高考热点：圆锥曲线的一个统一等角定理证明及举例

圆锥曲线等角定理的证明

说明：2018 年新课标 1 卷理科和文科的解析几何大题以及2015年新课标1卷理科大题的出题背景都是圆锥曲线等角定理，有兴趣的同学可以用自行查看。我们证明以下椭圆和抛物线的等角定理。

椭圆等角定理

解析

(1)关键思路一：角度条件如何利用？

(2)关键思路二：斜率求和计算及联立方程。

(3)关键思路三：联想到韦达定理，需要联立直线和椭圆方程。

        思考：为什么消去纵坐标计算量会变大，这里简化计算量的关键是什么？直线方程为什么使用这样的表达式：x = my+ t ，这种反设的形式和一般的点斜式方程，做题时我们应该选择哪种形式？

        在平时做题时，作为教师也要教学生分析好应该写成那种直线，从运算角度以及是否有意义角度出发，争取达到事半功倍的效果。

说明：2018 年新课标 I 卷理科题目就是以椭圆等角定理为背景出题的。相信同学们理解了上述内容后很容易就能证明出这道题来。题目如下

双曲线等角定理

该定理的证明方式和椭圆的类似，感兴趣的同学可以参照上面的方法自行证明。

抛物线等角定理

解析

(1)关键思路一：角度条件如何利用？

(2)关键思路二：斜率求和计算及联立方程。

(3)关键思路三：联想到韦达定理，需要联立直线和椭圆方程。

总结一下，抛物线方程和直线方程联立时我们应该消去一次项，这样计算量更小。而在椭圆和双曲线方程中，由于其方程形式的结构，无论是消去 x 还是消去 y 变量计算量都差不多，这个时候采用什么直线方程形式主要看要化简的表达式及题目条件。

说明：2018 年全国新课标 I 卷文科，2015 年全国 I 卷理科解析几何大题均是以抛物线等角定理为背景而命题的，原题如下，同学们可以想一下如何证明，相信理解了上述过程，证明以下两道题目应该没有问题。

2018年全国1卷 文科数学

2015年全国1卷 理科数学

来源 解忧高中数学杂货店

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