“核心素养”视角下的概念教学设计 ———三角函数的周期性
三角函数的周期性教学设计
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作者：盛堂飞 佛山市顺德区乐从中学
责编：杨小玉
审核：蔡斌
编者按
今天推出的是佛山市顺德区乐从中学盛堂飞老师的教学设计。本文以《三角函数的周期性》的教学设计为例，以问题串的形式通过“问题情境、学生活动、概念建构、数学运用、回顾反思”五个环节实现“提出问题、体验数学、建立数学、应用数学、理解数学”，探讨基于核心素养与深度学习理念的高中数学概念教学的基本策略。
【摘要】本文以《三角函数的周期性》的教学设计为例，从核心素养的视角下，阐述在数学概念课教学中如何重现概念的生成，如何揭示概念的本质，如何用发展眼光看待概念，实现概念的深度学习和课堂的优化。
【关键词】数学核心素养；概念教学；三角函数的周期性
章建跃博士指出：“数学根本上是教概念，数学老师是玩概念的”。确实，数学概念是数学思维的细胞，数学是用概念思维的，一切数学规则的研究、表达和应用都离不开数学概念，数学概念是构成数学“四基”、“四能”教学的重要内容，又是数学核心素养落实的基本载体。而现实教学中，存在概念背景引入牵强，概念生成不够自然，概念本质挖掘不透，概念应用枯燥无味，导致学生对数学概念理解不透、掌握不牢、以偏概全等不良效果，如何突破这一难点？本文以人教A版高中数学教材必修4“三角函数的周期性”教学设计为例，探讨基于核心素养与深度学习理念的高中数学概念教学的基本策略。
一、教学内容
（一）教材内容分析
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，周期既是三角函数的一个重要概念，也是三角函数的一个重要性质。《三角函数的周期性》位于本章的第四节第二课时，是三角函数性质的第一个研究点，通过本章前三节的学习，学生对任意角、弧度制、任意角的三角函数、三角函数的诱导公式有了基本的认识，本节课是在学生掌握正弦、余弦函数图像后，通过数形结合的直观感知和生活体验，再通过数学抽象获取周期函数的定义，并通过定义阐述和证明正弦、余弦的周期以及经过复合的三角函数的周期并形成结论。
（二）教材地位分析
必修1中学习的基本初等函数都不具备周期性，学生没有任何函数模型可类比，只能从生活体验出发进行分析，加之周期函数的概念比较抽象，学生会有较大的认知冲突和理解困惑。而对三角函数周期性的理解，又关系到后续的单调性、对称性、最值等性质的学习。因此，教材编写和处理时都先介绍和突出三角函数周期性的地位，符合数学学科特点，更符合学生的认知规律。
另一方面，在高中数学的学习和新课标对每个模块知识要求来看，周期性与单调性、奇偶性相比，无论是出现的频率还是知识的综合程度，要求都比较低。因此，从教材在该知识处理时，并没有过多纠缠周期性的概念，而是以三角函数作为载体，注重对具体的三角函数周期性的认识，来落实对周期性的理解和应用，于是在教学中，教师应注意教学重心的把握。
二、教学目标
综合上述教学内容分析，我认为本节课“1.4三角函数的周期性”的主要教学目标是：让学生通过生活体验和数学直观，体会周期现象和周期性；通周期性概念的学习，进一步体会概念学习的重要性和方法；通过正弦、余弦周期性的研究，建立周期性函数模型的数学建模思想。基于此本节课的三维目标为：
（一）知识与技能目标
1.学生能够从生活经验和数学直观出发，了解生活和数学中“周而复始”的现象；
2.学生能了解周期函数的概念，能够用数学语言去刻画函数的周期性；
3.学生会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。
（二）过程与方法目标
1.根据学生的生活经验创设情境，让学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律；
2.学生经历从具体到抽象构建周期函数概念的生成过程，加深概念学习的方法，提升数学抽象（周期函数概念的生成）、逻辑推理（正余弦函数周期的证明）、数学建模（三角函数作为周期函数模型）、直观想象（从生活或数学图像体会函数周期性）等数学核心素养的培养。
（三）情感态度价值观
1.感受数学与生活的密切联系，提升对生活的热爱和增强数学学习的兴趣；
2.通过周期性的探索，培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；
3.采用合作学习方式，培养学生“竞争与合作”的精神。
三、学情分析
1．生活经验：生活中遇到过各种周期现象，但很少会有同学用数学的方式去思考周期现象；
2.知识经验：三角函数的诱导公式；正弦、余弦函数图像；函数性质（单调性、奇偶性的概念）；
3.技能态度：①、用数学的眼光观察世界的能力——比如：该节课为什么要提出周期性的概念？生活中有哪些周期性的案例？数学中有哪些周期性的模型？②、会用数学的思维思考世界的能力——比如：该节课周期性概念的内涵有哪些？为什么是正弦函数的最小正周期？什么样的函数才有周期性？③、用数学的语言表达世界的能力——比如：该节课如何实现自然语言、数学语言、符号语言去描述和刻画一个数学概念？怎样求三角函数的周期？
4．性格特点：高一学生自我效能感较强，有较好的交流意识和合作能力，求知欲较高。
四、教学重难点
重点：借助三角函数来把握和理解周期性概念的数学本质；正弦、余弦函数的周期性。
难点：周期函数概念的生成和理解。
五、教法学法分析
