高三理科数学《空间几何体的外接球》教学设计
The following article is from 顺德数学家园 Author 范友宝
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作者：范友宝 佛山市顺德区青云中学
责编：陈万寿
审核：王常斌
课题简介与前言
2019年3月7日，由王常斌老师主持的“高中数学智慧灵动课堂”同课异构活动在顺德区青云中学举行，活动的主题是高三理科数学二轮复习专题“空间几何体的外接球”，由我和罗定邦中学的龙宇老师进行同课异构，通过本次活动，本人向龙老师学习到了很多，受益匪浅！
在此，感谢顺德区教研员王常斌老师提供的平台，使我不断获得成长与进步！感谢青云中学备课组成员：涂汉军主任、叶柳青老师、艾树忠老师、林伟湛老师、匡德智老师、陈燕芳老师的支持与帮助！感谢科组长蔡斌老师及科组成员的大力支持！
下面我将分享本节课的教学设计，恳请各位数学专家同行批评指正，如有教师需要学案或课件请在留言处留下邮箱，我们将发送给您。谢谢！
一、教学内容分析
空间几何体的外接球问题是近几年高考的热点，这类题目对学生而言比较抽象，较难找到解题的切入点与突破口，为此，本节课将梳理有关外接球常用几种模型，总结一般题型的方法与套路，这就要求学生能够熟悉常见的模型，比如：长方体模型、柱体模型、锥体模型等，同时，希望通过本节课学生能够将空间问题转化为平面问题。
二、学生学情分析
空间几何体的外接球问题是近几年高考的热点，主要以选择、填空题形式出现，考查载体主要是柱体。锥体为主，对空间想象能力要求较高，解题的关键是找出球半径和线面的关系，这就要求学生能够熟悉常见的模型，能够将空间问题转化为平面问题。本人任教的班级是高三8班，理科平行班级，学生基础不是很好，空间想象能力不强，因此针对本班的实际情况，我将近几年的与空间几何体外接球有关高考题进行了分类，总结出三种模型，供学生直接运用到题目中。
三、教学目标分析
1、掌握空间几何体外接球的常见模型，并熟悉每种模型采用的方法。
2、培养学生的空间想象能力，将空间问题能够转化成平面问题。
四、教学设计过程
回顾高考：
试 题 特 点
近几年与空间几何体外接球有关的高考题，需要学生能够确定球的半径或者确定球心的位置，其中球心的确定是关键，考查学生的空间想象能力，运用体和球之间的主要位置关系和数量关系，从而把空间问题化为平面问题，进而运用平面几何的知识寻找球半径的解法。
1
长方体模型
设计意图：本节课从学生熟知的常规模型引入，符合学生的认知规律，例题1的设置直接运用公式，加强学生基础知识；变式1长方体模型，加强本节课对长方体模型的认知；变式2的设置让学生能够通过此题认知到三条侧棱两两垂直的三棱锥可以补形为长方体模型，进而引发学生思考：还有哪些几何体可以补形为长方体模型？学生分析总结此类几何体的特征。近几年较多考题可以通过补形为长方体模型直接计算外接球半径。
2
汉堡模型
近几年与空间几何体外接球有关的高考题，需要学生能够确定球的半径或者确定球的球心位置.接下来，我们来认识第二种模型：圆柱的、直三棱柱的外接球模型，大家看，像不像我们平时吃的汉堡包？我们可以把这种模型定义为“汉堡模型”。请大家思考：圆柱的外接球球心在哪里？为什么？外接球的半径如何计算？直三棱柱的外接球球心呢？它的外接球与外接圆柱体的球心一样吗？
点评1：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球。
设计意图：通过引入汉堡模型，形象深刻便于学生记忆，第二种模型关键在于通过题意分析判断侧棱与底面的位置关系，有些图形需要翻转变化才能看出垂直关系，对学生空间想象能力要求较高。例题2与变式1直接运用圆柱、直棱柱模型公式，加强理解与运用；变式2重在教会学生理解汉堡模型的本质是有一条侧棱垂直底面，底面可以是任意图形，解决此类模型的关键是要计算出底面外接圆的半径.
3
锥体模型
接下来，我们研究有点思维含量的第三种模型：锥体模型.首先，大家思考以下两个问题：
【问题1】侧棱长都相等的棱锥，其顶点在底面的投影在哪儿？
【问题2】侧棱长都相等的棱锥，其外接球的球心在哪？外接球的半径如何计算？
点评：侧棱长都相等的棱锥顶点在底面的投影是底面外接圆的圆心；外接球球心在其高上。
设计意图：近几年考题以锥体模型较多，难度中等，主要考查以正棱锥较多，所以首先我从侧棱相等的锥体引入，设计两个问题引发学生思考，对于锥体模型关键在于确定球心位置，例3与变式1确定了球心位置，直接引入方程可以解决，本节课难点在于对于侧面与底面垂直的锥体，有无公式与模型可依？为此，我设计了如何寻找侧面与底面垂直的几何体的外接球的球心，教师引导，学生自己探究，变式2的设计正是为运用与加深对本节课难点的理解。
课 堂 小 结
课堂反思：
本节课根据近几年新课标高考题将空间几何体外接球问题进行归纳总结，将外接球问题分为：长方体模型、汉堡模型、锥体模型.学生只需掌握每种模型的特点，选择正确的方法、按照套路解题即可。不足之处：对学生的作图能力培养上不够，学生数学核心素养的培养需加强，对于本节课蕴含的思想方法需要总结提升，如果能够运用本节课的模型解决高考题方面进行前后呼应效果会更好。
致 球 心
我知道，
你喜欢直角三角形。
因为你像痴情的鸟儿，
在它们的公共斜边上重复着单调的歌曲；
你也喜欢侧棱都相等的锥，
因为你像攀援的凌霄花，
借它的高枝炫耀着自己；
你还喜欢侧棱垂直底面的锥，
因为补形能增加你的高度，
衬托你的威仪，
只需小r和高的一半儿，
你就现形得酣畅淋漓；
你更喜欢侧面垂直底面的锥，
每当面面垂直像风一样吹过，
两个外心就彼此致意；
它们伸长臂膀架起爱的天梯，
迎接尊贵无比的你；
你如此神秘，又这般让人痴迷，
今天，我终于发现：
你经常流连过外心垂直底面的线，
也偶尔光顾直角三角形的斜边中点，
甚至还曾拈花惹草于异面直线的中垂线，
如果，想让我装着看不见，
就请在高考路上，助学子们披荆斩棘，
我们期待着他们带回一个个绚烂无比的明天！
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