精品|高三文科数学《求数列通项公式》教学设计

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作者：陈万寿 佛山市顺德区莘村中学

责编：常艳

审核：王常斌

课程简介及前言

 本节课是顺德区2019届高三数学二轮复习备考暨试卷讲评课. 本节课是在学生已掌握基础知识和基本方法的情况下，针对学生对求“非常规”递推和含有二次递推式求通项能力不足以及对数列首项和项数常出错的现状，根据高考命题特点和考纲要求，以及参考了近期全国各地相关题型设计了这份教学设计.

 本节课的重心在于知识的生成过程化归思想的渗透，解题方法的提炼和思想升华，以及培养学生坚韧的品质、良好的解题习惯、增强学生克服困难战胜困难的信心.

一

教学内容分析

在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法有：累加累乘法（定义法）、an与Sn消项法、构造法（待定系数法）等. 求数列通项公式难在给定递推关系求通项公式，题目往往给出“非常规”的递推式，要求学生会利用四则运算化简处理、或者利用平方差等公式转化成“常规”的递推式，从而实现把非特殊数列转为特殊数列、不熟悉的问题转化为熟悉的问题.

 这一思维过程对学生观察、分析、推理能力的要求较高，体现了转化与化归的数学思想.高考题中形如an+1=pan+q（其中p,q为常数，且pq(p-1）≠0）递推式中的常数可利用待定系数法构造一个新的等比数列，从而求出原数列的通项公式，这是一种重要的转化思路和方法，不过从这几年高考文科数学数列解答题命题来看，这一方法的能力要求已经有所降低．

    数列题高考题考察回归核心基础知识和技能，重点考察数列概念、数列基本量的运算、已知递推求通项公式.与此同时，数列作为一类特殊的函数，它具有函数特征，故也可能会与函数、方程、不等式等知识交汇命题考察.我在课后训练当中设置了相关练习,如第4题考查数列的周期性、第5题考查数列的单调性与最值等,以求达到课堂上突出重点和核心主干，课后又能全面复习巩固之目的.

二

学生学情分析

学生刚经过一轮复习，打下了较好的基础，比较熟练掌握了数列核心主干知识和基本解题技能.如：数列基本量的运算、求数列通项公式基本方法（如定义法、an与Sn消项法、累乘累加法、构造法）、数列求和常见的方法（如分组求和法、裂项相消法、错位相减法等）.

我所教的班级是高三（14）班，属于我校文科快班，全班共有48人参与了燕博园考试，平均分3.98分，比区平均分2.67分高出1.31分.本题得分和答题情况如下表：

莘中部分班级燕博园统考数列解答题小题平均分情况

	三12班	三14班	三16班	莘中	全区
17（1）	2.53	2.73	3.22	1.94
17（2）	0.51	1.25	0.97	0.57
17总分	3.04	3.98	4.19	2.51	2.67

    莘中高三14班燕博园数列解答题知识点掌握情况分析表

	（Ⅰ）计算出a2值且能检验	计算出值a2未检验说明	（Ⅱ）猜想	能识别an、Sn、Tn关系	第（Ⅱ）问空白	17题完全空白
人数	22	10	15（另有3人猜错）	10（只有1人全对）	19	4

从上表可以看出：学生数列的基础知识还算比较扎实，但是学生对于“非常规”的递推公式不懂得变换为“常规”的递推公式，也就无法转化为特殊数列来求解.这也反映出学生转化与化归的意识或能力薄弱，导致本题第（Ⅱ）问思维受阻、无从下手.基于这个现状，为了提升学生转化与化归的意识，提高解题能力，开阔学生解题视野，特设计本教学设计.

三

教学目标分析

   根据该类题型高考命题的特点和最新考纲的要求，结合学生已有的认知水平，制定如下的三维教学目标：

（Ⅰ）知识与技能：

1.掌握求数列通项公式的基本方法;

2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应问题.

