追求数学素养达成的教学设计标准与案例（2）
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前言
昨天本号刊载何教授《追求数学素养达成的教学设计标准与案例（1）》，今天继续刊载出（2），本文主要围绕数学课堂教学设计的标准和课堂教学目标设计案例来展述.作者相关链接,欢迎点击阅读.
2.何小亚：数学核心素养指标之反思3.也谈高考美女“维纳斯”
摘要与关键词
摘要
数学教学当下存在的问题：例题习题分不清，学生参与成空谈；方法先行失创新，问题解决难实行；标准缺失生乱象，数学本质未揭示；不良观点引误解，数学素养难实现.数学教育的未来之路是以理解、探究、问题解决为价值取向，追求数学素养的达成，并促进学生核心素养的发展.最后提供了数学教学设计的专业标准和案例.
关键词
数学教学问题；数学素养；核心素养；数学三维目标；数学教学设计标准；案例
1.1 数学教学设计的理念[3]P20-24
数学教学设计是教师根据学生的认知发展水平和课程培养目标，来制定具体教学目标，选择教学内容，设计教学过程各个环节的过程.主要解决以下三大问题：要达到什么目标？如何实现目标？设计效果如何？其设计理念是：
3.1.1提高教学效率
数学教学设计最基本、最重要的理念是提高教学效率.教学效率的高低主要体现在：是否激发了学生学习的动机，尤其是内在动机；是否促进了学生的学习；是否落实了教学目标要求.
3.1.2教是为了不教
“一切为了学生的发展”是数学新课程的核心理念.学生是数学教学系统中最重要的一个要素.数学教学必须以促进学生的学习为主要目标，体现“以人为本”的先进教育理念.现代的数学教育十分强调以问题解决教育为价值取向，这就要求数学教学设计必须以提高学生的问题解决能力为重要目标，使学生逐步学会独立学习，从而实现“教是为了不教”的最终目标.
3.1.3追求数学素养的达成
新课程提出，要改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程.在培养目标上强调知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观三维目标的整合.最终实现数学素养的达成和促进学生核心素养发展的目标.
因此，数学教学已不再仅仅以“知能（Literacy：读、写、算）”为目的，而是更加关注知识技能的形成过程和学习方式的多样化.让学生在多样化的数学活动中感受、体验数学的探索与创造，使学生对数学有好的理解，形成良好的情感态度价值观.
1.2 知识与技能
这一维度指的是数学基础知识和基本技能.其内容主要包括三类：一类是数学概念、数学原理（即数学定理、性质、公式、法则）、基本的数学事实结论这样一些用于回答“是什么”问题的陈述性知识，它属于言语信息；第二类是涉及到数学概念、数学原理、基本的数学事实结论的运用，用于回答“做什么”的问题的程序性知识，它属于认知技能；第三类是数学操作性技能，它属于动作技能.
知识与技能目标的要求可以分成以下四个层次：
了解：能回忆出知识的言语信息；能辨认出知识的常见例证；会举例说明知识的相关属性.
理解：能把握知识的本质属性；能与相关知识建立联系；能区别知识的例证与反例.
掌握：在理解的基础上，能直接把知识运用于新的情境.
综合运用：能综合运用知识解决问题.
“了解”（同义语：知道、认识、辨认）、“理解”、“掌握”都是针对某一具体的数学知识而言的.“综合运用”则强调综合运用各种知识来解决问题.而这里所说的“问题”则包括纯数学问题和实际问题，以及介于这两者之间的应用题（部分理想化了的实际问题）.需要强调的是，“掌握”是以理解为前提的单个知识的运用水平.那种会套用而不理解的水平不属于“掌握”水平.
由于综合运用的难度主要取决于知识点的数量与由已知通向答案的步骤的数量，以及思路步骤间的跨度大小，因此，综合运用层次还可以据此细分.
我们在写知识与技能目标时，可以根据其知识与技能的内容和层次要求来写.比如说，“了解什么”“理解什么”“掌握什么”“综合运用什么”.综合运用还可以再写细一些，如“使学生达到两个知识点三步骤的综合运用水平.”
了解和理解反映了构建知识意义的水平；掌握与综合运用反映了知识迁移运用的水平.知识运用的水平可以分成正用水平、逆用水平和变形使用水平.如“逆用……定理”、 “逆用……公式”、 “变形使用……公式”.“会解”、“会用”、“解决”这些术语既指单一知识点的掌握水平，也指综合运用水平.
