统计计量 | 协方差和相关系数的暧昧关系：共性与个性
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本文转载自公众号计量经济学
Part1方差
之前介绍了方差是用来刻画数据波动性的统计量，那么协方差就是描述两个变量之间的变动关系。
通俗地理解为：两个变量是同向变化？还是反向变化？同向或反向程度有多少？
X变大，Y也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
X变大，Y变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
并且从数值大小来看，协方差的绝对值越大，则两个变量同向或反向的程度也越大，即有较强的相关。
公式的计算很简单，每个X与其均值之差乘以Y与其均值之差得到一个乘积，再将其都加起来求个均值即可。
比如有两个变量X,Y，观察7个样本，画出他们的变化情况，并且很明显是同向变化的。
可以发现每一时刻的值与的值的正负号相同（比如t1时刻，他们同为正，t2时刻他们同为负）：
于是当他们同向变化时，与的乘积为正。这样，当你把7个时刻的乘积加在一起，求平均后也就是正数了。
如果反向运动：
很明显，的值与的值的正负号相反，于是其乘积就是负值，计算出来的协方差也就是负数了。
上面说的两种情况比较特殊，很多时候XY两个变量的变动没有规律，比如:
这种情况下某些的值与的值乘积为正，某些的值与的值乘积为负。
加在一起后，其中的一些正负项就会抵消掉，最后平均得出的值就是协方差，通过协方差的数值大小，就可以判断这两个变量同向或反向的程度了。
所以，在7个样本中，与的乘积为正的越多，说明同向变化的次数越多，亦即同向程度越高，反之亦然。
总而言之，
若协方差为正，则X和Y同向变化；
反之协方差为负，则反向变化；
协方差绝对值越大表示同向或反向的程度越深。
其实方差也是一种特殊的协方差，只不过是X和X之间的协方差。
Part2相关系数
相关系数的公式为：
其实就是用X、Y的协方差除以X和Y的标准差。
所以相关系数可以看成剔除了两个变量单位的影响、标准化后的特殊协方差。它可以反映两个变量变化是同向还是反向的，同向为正，反向为负。
并且它又是标准化后的协方差，则它出现最重要的目的来了，就是消除两个变量单位的影响，使得不同变量的相关系数之间具有可比性。
比如下面两种情况，关注一下纵轴的刻度：
很容易可以看出两种情况下X和Y都是同向变化的，并且它们变化的方式都大致相同，在特定的样本点同为正或同为负，那么它们理应具有相同的相关关系。于是可以计算一下他们的协方差：
第一种情况下：
[(100-0)×(70-0)+(-100-0)×(-70-0)+(-200-0)×(-200-0)…]÷7≈15428.57
二种情况下：
[(0.01-0)×(70-0)+(-0.01-0)×(-70-0)+(-0.02-0)×(-200-0)…]÷7≈1.542857
协方差差了一万倍，只能看出两种情况都是正相关的，但是我们能说第一种情况就相关性更强吗？
在上面两种情况中，虽然X和Y的变化方向都相同，但是每次变化的幅度不相同，主要原因是单位的不一致引起的。
所以，为了能准确比较两个变量的相关程度，我们就要把变化幅度对协方差的影响中剔除掉，也就是要去掉单位的影响，于是就要使用相关系数。
那么如何剔除变量变化幅度的影响呢？很自然的就应该使用前面提到的方差和标准差了！
相关系数是协方差除以标准差，当X或Y的波动变大的时候，它们的协方差会变大，标准差也会变大，这样相关系数的分子分母都变大，相互抵消，变小时也亦然。
于是相关系数不像协方差一样可以在实数域上取值，它只能在＋1到－1之间变化，具体为什么是+1和-1，可以自行Google柯西-斯瓦茨不等式。
总之，对于两个变量X、Y，
当他们的相关系数为1时，说明两个变量线性相关程度最大，两个变量存在线性关系。
随着相关系数减小，两个变量相关程度也变小。
当相关系数为0时，两个变量的线性无关，但要注意，无关不一定独立。
当相关系数继续变小，小于0时，两个变量开始出现反向相关。
当相关系数为－1时，说明两个变量线性相关程度也最强，不过是相反的线性相关，反相变化。
让我们再回到前面X和Y的例子，用相关系数来衡量相关程度：
X的标准差为
Y的标准差为
于是相关系数为
说明第一种情况下，X和Y有极强的相关性，几乎是线性相关。
那第二种情况：
X的标准差为
Y的标准差为
于是相关系数为
在第二种情况下，X的标准差较第一种小了10000倍，即变化幅度小了，但是并不改变X和Y线性高度相关的事实。
两种情况的相关系数相等，X和Y具有相同的相关性，故而使用相关系数来衡量和比较相关性，要比协方差合适很多。
在第二种情况下，X的标准差较第一种小了10000倍，即变化幅度小了，但是并不改变X和Y线性高度相关的事实。
两种情况的相关系数相等，X和Y具有相同的相关性，故而使用相关系数来衡量和比较相关性，要比协方差合适很多。
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