老姚专栏丨透过流感事件理解贝叶斯推理

本文共2828个字，细读大约需要8分钟

“ 概率论只是把常识用数学公式表达了出来。

——拉普拉斯

”

前段时间流感肆虐，笔者在跑医院之余，竟然对此观点有了更深的体会。流感与普通感冒的显著不同之处是，前者通常伴随着持续性高烧，而后者很少会有这样的症状。那么，若某人在流感肆虐期间持续高烧，则我们会认为此人大概率中了流感的“招”。这一看似简单、符合直觉的判断，本质上就是贝叶斯推理。

贝叶斯推理的基本思想是：我们首先对事物存在的可能性具有一个先验判断，然后根据新的信息对先验判断进行修正，最后获得一个基于新信息的对事物存在可能性的后验判断。例如，流感肆虐意味着某个感冒患者患上流感的可能性较大，这就是先验判断；如果此人持续发高烧，那么根据这一新信息，我们认为此人患上流感的可能性就更大了，而这就是后验判断。

#01

贝叶斯法则及其直觉

贝叶斯推理的基本思想可形式化为一个公式，亦称贝叶斯法则。基于具体数值，我们可以直观地推导出此公式。不妨首先假设——

在流感高发期，一个感冒患者有60%的概率属于流感患者——这一先验概率既可能来自于我们的主观猜测，也可能来自于以前的统计结果。鉴于近来流感肆虐，根据这个先验概率，我们形成先验判断：在近来的1000位感冒患者中，估计有600人所患的是流感。接下来假设，医学研究表明：一方面，一个流感患者持续高热的概率为90%，那么在600个流感患者中，估计有540人持续高热；另一方面，一个非流感型感冒患者持续高热的概率为1%，那么在400个非流感型感冒患者中，估计有4人持续高热。

基于上述假设，现在我们提出问题：如果体温检测某人持续高热，那么其患上流感的概率有多大呢？从对症下药的角度来说，这是一个具有重要现实意义的问题。既然已经给定“某人持续高热”这一条件，上述问题就转化为：在544个具有持续高热症状者中，流感患者占据了多大比例呢？从直觉上看，这个比例应该大于先验概率60%，因为这544个患者是具有典型流感症状的感冒患者。那么，这个比例究竟有多大呢？其实，我们需要计算的是一个后验的条件概率，这里的条件就是指“患者持续高热”这一新信息。

为表述方便，我们用一些字母来表示相应的事件：A代表得流感；代表未得流感；B代表持续高热。于是，上述问题就是如何计算P（A｜B）。具体计算过程如下：

在上式中， P（B｜A）代表给定某人患有流感，其出现持续高热的概率，此条件概率亦称似然率；P（A）代表某人患上流感的先验概率。其他符号意义明显，在此不予赘述。

在上述公式中，等号右边与P（A）相乘的分式就是所谓的调整因子。分式的分母其实等于持续高热的无条件概率P（B），或者说在1000人中，出现持续高热症状者所占的比例：            

根据以上分析，调整因子可进一步简化为：P（B｜A）/P（B）。P（B｜A）与P（B）孰大孰小呢？在本例中，由于还有一定比例的非流感患者，而这些人出现持续高热症状的概率很低，结果使得P（B）要比P（B｜A）小。换言之，虽然某人患有流感会大概率出现持续高热症状，但从总体上看，持续高热症状并非那么普遍，从而导致P（B｜A）与P（B）之比大于1，约为1.65。   

调整因子大于1的直觉是，在根据某种症状反推病因时，如果此症状对某种病因具有一定的特异性（亦即，某种病大概率会出现此症状，而该症状总体来说较少见，因为其他病因出现此症状的概率很小），那么给定此症状的出现，某种病因存在的可能性就显著高于先验概率。

调整因子本质上反映了新信息对推断的价值。为了更清楚地看出这一点，不妨考虑一种极端情况：假设所有人都一定会持续高热，即P（B｜A）=P（B）=100%。此时，调整因子等于1，表明持续高热这种信息的出现对于反推病因毫无价值，或者说P（A｜B）=P（A），亦即持续高热与患流感属于两个独立事件。再考虑另一种极端情况：假设仅有流感患者可能会持续高热，亦即P（B｜）=0，则调整因子等于1/P（A），进而有：P（A｜B）=1/P（A）*P（A）=1。这意味着，一旦某人出现了持续高热症状，就可以确诊其患上了流感，故在这一极端假设下，持续高热的信息对反推病因具有“决定性”价值。