3.3 过程与方法
过程与方法目标的内容是：通过数学学习过程，把握数学思想方法、形成数学能力，改善数学思维品质（广阔性、深刻性、灵活性、独创性、批判性和严谨性），发展数学意识，提高问题解决能力（参看文献[2]P201-241）和积累基本活动经验.
标准中所说的数学核心素养就是数学能力系统中的一些关键能力，也就是说，数学能力已经包括标准中所说的数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析等能力.
培养学生的“数学眼光”实际上就是培养学生的数学意识，其操作性定义为：数的意识、符号意识、空间观念、数据分析意识、应用意识.
基本活动经验是指经历一项数学基本活动后所获得的意会知识（tacit knowledge）.“意会知识是指不能言传的、不能系统表述的知识.意会知识是镶嵌于实践活动之中的，是情境性的和个体化的，只可意会，不可言传.只有通过亲身的活动体验才能学会和提高.”[2]P140基本活动经验是否符合专业标准，取决于我们为学生提供了什么样的活动.学生经常接吻，就获得了吻的经验；经常刷题，就获得刷题的经验；经历问题解决的过程，就获得了问题解决的经验；经历了数学试算、猜想、探究、发现的过程，就积累了数学研究发现的经验.
描述过程与方法目标的常见术语有：经历……过程、培养……能力、领悟……思想方法、发展……意识、学习……的问题解决方法；观察、参与、尝试；探索、研究、发现；合作、交流、反思.在写过程与方法目标时，可以根据其内容和上述术语来写.
3.4 情感态度与价值观
这里的情感是指，在数学活动过程中比较稳定的情绪体验.数学态度是指，对数学活动、数学对象的心理倾向或立场，表现出兴趣、爱好、喜欢与否、看法立场.数学态度可以演变为数学信念——对数学持有的较为稳定的总体看法、观念，一旦形成就难以改变.数学态度包括对数学学科的态度（即数学信念）、对数学的兴趣、对数学具体内容的态度.这一维度目标的内容还包括宏观的价值观和数学审美观，如：对数学的科学价值、应用价值和文化价值的看法；辩证法的观点；数学的精确之美、严谨之美、简洁之美、概括之美、统一之美，以及奇异、对称、和谐之美.
刻画情感态度目标的术语有：感受……、体会……、领悟……；形成……观点、养成……的习惯、欣赏……之美.在写情感与态度目标时，可以根据其内容和上述术语来写.
3.5 数学三维目标设计的注意事项
3.5.1知识与技能目标要具体详细
对于概念，不能只空洞地写理解什么概念，而要写出理解的具体内容.要做到这一点，教师首先要对概念要有好的理解，即具备此概念的良好图式.概念图式的核心内容就是主体对概念的看法.良好的概念图式要求看法要多，看法要准确，看法要深刻.例如，字母的良好图式是：“看死，它就是一个数；看活，它就是一个变数，可大，可小，可正，可负；和没有什么不同，他俩都表示数，当然，其值可能相同也可能不同；跳出代数看，它是某一点的坐标，某一线段的长度，某一图形的面积，某一几何体的体积，这些度量的正负是有意义的，表明了对象所处的方位；…….”只有良好地理解了字母，我们才有可能写出理解的具体内容.
对于原理，也不能只是写理解什么原理，而要写出理解的具体内容.理解原理就是要理解原理结构的不变性和概括性（让人跪拜之属性！），理解其表达形式的可变性、多样性.
对于概念、原理的运用，需要按照运用的层次来写.划分水平层次的标准一是正用、逆用、变用；二是知识点的数量，步骤的数量，步骤间跨度的大小（这是一个相对的指标，只能做定性分析.当然，我们可以用增加步骤来解决跨度大的问题，实在增加不了，可以不考虑这一指标，但要在难点之处说明）；三是学生水平层次比较接近时，可考虑完成任务的人数比例维度（80%是个比较合理的要求）.
3.5.2过程与方法目标要抓六方面
传统教学是“重操作，轻理解；重知识，轻思想；重结论，轻过程”，而数学新课程则十分强调过程教学.知识分为明确知识与意会知识.知识与技能目标主要解决明确知识方面的目标，而意会知识方面的目标要通过数学学习活动的过程来实现.过程与方法目标反映了过程教学的理念.这一目标要从数学思想、数学能力、数学思维、数学意识、问题解决、活动经验这六个方面的具体内容去考虑书写，要写出具体的什么思想，这一思想的内容是什么，什么能力，什么样的思维品质内容，什么样的意识，问题解决中的什么内容，以及什么过程.
