟变量与sex的交叉项（即一系列的交互项）。

从上表可知，所有交互效应（五个交互项）均在1%水平上显著为正，且此交互效应随着年龄组而上升。然而，女性虚拟变量本身（Female）则显著为负。

更直观地，我们可通过画“交互效应图”（interaction plot）来考察。为此，首先计算在agegrp与sex的不同组合下（共有6x2 = 12种可能情形），被解释变量的平均拟合值，即所谓“predictive margin”（拟合边际）。

. margins agegrp#sex

其中，“agegrp#sex”表示将“agegrp”与“sex”相乘。

其中，第1行（20-29#Male）的第1列Margin值表示，对于样本中20-29岁的男性子样本，其被解释变量bpsystol的平均拟合值为123.8862；以此类推。显然，此“拟合边际”（子样本的平均拟合值）为样本数据的函数，故也是随机变量，上表中还给出了使用Delta Method计算的标准误，以及相应的t统计量、p值与95%置信区间。

下面将上表的拟合边际及其标准误用画图表示：

. marginsplot

其中，横轴为年龄组，蓝点线表示男性，红点线表示女性，而纵轴为相应子样本的拟合边际，即“线性预测”（Linear Prediction）。

如果性别对于“年龄组对收缩压的作用”并无影响，则上图中的蓝线与红线应相互平行；但蓝线与红线实际上交叉了，故直观上可判断存在交互效应。

进一步，对于最年轻的20-29岁年龄组，男性的平均血压高于女性，且二者的95%置信区间并无交叠，故此年龄组的男性平均血压“似乎”显著地高于女性。然而，对于最高龄的70岁以上组，女性平均血压“似乎”反而高于男性。这里之所以强调“似乎”，因为此结论并不严格。严格的统计推断需要根据“男性平均血压减去女性平均血压之差”来构建置信区间，而上述置信区间分别只是男性平均血压与女性平均血压的置信区间。

为了进一步考察两性之间的平均血压是否存在显著差异，可使用以下命令来计算在给定年龄组，当性别从“男性”（sex=0）变为“女性”（sex=1）时，对于血压的“平均边际效应”（average marginal effects）：

. margins agegrp, dydx(sex)

直观上，此命令表示，在给定agegrp的情况下，把被解释变量对sex求导数（dydx）。但因为sex为虚拟变量，故其实表示当sex从0变为1时被解释变量bpsystol的平均变化（discrete change from the base level）。这相当于计量经济学中的“平均边际效应”（average marginal effects），因为在存在交互项的情况下，边际效应并非常数，而随着样本点而变。

其中，第1部分的“1.sex”表示作为基准的男性，故不显示结果（base outcome）。而第2部分的“2.sex”则表示女性，其第1行（20-29）的第1列dy/dx值表示，相对于样本中20-29岁的男性子样本，同年龄组的女性子样本的平均拟合值更低12.60132；以此类推。

上表也提供根据Delta Method计算的标准误，以及相应的t统计量、p值与95%置信区间。特别地，对于50-59岁年龄组，男性与女性子样本的平均血压并无显著差异（p值为0.495）。

将上表的结果更直观地画图：

. marginsplot, yline(0)

其中，选择项“yline(0)”表示在纵轴为0的位置画一条水平线。

从上图可知，对于20-29，30-39，40-49岁组，女性平均血压均显著低于同年龄组的男性平均血压；对于50-59岁组，二者无显著差异（因为95%置信区间包含0）；而对于60-69岁与70岁以上组，此关系反转，女性平均血压反而显著高于同年龄组的男性平均血压。

为何出现此反转？前面的回归结果告诉我们，所有交互效应均显著为正，是否与此矛盾呢？其实，上图的拟合边际之变化考察的是总效应，也包含了女性虚拟变量本身的显著负效应。正是因为交互效应显著为正，且随着年龄组不断增大，才使得女性的平均血压从年轻组的显著低于男性，而逐渐反转为老年组的显著高于男性。

关于交互项的进一步讨论，比如交互效应的副作用（多重共线性等），使用交互项的注意事项，非线性模型中的交互项等重要话题，将在下期推文中继续介绍。

参考文献

陈强，《高级计量经济学及Stata应用》，第2版，高等教育出版社，2014年

陈强，《计量经济学及Stata应用》，高等教育出版社，2015年（配套教学视频，可在网易云课堂学习）

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