（Ⅱ）过程与方法：

   通过课前基础过关小结提炼求数列通项公式的基本方法;紧跟着讲解燕博园数列解答题中存在问题和解题策略，即通过公式变形及运算、与消项法等将“非标准”递推式转化为“标准”的递推关系，再由 “标准”的递推公式求通项公式，培养学生分析、归纳、抽象、概括的能力.最后通过变式训练1和变式训练2的强化练习，提高学生的解题能力和应试技巧，渗透转化与化归的数学思想.

（Ⅲ）情感、态度、价值观：

通过本节课的解题训练和复习小结，提升学生转化与化归的思想和意识，培养思考问题、分析问题、解决问题的能力,培养学生坚强的意志和细心的品质，开拓学生的视野，让学生在课堂上获得成功体验，培养学生学习数学的兴趣，增强学生在高考中战胜数列解答题的自信心.

四

教学重难点

教学重点:

   将“非标准”递推式转化为“标准”递推式, 由递推公式求通项公式.     

教学难点:

   如何将“非标准”递推式转化为“标准”递推式.

五

教学策略分析

本节课采用了讲练结合的教学策略：学生课前基础自测、师生归纳小结提炼→教师讲解例题→教师点评，提炼思想→学生变式练习→师生互评、构建知识网络→学生归纳总结、深化思想→学生完成训练案.在解题的过程中分析引导学生对知识结构和解题思路进行梳理，提炼解题能力，提高转化与化归的意识.精心设计能够激发学生发散思维且比较新的高考题或高考模拟试题，使学生在掌握基本方法的同时，也能近距离感受高考的考法和套路.通过课后探究及训练案，进一步巩固知识和方法，并对能力要求上有所提升，力求使各层次的学生都学有所获、有所提高.总之，这一节课要以学生为本，关注学生的思维疑难点，及时给予必要的帮助，鼓励学生积极进取，通过学生自主探究、解题总结增强学生克服数列难题的信心.

六

教学设计过程

（一）课前过关

设计意图

    温故知新，从学生现有知识和方法入手，与学生一起归纳总结和提炼思想.引导学生从学科核心素养的高度重新审视求数列通项公式的方法和思想.

燕博园试题评讲

图为陈老师在课堂引导学生攻克思维冲突点

设计意图

 在解题过程中学生可能遇到的思维冲突点，引导学生寻找思维受阻的原因，突破疑难点.通过两种思路和方法的选择，让学生体会两种方法的优劣之处.最后，师生一起提炼解题思想.

变式训练

上图为课堂上学生积极自主探究展示、小组合作交流

设计意图

    通过变式训练，巩固和提升学生本节课的核心素养，即自觉使用转化与化归数学思想，提高解决问题的能力，提升学生战胜困难的信心.通过归纳燕博园试题和两个变式训练解题方法和思路，看透问题本质，举一反三、触类旁通.

课外拓展

设计意图

课外拓展第1题和变式训练2在三稿中本来是放在一起，属于同一类型题，即利用公式变形后都是Sn与an的二次函数关系.经过观察，可以猜想出它们的关系，进而猜想数列an是是等差数列：

这个题组设置的目的是想让学生通过分析观察、归纳猜想、推理论证，提高学生分析问题、解决问题的能力 ，开拓学生的解题视野.因为消项法并不是万能的，在这次我编的训练案就有这样的实例：

 课外拓展第4题、第5题本来是课堂训练的题组Ⅳ，本意一是它们的通项公式都是分段的，二是第5题涉及到连续三项的递推表达式，能够开拓学生的解题视野.

 贪多必定嚼不烂.如果这四个题组一起在一节课狂轰滥炸下，可能也能完成任务，“高效”的背后学生能沉淀下多少？这些都是我们做教学设计时必须要考虑到的.所幸在大家集体讨论下，四个题组八大金刚，狂轰滥炸的情景没有出现在这节课，否则将彻底沦为表演课.那样的课别说智慧灵活，可能连最基本的都丢失了，学生也可能对学习产生了厌恶，得不偿失.