3.5.3情感态度与价值观目标要抓小放大
情感态度价值观属于内隐的心理结构，不是明确知识，而是意会知识，无法通过传授而直接获得，必须通过学生的过程学习间接获得.教师在进行教学设计时，要以知识技能为基础，以过程方法为途径，在引导学生学习数学的过程中，形成良好的情感态度与价值观.在设计这一目标的内容时，着重考虑以下几个层次：
一是学习的兴趣.数学教育应当使学生对数学有一个比较客观、正确的认识，愿意接近数学、了解数学、谈论数学，对数学现象保持一定的好奇心.这就要求课堂教学要从学生已有的生活经验、数学经验出发，注意创设良好的问题情境（水平数学化需要创设现实世界的真情境，不要瞎编一些不存在的实际问题；垂直数学化需要创设数学世界的情境，没必要每节课都联系生产生活实际），使学生对问题或学习内容产生好奇，产生“我想学”的兴趣.
二是学生的参与.和其他学科相比，数学是最抽象，最不好玩，最难玩的学科.因此，数学教师要想法使学生主动参与学习，学得快乐、学得成功，获得情感上的满足.
三是学生的体验.在数学活动中，独立思考，自主判断，体验数学概念的形成过程，体验数学原理的发现过程，体验问题解决的过程，体验数学活动的探索性和创造性，逐步形成一种对数学、对现实世界的态度和价值观.
四是学生的主体性.学生在数学学习活动中获得了强烈的主体意识，学习数学、提高自己的数学素养成为学生自身的主体愿望和自觉行为.
在写情感态度价值观目标时，要多写当期的、微观的具体内容的感受、体会、喜好，少写远期的、宏观的信念、价值观.
例如，关于平方差公式的教学设计，有位高级老师将情感态度价值观目标设计为：
“敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益.”
显然，这样的目标太多，太全，太空，没有针对性和现实性.文献[6]中的案例20（“首届东芝杯・中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”数学组一等奖（冠军））则将这一目标设为：“纠正片面观点：‘数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义！学了数学没有用！’体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值.”与前一目标相比，这一目标更有针对性和现实性，也简洁实用得多.
如何让学生对数学生情呢？首先，教师自己要对数学生情，并在教学中公开表达自己的数学之情.只有理解了具体的数学概念、原理，才可能对这些概念、原理生情.没有理解就有了伤害！其次，数学教学要让学生与数学“谈恋爱”[10]，即：相识：创设情境，使其一见钟情；勾魂：问题驱动，使其欲罢不能；解惑：解决问题，使其豁然开朗；相知：理解数学，使其情意绵绵；动情：欣赏数学，使其情不自禁．
在此，仅举一些对数学及其内容的情感体验的例子供大家参考：
讲直线与圆的位置关系，必须将“眼见并不为实！”贯穿始终，教师要感慨：数学好精确哦，可以解决肉眼不能分辨的微观粒子问题.
讲到不完全归纳的相关问题时，教师赞叹：数学真的好严谨，其逻辑性，尤其是举反例的思维简直是是独一无二的.
在短线段上的点与长线段上的点之间建立一一对应之后，教师要惊叹：短线段上的点与长线段上的点竟然一样多，好神奇噢！太不可思议了！以后学习研究数学真的不能从真实世界的角度去看数学！
数学是因为追求简单而诞生的.例如，为了简化浪费时间、浪费人力物力在树干上刻痕计数的工作，人类用0，1-9这十个数字、进位制以及小数点，就可以表示超大的数，无限接近0的数；加法就是数数的简化；乘法就是复杂加法的简化，不是新东西.不信请看：请写出10000个2相加.你要重复写10000个2，9999个加号，你累不累啊！浪费时间，浪费笔墨纸张，很不环保！怎么办？简化它！2就写一个，加号写一个，不对！那就把它旋转45度，给她取个名，叫乘号，于是，10000个2相加可以简化为2^10000，这就是乘法,哇，乘法太简洁了！到了初中，老师如法炮制：乘方不是新运算，你们在小学早已学过.乘方就是复杂乘法的简化，不信请看：请写出10000个2相乘.你要重复写10000个2，9999个乘号，你累不累啊！浪费时间，浪费笔墨纸张，很不环保！怎么办？简化呀！2就写一个，乘号就懒得写了，就在2的右上角写上10000，于是，10000个2相乘可以简化为210000，这就是乘方,哇塞，乘方太简洁了！有了乘方，知道幂和指数求底数就是开方；知道幂和底数求指数就是求对数.数学，真是太漂亮了！
