对一道高三模拟试题导数解答题的分析思考及变式拓展

作者：陈万寿  广东顺德莘村中学

责编：常艳

审核：王常斌

文章摘要

      本题是近年比较热门的极值点偏移问题，第1小问利用导数探究函数的单调性， 符号法则、导函数的特征以及分类标准、数形结合的使用比较贴合学生最近发展区，因此可以从这些方面引导学生克服对导数大题的恐惧，鼓励学生拿稳必拿的分数.解题后再引导学生思考命题者命第1问的用意，经过分析不难发现第（1）问是为第（2）问做铺垫的，正是有这一小问的探究，第（2）问存在两个零点才有意义，醉翁之意不在酒，乃投石问路也.第2问综合应用强，对学生有较高的能力要求，可引导学生分步得分，逐个击破，尽量拿分.接着本文对此类问题进行了思考和分析，力图让读者能更为深入认识问题的本质，掌握解决此类问题思想和方法.最后对此类问题进行了改编及变式训练.不到之处，请多多批评指正.

引子·极值点偏移的定义

                               极值点没有偏移

如下图所示为常见的极值点偏移的情况：

典例

第（1）问解析及小结

小结：第1小问利用导数研究函数的单调性，即将函数的单调性化归为对导数符号的探究，由导函数结构特征确定分类标准，对字母k进行分类讨论，注意分类情况要不重不漏.主要考查了分类讨论的数学思想.本小问看似与第（2）问没有关系，实际上是息息相关，正是有这一小问的探究，第（2）问存在两个零点才有意义，因为单调函数的话是不可能有两个零点，从而隐含了k的值必须大于0.

第（2）问解析及小结

小结：本题主要的解题思路是消元法，先想法消去“k”,再想法将双变元不等式转化为单变元不等式，即构造函数后利用函数单调性求证.

小结后再思考再小结

   本题为何会出现一个字母k,仅仅是为了第（1）小问的分类讨论吗？我们不妨先看看2010年天津高考理科第21题（略有改编）

解题小结：当遇到含参数的极值点偏移问题时，可想法消去参数k，从而转化为不含参数问题，利用导数知识来解决相关问题.无论哪一种方法，都是根据题意紧紧围绕函数的性态来分析问题，从而解决问题，体现导数工具性的作用.从中还糅合了分类讨论、数形结合、转化与化归的思想.只要我们能看清问题的本质，弄清命题人的心路历程，我们就能以不变应万变，一招制胜！

问题的改编及变式训练

   小结：此类极值点偏移的问题还有2017年全国I卷理数第21题、2014年陕西高考理数第21题、2013年新课标卷I卷理数第21题、2012年天津高考第21题、2011年辽宁高考理数第21题、2010年湖北高考理数第21题，等.读者可以根据本文的方法自行去刷题感悟.不到之处，敬请多多指正.

参考文献

  相关问题可参考公众号相关拙作：