#02

谨防基础概率谬误

上文提到，P（B｜A）作为调整因子的分子，被称为似然率。一种观点认为，如果相对于其他病因，P（B｜A）最大，那么一旦某人出现持续高热症状，我们就推断其患上了流感。这种推断方法就是所谓的极大似然估计（点此复习“老姚专栏|极大似然估计并不难理解”）。然而根据贝叶斯法则，即使P（B｜A）高达100%，也并不意味着P（A｜B）就是100%——这一点符合基本逻辑规则：由A可推出B，并不表明由B可推出A，因为由B所代表的结论通常可从很多竞争性假说推出。但若A是B的充要条件，则由B可推出A——在贝叶斯法则的语境中，意味着B是具有特异性的信息。

贝叶斯推理符合人的直觉，但不幸的是，这种理性思维有时会被情绪所蒙蔽。行为经济学研究发现，一种典型的认知和行为偏差是，人们很多时候会过度重视似然率，忽视先验概率对判断决策的重要影响。行为经济学将先验概率称为基础概率，将人们因忽视基础概率而出现的认知和行为偏差称为“基础概率谬误”。

举一个具体的例子——

假设有一种“比较少见”的恶性疾病。为了诊断这种疾病，科学家发明了一种检测手段。如果有人不幸患上此疾病并接受医学检查，那么医学检查会准确地报出阳性结果。亦即，由A（患上此疾病）可推出B（医学检查呈阳性），似然率等于100%。现在，假设某人在体检时得到了阳性检查结果，这很可能使其惊慌失措。然而，鉴于由A可推出B并不表明由B可反推出A，阳性结果并不意味着此人一定患上了这种恶疾。

出乎意料的是，此人患病的概率或许还很小。其中的道理是，根据贝叶斯法则，P（患病｜阳性）等于先验概率P（患病）与调整因子P（阳性｜患病）/P（阳性）之积。一方面，既然恶疾“比较少见”，则先验概率P（患病）很小；另一方面，调整因子很可能因为先验概率P很小而不是足够的大——这是因为，P（患病）很小意味着P（健康）很大，从而使得P（阳性｜健康）与P（健康）之积较大，亦即阳性误报率被放大，进而导致P（阳性）较大。总而言之，当某一恶疾比较少见时，即使P（阳性｜患病）为100%，但只要医学检测手段存在一定的阳性误报率（亦即对于健康人，它也可能会以一个较小的概率错误地报出阳性结果），则P（患病｜阳性）或许并不高。

为方便进一步理解上述结论，在此举一个数值例子。首先假设人群中这种疾病的发病率即P（患病）=1‰。接下来假设：若某人患病，则医学检测将准确地报出阳性结果，即P（阳性｜患病）=100%；若某人健康，医学检测有5%的可能误报出阳性结果，即P（阳性｜健康）=5%。现在的问题是，给定某人的检测结果为阳性，其患病的概率有多大呢？根据贝叶斯法则，有：

因此，医学检查呈阳性的人真正患上这一恶疾的概率不到2%。此结论的直觉含义其实相当清晰：先验概率很小表明健康人居多，以致即使检测手段阳性误报率很低，很多健康人仍会被误报阳性结果。从而这使得，在持有阳性检测报告的人中，大多数人仍然是健康的，真正患病者所占比例并不高。

企研学术顾问 · 姚耀军

姚耀军，1976年出生，湖北利川人，浙江工商大学金融学院教授、博士生导师，浙江省高校中青年学科带头人，浙江省首期之江青年社科学者，浙江省“151人才工程”第三层次培养人员，杭州市“十三五”哲学社会科学应用经济学学科组评审专家，企研数据学术顾问。长期从事金融发展理论与实证研究，在《China & World Economy》《Frontiers of Economics in China》《金融研究》《数量经济技术经济研究》《财贸经济》《中国农村经济》等学术期刊上发表论文多篇，部分成果被《新华文摘》《中国法经济学研究》《中国经济的转型升级：新结构经济学方法与应用》《高等学校文科学术文摘》《人大复印资料》收录或者转载。主持教育部人文社科项目、浙江社会科学基金重点项目、浙江省自然科学基金项目等纵向课题多项。荣获中国制度经济学年会优秀论文奖、全国金融硕士教学案例大赛优秀案例奖、浙江省高校优秀科研成果一等奖、《金融研究》优秀论文奖、《财经研究》创刊60周年优秀论文一等奖等荣誉。担任《金融研究》《财经研究》等多个学术期刊的审稿专家。

►一周热文

数据Seminar

这里是大数据、分析技术与学术研究的三叉路口

作者：姚耀军审阅：杨奇明编辑：青酱

    欢迎扫描👇二维码添加关注