数学最精彩的不是抽象性，而是概括性，即通杀性——以一个有限的模式搞定无穷的具体！数学的概括性让人跪拜！！你不信？请看平面向量基本定理：想象一下平面上有多少个向量？向量有长有短，长至十万八千里，短至1纳米，还有无穷无尽的方向，这么多无穷无尽的向量如何掌控，我的妈呀，太复杂了！不过所有向量都逃不出我数学佬的手心，我的世界我做主！对于平面上的任意一个非零向量，我在这个平面上随意选定两个不共线的向量，分别过起点A和终点B作直线a平行于i，直线b平行于j，因为i和j不共线，所以直线a,b必然交于一点，根据向量的三角形法则和数乘向量就可得出AB=mi+nj.看到了吧，这么多无穷无尽的向量居然可以只用两个不共线的已知向量i和j线性表示，哇，平面向量基本定理太简单了！太概括了！太强大了！强大到以一个有限的模式驾驭无穷的具体！老夫我不得不跪拜！！还有哦，平面向量基本定理就是数乘向量的推广，平面向量基本定理还可以推广到三维空间，其方法、结果形式几乎是一样的.哇塞，数学是联系的、统一的...，哦，My god，数学让我，让我心跳加快，血压升高... .
数学教学目标设计的案例
作者简介
何小亚，男，华南师范大学数学科学学院教授，教育部“国培计划”专家库首批20位数学专家，全国教育专业学位研究生教育指导委员会理科专家，全国数学教育研究会常务理事兼副秘书长，广东省中小学教师继续教育专家组成员，《数学教育学报》杂志编委，《中学数学研究》杂志副主编。主要从事数学教学和数学高考的研究。参与完成国家级、省级教育科研项目10项，在国内外刊物上发表学术论文70余篇，出版或参与出版著作24部。
2008、2009、2015、2016年分别指导本科生林佳佳、黄泽君、张琳琳蔡晓纯夺得教育部第一、二、六、七届东芝杯师范生教学技能大赛数学组冠军。
2013、2016年分别指导本科生朱桂静、黄健获“第一、四届全国师范院校师范生教学技能竞赛”数学组冠军。
2010年被评为全国教育硕士优秀教师。
2010、2012、2015年分别指导研究生杨志龙、胡彩英、谭团花连获第二、三、四届全国教育硕士优秀论文。
2012年所主编的《中学数学教学设计》一书入选教育部“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。
参与教育部重大课题“我国基础教育和高等教育阶段学生核心素养总体框架研究”项目研究，承担教育部哲学社会科学研究重大课题攻关项目“我国高中阶段学生核心素养的模型及指标体系研究”（13JZDW009），为新的国家课程标准的制定做顶层设计。
参考文献
[1] 何小亚.学生接受假设的认知困难与课程及教学对策[J]. 数学教育学报,2018,27(4):25-30.
[2] 何小亚.数学学与教的心理学(第二版)[M]. 广州:华南理工大学出版社,2016.
[3] 何小亚.中学数学教学设计（第二版）.北京:科学出版社, 2012.
[4] 何小亚.2016年数学高考全国1卷的认知分析和备考及命题建议[J].中学数学研究（上半
月）,2016,10:封2-10.
[5] 听崔允漷教授讲 “指向学科核心素养的教学变革”[EB/OL].
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b8e04e40102y1ct.html
[6] 何小亚.中学数学教学案例精选[M]．北京：科学出版社，2011．
[7] 林崇德主编．21世纪学生发展核心素养研究[M]．北京：北京师范大学出版社，2016：29-33．
[8] 何小亚.学生数学素养指标的理论分析[J]. 数学教育学报,2015,24(1):13-20.
[9] 何小亚.数学核心素养指标之反思[J]. 中学数学研究（上半月）,2016,7: 封2-4.
[10] 詹欣豪，何小亚．数学归纳法教学的困难、对策与价值[J]．中学数学杂志，2014，（9）：6-9．
[11] 江灼豪，张琳琳，何小亚.基于数学史的对数概念教学设计[J].中学数学研究（上半月）,2015,5:10-13.
[12] 蔡晓纯，何小亚.正弦定理的教学设计[J].中学数学研究（上半月）,2016,4: 封2-4.
[13] 詹欣豪，何小亚．数学归纳法的教学新设计[J].中学数学研究（上半月）,2014,5:7-9.