《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计
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乐学数韵（ID：Vlxsy8）
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作者：易珊 佛山市顺德区国华纪念中学
责编：龙宇
审核：王常斌
一
教学内容分析
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版数学选修2-3第1章《计数原理》第3节《二项式定理》第2课时内容，它以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。而“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，课内教师应抓住这一题材，渗透数学文化，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.
二
学生学情分析
在此之前学生已学习两个计数原理、组合与组合数、二项式定理，学习了归纳、类比、演绎等推理与证明方法，探究过数列单调性与最值，这些都为本节课探究“杨辉三角”包含的规律，并从函数的角度研究二项式系数的性质打下了知识基础。另外，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，且本班是理科优班，学生理科思维和接受能力都较好，所以适当的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题。
三
教学与评价目标分析
1.教学目标：
(1) 通过观察“杨辉三角”探究二项式系数性质的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感；
(2)通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生观察发现，抽象概括及分析问题、解决问题的能力；
(3)通过直观感知，再上升到理性认识，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要的数学思想方法解决问题的“再创造”过程；
(4)通过课上自主探究、合作探究，课后拓展延伸的学习方法，培养学生的问题意识，提高学生的思维能力，激发学生数学学习兴趣。
2.评价目标：
(1)通过观察“杨辉三角”对二项式系数性质的探究，诊断并发展学生的数学抽象水平(能用数学语言表达推理与论证，能抽象出一般的结论)；
(2)通过对二项式系数性质的交流与总结，诊断并发展学生的逻辑推理水平(识别归纳推理、类比推理、演绎推理；知道通过归纳推理、类比推理得到的结论是或然成立的，通过演绎推理得到的结论是必然成立的)；
(3)通过练习题6的反馈，诊断并发展学生的数学建模水平。
四
重难点分析
教学重点：发现并掌握二项式系数的性质，体会用函数思想研究问题的方法；
教学难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点。
五
学法与教法分析
学法：在学习过程中通过教师的引导将自主学习、探究学习、合作式学习等方法贯穿始终。让学生主动参与，亲身实践，在生生合作、师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和研究者，使学生养成良好的学习习惯，为学生的终身学习打好基础。
教法：启发、引导、合作、探究。把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一。本节课的设计是基于让每个学生真正动起来，动手做、动眼看、动脑想、动口说、动笔写，让课堂活跃，体现学生的主体地位。无论是对称性，传递性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都应该能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论证明。但数形结合的思想、函数的思想，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，练习中赋值法再现等问题对学生来说有一定难度，可能需要老师适当的点拨，练习题中后两题难度较大，需要学生合作探究。
六
教学设计过程
主要分为四个流程：温故奠基、探究新知、应用巩固、归纳小结。
环节一：温故奠基
回顾上节课所学内容（学生回答）
设计意图：通过复习二项式定理和组合数的有关知识，为发现和证明二项式系数的有关性质打下基础，形成知识储备。
师生活动：教师提问，学生回答，回顾上节课所学及组合数有关知识。
环节二：探究新课
教学过程2：介绍“杨辉三角”及其与二项式系数的关系
杨辉，南宋著名数学家．早在1261年“杨辉三角”就出现在《详解九章算法》一书中，杨辉指出他所用方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。从上述几个时间可以看出，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右。
设计意图：让学生了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。
师生活动：教师介绍
教学过程3：师：“杨辉三角”中蕴含着许多二项式系数规律，你能发现哪些？你能证明吗？
设计意图：培养学生发现问题的能力、逻辑推理能力和抽象概括的能力；培养学生严谨的科学态度，数学的发现需要大胆猜测、小心求证。
师生活动：教师引导，学生自主探究，通过观察、分析、归纳、猜想归纳总结。当遇到困难时，教师点拨或合作探究。
性质归纳：对称性：每行两端都是1 ；与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. （运用组合数性质1证明）
传递性：从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。（运用组合数性质2证明）
增减性及最值：每一行的数都是先增后减，中间的数最大。（运用数列增减性证明方法证明）
二项式系数和性质：各二项式系数的和为2n（运用二项式定理赋值证明）
注：当学生对于③④两个性质难以发现时，教师引导：观察每一行的数有什么特点？每一行数的和是多少？当学生发现其他性质时，一一验证。
教学过程4：从函数角度在探究二项式系数增减性与最值
师引导：思考展开式中奇数项是指哪些？奇数项的二项式系数都有哪些？偶数项是指哪些？偶数项的二项式系数都有哪些？
设计意图：引导学生利用赋值法推导各二项式系数的和，并掌握赋值法解题。
师生活动：教师引导，学生观察二项式系数的和与二项式定理有什么联系？将学生引向赋值法。学生自己动手操作，熟悉赋值法解题。
环节三：应用巩固
环节四：归纳小结
教学过程：课堂小结，布置作业
师：本节课，你都学习了什么？
知识小结：二项式系数的性质
思想方法小结：函数思想、数形结合思想、观察法、比较法、赋值法等
设计意图：通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.
师生活动：由学生小结本节课学到了哪些知识，哪些数学思想方法。
课后探究：1. 探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.
五
反思
本节课是一节新授课，总体思路是让学生通过观察“杨辉三角”，探究二项式系数的性质，由于本班学生基础好、思维敏捷，所以采取以学生讲为主，教师适当补充、点拨。总体感觉这节课上得比较满意，基本达到预期效果。
这节课个人认为值得肯定的地方：教学设计合理，因材施教，根据学情合理安排教学内容及难度；课堂流畅，充分体现了学生的主体地位，敢于放手，二项式系数的几个性质都是由学生叙述并证明的。
不足之处：函数思想研究二项式系数性质不够到位，如果能有较多时间让学生体会函数思想将更好；课堂超时5分钟，课堂管理能力需加强。
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