空间几何体的外接球问题教学设计

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作者：龙宇

责编：易珊

审核：王常斌

一

课题简介与前言

       3月7日，在王常斌老师的组织下，我和青云中学的范友宝老师在青云中学进行了一场同课异构活动。本次活动是王常斌老师主持的“高中数学智慧灵动课堂”系列活动中的一场。本次活动的主题是“空间几何体的外接球问题”。接下来，笔者就借助该平台将我的备课思路及教学设计分享给大家，以飨读者。

     空间几何体的外接球问题是高考的热点问题，也是学生的一大难点问题。学生的最大难点在于空间关系的建构，几何体本身具有的几何特征如何与球相结合。本节课的设计思路是先梳理高考题中关于外接球的问题，发现此类问题的共同特征，提出相应的模型结构^[1]。再搭好必要的“脚手架”帮助学生突破该难点。

二

高考中的相关题目

分析：在上面的高考题中，涉及到的载体有“三棱柱”、“圆柱”、“六棱柱”、“长方体”、“三棱锥”及“圆锥”。据此，笔者提出“三棱柱”模型及“圆锥”模型。“圆柱”、“六棱柱”、“长方体”均可转化为“三棱柱”模型。特别地，对于“长方体”还可以利用“体对角线”与球的直径的关系进行求解。关于棱锥的问题，可以退化为“三棱柱”模型或是“圆锥”模型。从知识层面上而言，本节课要解决两大问题：1、规则的“三棱柱”及“圆锥”的外接球运算策略；2、将一般的几何体转为规则的几何体。为了突破这两个难点，本节课在前端搭建了计算“外接圆半径”的“脚手架”。

注：广东使用的高考题是新课标卷，所以本文所选用高考题均为新课标卷中的试题。

三

本节课的主要环节与设计意图

（一）特殊图形的外接圆半径问题

    例1、计算下列图形的外接圆半径

该部分设计了6个图形，设计的依据是以高考题常考的图形为主。该部分还涉及到正、余弦定理的运用，也是对解三角形部分的复习。同时渗透一下立体图形平面化的策略。教会学生将立体图形平面化研究几何关系。

（二）“直三棱柱”模型的外接球问

说明：笔者在该环节中，设计了三种类型，第一组练习是为了解决“直三棱柱”的外接球问题。该问题是通过构造一个关于球半径的“直角三角形”，而难点在于“高”的运算及底面外接圆半径的计算，后面的半径通过前一环节的铺垫解决，而关于“高”的问题，笔者通过“几何画板”制作课件，让学生直观感受，利用对称关系求解。接下来再拓广至一般的“直棱柱”外接球问题。

第二组练习是为了解决有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球问题。通过“补形法”将此类三棱锥补充为“直三棱柱”。对于例2-2（3），需通过旋转后再进行补形。

    第三组练习是为了扩充一类棱锥的外接球问题。如果把三组练习放在一起分析可发现，第一组是“直三棱柱”、第二组是“去掉两条侧棱”后的图形、第三组是“去掉一条侧棱”后的图形。笔者设计的三组题目中的球体均是同一个球体，希望同学们在完成导学案的过程中体会模型的变化以及该类题型的核心条件与本质。

（三）圆锥及其相关模型的外接球问题

该环节仅设计了两道练习，通过第（1）问获得模型的求解思路，通过与上一个题组进行对比，发现计算半径的区别。其最大的差距在于高的运算方式不同。通过第（2）问，让学生发现该类问题的核心条件。这两题的球体与上一题组中的球体为同一个球。让同学们体会该类题型的最本质的核心。

（四）自我检测案

     通过对本节课的学习，突破外接球问题。自我检测案的内容即为上文中提出的高考题，要求学生能够识别两个经典模型，并快速提出答题策略。

四

对二轮复习的几点建议

本节课是高三的二轮复习课，此时学生已经经过一轮的复习。已经对该问题有了基本的认识与解答策略。此时的复习应该更具有针对性，所以以微专题的形式进行探讨学生的各个薄弱环节。

本节课的目标是解决几何体的外接球问题，关于外接球问题的类型很多。有大量的文章总结过该类模型，分的很细致。对于现阶段的复习而言，面面俱到是不现实的。所以笔者通过梳理高考题，明确在高考中该题型的考察方式。并据此提出两个经典模型——“三棱柱”模型及“圆锥”模型。笔者认为，在现阶段，我们必须依据学生的特点进行必要的舍弃。

在导学案的编制过程中，要考虑到学生的基本情况，建立必要的“脚手架”。如本节课最先设计的“外接圆”半径问题。除了知识层面的辅助，更是一种解题策略的渗透。

所以，笔者认为现阶段课堂设计的过程应该是：梳理高考题→总结模型→根据学生情况搭建必要的“脚手架”→学习模型→应用模型。

最后，关于立体几何，学生最大的难点在于对空间立体图形的直观想象。即对于立体图形关系的识别上。所以本节课在设计上绘制了几个图形供学生学习使用，也通过环节一提出“平面化”这一解题策略。而在考试中，本题是没有立体图形的，所以学生在具体的解题过程中还需要锻炼“画图”的能力。而本节课的目的是为了识别模型与计算模型，关于“画图”则是一个长期的“渗透”过程。本节课不做过多的探讨。

      关于本节课的导学案，有需要的老师可在留言功能中留下邮箱，小编会分享给大家。

参考文献

[1] 龙宇.利用轨迹思想解立体几何问题[J].数理化学习.2018(3).18-20.

作者简介及感谢

     作者简介：龙宇（1986——），男，高中数学一级教师，四川广元人，数学教育学硕士.毕业于西南大学数学与统计学院.在《中学数学研究》、《数学通讯》、《数学教学》、《数理化学习》等期刊上累计发表论文近40篇.独立申报及结题一项省级课题。

     承蒙王常斌老师不弃，从2017年开始，加入顺德区兼职教研员，获得了更大的平台与机会。在这里表示感谢。

     本教学设计的出现离不开我校数学备课组的各位老师的支持与帮助。他们分别是：郗坤洪，陈静，邓兆军、代建云、梁颖珊、李依然、胡接春、李戴娴、何丽丽、简纯。在这里一并感谢。

     也借此向各位同行呼吁，请大家不吝赐稿，将我们顺德的数学教育推向一个新的高度。

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