高中立体几何教学点滴感悟（1）

           立体几何的教学在高中数学中一直占有比较重要的位置，几乎每年都有2+1（即1大2小的题目，只有2014年时例外只有1大1小）总分值是22分，所以说它是高考题中不可或缺的部分。2017年最新高考考纲的要求是：

    1. 能画出简单几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型；会用斜二侧画法画出它们的直观图；会计算柱、锥、台、球及其组合体的表面积与体积；

    2.理解空间直线、平面位置关系的定义、判定及性质定理，能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题；

         近几年高考中考查立体几何题目和考点如下：（全国课标I卷文科卷）

    2011年第8题两点间的距离、第12题二面角、球、第20题证明线面垂直、求线面角；

    2012年第7题三视图、体积、第8题球的体积，第19题证明面面垂直、求体积比；

    2013年第11题三视图、体积，第15题球的表面积，第18题证明线线垂直、求体积；

    2014年第8题三视图、体积，第19题证明线线垂直、求三棱柱的高；

    2015年第6题圆锥体积，第11题三视图、表面积，第18题证明面面垂直、求棱锥侧面积；

    2016年第7三视图（球的表面积和体积），第11题异面直线所成的角，第18题作图、线面垂直、体积

           因为立体几何的知识难度适中，非常适合选拔人才，而且这部分知识的逻辑内涵能够很好的锻炼和发展我们学生的思维，因此每年都必考这些知识点也就不足为奇了。可以说立几的题是中等生必拿的题。从历年的教学和改卷来看，解答题问题不是很大，关键是小题，学生总是感到很吃力，仿佛每次见到的都是新题。特别是球的问题，六年中竟然考了四年！实际上小题主要考查两点一个是三视图求表面积和体积的问题，一个就是球切接问题。

    为什么我们的学生比较惧怕这个小题呢？尤其是有关球切接的问题呢？笔者认为最为关键的是学生对立体模型不熟悉，导致空间想象能力匮乏，对概念定义、公理、定理不熟或者吃不准，导致证明或者解题时逻辑混乱不清。先来看看近期我的学生所做的一道经典练习：

 这里面也有两种做法，一种是直接画出这个球来处理，一种是画出三棱锥来找球心位置。无论何种方法，都要要求学生对球的概念要非常清楚，紧紧抓住球的几何要素已经构建直角三角形来解决这一类的问题，这个问题是高考常考常新的问题，希望能够引起大家足够的重视。

总之，只要我们多观察，多思考，多和老师交流，把常见的多面体和旋转体熟记于心，理解公理、定理的内涵和外延，抓住关键的几何要素，进行逻辑推理，那样我们就能运筹帷幄之中，决胜于千里之外也！

下回我将讲讲用欧氏几何证明方法（逻辑推理）建立公理体系思想和简单应用。敬请留意。

百度链接：

1.数学上，立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥， 锥台， 球，棱柱， 楔， 瓶盖等等。 毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

2.立体几何的简史和它的影响。

立体几何是数学中研究有关三维几何体空间位置关系的一门学科，也称为欧氏几何。它主要是由古希腊的欧几里得在前人基础上所创造的，《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）又称《原本》就是有关立几的典范之作。《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何二十三条定义，五个公理，五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。

在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。尤其值得一提的是《几何原本》中的命题1.47，证明了在西方是欧几里德最先发现的勾股定理，从而说明了欧洲是西方最早发现勾股定理的大洲。

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

从欧几里得发表《几何原本》到如今，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。牛顿就是一个经典的例子。少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。