七

教学反思

       本教学设计数易其稿，从燕博园考试结束到讲授这节课只有6天的时间，准备时间不是很充足，主要是高三还有比较繁重的教学任务和其他工作,经过科组同事们和顺德教育发展中心王常斌老师的指导下，最终定稿的教学设计还算是比较令人满意的，这是集体智慧的结晶.从海选初稿、磨稿、试课、磨课、再磨稿、再磨课、再磨稿，最后到正式上课，整个环节下来，虽然比较辛苦，但是自己对教育教学有了更多更深的认识，对“以人为本”的教育理念也有更深的领悟.

 作为老师很多时候我们可能都有过这样的抱怨：这道题我明明讲过甚至讲了很多遍为什么学生还是不会做？作为一个区级的公开课，一开始我的设计理念是要有一定的高度和厚度，通过四个题组将高考中数列通项公式的各种求法以及变式等囊括其中.但在试课的过程中，我们发现这种点到为止的方法论并不适合我们.所以我们在磨课的过程认真分析学生的疑惑之处，研究知识生成的处理策略，将二稿、三稿的题目精选再精选，最后才敲定最有代表性的3道题目.这3题既不相同又有联系，共同之处都是可以利用转化与化归的数学思想去解决这一类的问题.通过这一反复循环操作，对于段首的疑问，我恍然大悟.很多时候学生解不出这个类型题，并不是学生的问题，而恰恰是我们课堂教学设计存在很大问题.一节课我要解决什么问题？重点是什么？难点如何攻克？学生的认知程度我知道吗？学生知识形成的疑难点和冲突点在哪里？知识生成后，如何巩固？易错点是什么？这些问题，我们在课前都要认真思考

这节课个人认为比较值得肯定的是：

（1）教学设计脉络清晰，教学重点突出、难点突破.整节课都是围绕着转化与化归的思想去分析问题、解决问题，带领学生站在学科核心素养的高度重新审视求数列通项公式的方法和思想.

（2）尊重学生，相信学生，鼓励学生.尊重学生认知冲突之处，敢于放手，给予学生充分自主学习交流和展示的时间，把精彩给学生，对学生出错之处的及时鼓励和关怀.

    当然这节课还有很多不足，需要自己不断努力、不断总结提升.比如利用二次递推式尽管老师一再强调是从第二项开始计算，但是最后学生展示还是搞错了项数.在点评时没有留意到学生这个不足之处，也就失去了一个就地取材教学方法传授的良机.而在变式训练3中，利用定义法时首项已经包含在里面，故而无需再对首项进行检验，这个也没有去强调,留下课堂遗憾.

  路漫漫，其修远兮！教育教研永远是一个聊不完的话题.一份好的教学设计就是一个教师的艺术品，基于“生情”、学生最近发展区来精心设计任务单或者导学案，目标明确，任务驱动，回扣巩固，提炼升华，每个环节就像一个个音乐篇章.相互独立又相互联系的一个整体.要演奏好这个数学的交响乐，我们只有不断虚心学习、不断积累、不断反思、不断改进、奋勇前行，我们才能弹出数学最美音！

结语与感谢

      这两年追随王常斌老师认真从事教研工作，受益匪浅.王老师不但业务精湛，勤奋踏实，而且王老师人格魅力也是杠杠的！与他相处常常能感受到长者的风范，如沐春风，他总是不断勉励鞭策我们不断追求进步，不断成长！在王老师的带领下，我们顺德数学总是能保持在佛山乃至全省领先的地位.在此对王老师辛勤的劳动和卓越的工作表示衷心的感谢！

     本教学设计的完工离不开我校高中数学备课组的各位老师的支持与帮助。特别是余强、王剑清，孙益红，张艳林、何凯欣、吴泳泳、张中行、陈艺等老师，还有我校温校长、陈校长、莫主任、高主任等人的全力支持，在这里一并表示由衷的感谢.

    也借此向各位同行呼吁，请大家不吝赐稿，将我们顺德的数学教育推向一个新的高度.

图为研讨会后王常斌老师、莘中莫鸿主任与两位上课老师等人的合影

   好消息：如需要本节课教学设计和学生任务单电子版的教育同仁，请在下方留言处，留下您的电子邮箱，我们将尽快发给大家.谢谢支持！输入文字输入文字