教学，是师生的双边活动。教学设计、教学方法的选择，首先应着眼于学生怎样学，既把学为主体作为实施教学的基本点，又使教为主导成为学生主体的根本保证。
（一）教法
本节课采用问题驱动实现深度学习达成问题解决。在教学上运用多种方法，比如：创设情境时采用观察法让学生发现问题；在建构概念时采用归纳法让学生发现规律，应用奇偶函数的定义类比周期性定义的表达，通过学生讨论交流完善对概念的构建；在深化理解中通过问题串以辨析形式引发学生思考，去表达；在回顾反思中以流程图的形式进行拓展提升，同时教学过程中还要充分利用动态生成的课堂资源并考虑到学生个体之间的差异，尽可能激发每一位学生的学习热情和兴趣。
（二）学法
1．学生以“导学案和任务单”为抓手，在学习过程中更清晰明白目标要求，能更好的进行问题解决。
2.生活中已经从“数学直观”的角度了解了周期性，本节课突出“数学抽象”这一精髓获得概念构建，学习时要利用好这把钥匙。
3.学生在概念理解过程中，善于通过反例辨析、合作交流来完善对概念内涵和外延的掌握，体会研究函数性质的一般方法。
六、教学过程设计
（一）教学流程设计
（二）教学过程设计
七、教学效果评价与参考文献
（一）教学内容：数学知识的深度理解
新课程标准提出“重要的数学概念与数学思想方法宜体现‘螺旋式上升’的原则”，现行人教版对函数知识模块的掌握分为三个学习阶段：必修1的“基本初等函数一”、 必修4的“基本初等函数二”、选修模块的“导数及其应用”。采取螺旋式上升，更注重于知识的阶段教学，逐步的加深和拓宽，达到不断拓宽强化上升的结果。对函数单调性、奇偶性、最值等性质的研究在必修和选修都有涉及，且呈螺旋式上升强化，而对函数周期性的研究教材只在必修四第一单元三角函数有涉及，而且作为一个性质和模型来推动三角函数的学习，利用有限来认识无限，利用部分来认识整体，这本身就是一个难点。因此我在处理教材时重点借助学生生活经验和三角函数来把握周期性概念的本质，而不是停留在获得三角函数周期的求解公式或者套用公式的解题教学。认清楚周期性在学科知识的地位，把握好教材对该知识的处理，不断地思考和追问以下的问题：为什么要设计这些问题？可以提出哪些问题供学生思考？从哪些角度去分析问题？解决这些问题后，又可以提出哪些新问题？等等，以便教师的教和学生的学更加和谐和有效。
（二）教师的教：数学课堂的深度挖掘
数学概念课难上，不仅在于概念的抽象让学生难懂，学生兴趣不高，也在于师生对概念学习的不重视，往往认为可以通过题海战术可以有效地提高成绩和素质。但数学学科特点的需要，问题解决的需要越来越要求我们对数学本源和数学概念的理解和应用。本节课三角函数的周期，抽象的概念，特别是数学符号语言的获得如何让学生更自主，更亲切。在教学设计时教师让学生体验生活中的周期现象，以每周七天这最简单而学生最自然的感觉去体会周而复始，于是这抽象的数学符号语言就容易让学生去表达，去构建，去理解；在正弦函数周期性处理时，从数形结合的角度让学生去直观感知，让学生从数学原理上加以阐述和理解，只需记看似简单的处理却让学生从特殊到一般，抽象出，再通过归纳总结，就克服概念生成的难点。整节课问题驱动，以问题串的形式通过“问题情境、学生活动、概念建构、数学运用、回顾反思”这五个基本环节实现“提出问题、体验数学、建立数学、应用数学、理解数学”这五个基本任务，紧紧围绕“周期函数的概念”这一核心内容，抓住“自变量增加或者减少，函数值不改变”这一周而复始的基本特点，将概念的生成、理解、运用显得更自然，更亲切。当然课堂动态的生成，特别是学生智慧的碰撞让课堂充满生机和活力。
（三）学生的学：数学学习的深度发生
发展学生的数学核心素养是高中数学教学的主要任务，因此在教学设计时能否让学生数学学习的深度发生就显得至关重要。从教学设计来看，尊重教材把周期作为三角函数的性质和模型驱动三角函数的学习，以问题串的形式以周期为核心，学生能够经历水平数学化和垂直数学化的过程，在生活经验和学生最近发展区上开展活动，特别是问题串更易调动学生思考，能驱动学生深度学习，掌握概念的本质。在问题情境阶段，以生活实例培养学生数学建模的能力；在概念构建阶段，通过形象的理解，不断的数学语言化，发展学生数学抽象的能力；在概念理解阶段，通过正反例子和问题串，不断提升学生的逻辑推理能力；在新知应用阶段，以题组形式归纳解题规律，培养学生数学运算和数据分析的能力。这节课重现研究函数性质的方法和途径：“发现生活中有规律的现象抽象为数学问题用数学语言表达挖掘内涵数学应用”，不仅让学生学到知识，更重要的是教会学生研究问题的方法、探究问题的思路和如何构建知识体系的能力。研究方法的优化，研究问题的巧设精选，给学生深度学习提供平台，让深度学习有载体，有方法，易操作，学生能积极参与，深度思考，领悟到周期概念的本质，感受到数学学习的有趣，从而提升了数学素养。
参考文献：
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[2]胡晋宾，刘洪璐.传统数学好课中有核心素养落实吗？[J].高中数学教与学,2019（10）46-50.
[3]吕兆勇.立足概念教学，培养核心素养——“三角函数的周期性”的教学设计与反思[J].中小学数学,2018（3）下旬（高中）5-7.
[4]陈春慧.“三角函数的周期性”教学设计研究[J].数学之友,2012（20）45-47.
本文章和图片来源于《顺德数学家园》
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