一道双曲线离心率问题的多视角探究

作者：张科 宋东荣 甘肃省兰州市榆中县恩玲中学

责编：范友宝

审核：王常斌

  

众所周知，圆锥曲线是高中数学中的重点和难点，也会在高考卷的选择压轴题中涉及与圆锥曲线有关的问题，特别是对圆锥曲线离心率问题的考察.下面笔者对一道有关求双曲线离心率问题从多个角度来解决此问题，以培养同学们逻辑推理能力和创新意识，促进思维能力和思维质量的提高.

试

题

呈

现

试题分析

   在解析几何的学习中，我们经常使用数形结合的代数方法——坐标法来讨论问题，有助于让学生体会数形结合的思想方法，下面就此题用代数视角给出了下面3种解法：

【赏析】此解法是常规解法，运用数形结合和直线方程有关知识使问题得以解决，培养学生的数学运算、直观想象等数学学科核心素养. 

二、几何视角

   解析几何其实质还是几何，所以我们要善于发现其图形的几何特征，以便更好的处理问题和培养学生的几何直观能力，下面对此题基于几何视角给出以下几种解法：

【赏析】此法运用双曲线焦点三角形内切圆有且只有一个，且圆心横坐标一定等于a.使问题解决更加明了、简洁，也体现出“小题小做”，是考场上值得提倡的选择填空解题推荐的方法，这样就可以节省时间.正如爱因斯坦所说：“美，本质上究竟是简单性”.

几点思考

  1. 存在问题：从本道试题的测试分析：试题的得分率较低，学生不能有效地获取a,c的关系求出离心率，引发问题的出现的根本原因与学生数学基础薄弱、运算能力差以及对解析几何题的恐惧心理有很大的关系，也与我们复习过程中“就题论题”，不能充分关注和激发具有生命活力的课堂有很大关系。

  2.归纳小结：本题从不同的视角探究双曲线的离心率问题，总结出求离心率的三种思路：

①是求出a,b,c三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；

②是求出a,c或a,b或c,b之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；

③是构造出关于离心率e的方程来求解.

思路的归纳总结有助于教师的教与学生的学，教学中能根据题目的结构特征探索出解决问题的相应模型，培养了学生的数学建模能力，同时也提升了教师数学建模的能力和意识，教学能更有效地助推学生思维的发展. 

  3.研究示范：解析几何的本质是几何，只是用代数方法、几何方法、以及所学结论等不同的视角来研究几何问题，因此对于解析几何问题首先要弄清问题所产生的几何关系，然后再将几何关系坐标化，代数化，离心率的问题主要是探求a,b,c三者之间的关系，并从中获取e的值或范围，以上七种不同的解法是从三个视角对此问题进行了赏析和探究，寻找出了a,b,c三者之间的关系，为这种题型的解答作了充分的研究，让学生充分感悟到“解一题，会一类，通一片”，最终“跳出题海”作了示范，同时提高了解题的效率.

参考文献

[1]齐建宏.对2017年高考全国I卷解析几何试题的拓展探究[J].数学通讯2018(2):38-40

 [2]骆妃景.对2018年高考全国卷Ⅰ理科数学解析几何试题的拓展探究—兼谈核心素养下圆锥曲线的备考[J].教学考试.2019（2）：29-33

作者简介

1. 张科，1989年9月生，男，甘肃张家川人，硕士研究生学历，甘肃省兰州市榆中县恩玲中学一级教师，主要从事高中数学教育教学研究、计算数学（模糊矩阵方程数值解法）等方面的研究，曾多次荣获优秀教师、优秀班主任以及教师基本功大赛一等奖等荣誉称号；指导学生参加2018年《数学通讯》举办的“全国高中生数学论文竞赛”论文《两角和与差的余弦公式的六种推导方法》和《三角不等式的证明》荣获二等奖；在全国第三届微课比赛中荣获二等奖；在第二届“数学周报杯全国中学数学课件比赛”中课件《变化率与导数》荣获高中组优秀奖.

   2. 宋东荣，1980年10月生，男，甘肃榆中县人，大学本科学历，甘肃省榆中县恩玲中学一级教师、数学组教研组长，主要从事高中数学教学工作.

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本文章和图片来源于《顺德数学家园》

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