《高考数学全国卷解密》之三角形模型

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  三角形是最重要的平面几何模型，贯穿整个全学段几何学习的始终！学好三角形模型就能学好几何.在高中阶段，三角形有关的内容包括三角函数、平面向量、解三角形、立体几何与解析几何.

华人数学家项武义先生在他的《基础几何学》中讲到：

三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现。人们常说，数学成绩的两极分化发生在平面几何的学习中．其实，更具体地说，是在三角形的学习中。

全体师生都比较熟悉的人教社章建跃博士也说道：

三角形的学习可以帮助学生掌握研究一个数学对象的基本套路，能够充分体现“借助简单对象阐释深刻思想”的理想载体。以三角形为载体的几何学习，对发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养也有奠基性作用。

1.三角形与四边形

1.1

两个三角板的组合---三角形

 两个三角板是最基本的三角形模型，从小学阶段就开始，我们就开始认识和研究它们，认识形状与度量、认识垂直、认识角的关系，认识三角函数、认识周长与面积等等，对三角形的认识还可以研究组合.

    这样我们便得到最重要的三个等腰三角形

  这三个特殊的三角形在中学阶段有着非常重要的作用，贯穿整个几何始终，大量的几何问题最终都落脚于对这三个三角形的研究，如三角函数中的同角三角函数关系、恒等变换的研究、解三角形的研究；立体几何中线面垂直关系的研究，直线与圆中弦长的研究，圆锥曲线中焦点三角形、特征量三角形、中心三角形的研究等等，因此要熟练把握这三个特殊三角形的要素之间确定的关系（性质）还要把握数量关系，特别是边比引起的角的关系探讨.

 当然还可以对两个三角板进行另一种组合，得到如下三角形，其在三角恒等变换与解三角形中有广泛应用.

1.2

两个三角板的组合--四边形

四边形是由三角形组合得到，对四边形的研究可以落脚于对三角形的研究，如解三角形的方法可以类比到对四边形的研究中去，如果一个四边形中有一个确定的三角形，则这个四边形就是可解的.在平面向量的研究中也是如此，有三角形运算法则，必然也有四边形运算法则，最终落脚于三角形法则.将上述三角板和组合得到的三角形组合得到四边形

 由两个30°的三角板按照长直角边拼接得到的，换个方向

     这个组合而成的四边形在立体几何中常常作为四棱锥的底边而存在，聚焦的是“鳖臑”这个空间基本几何体的研究.

     这是由两个等腰三角形组合而成的，我们把这个四边形称之为“筝形”.在立体几何中，主要考查筝形在翻折过程中，对角线垂直关系保持不变这个性质.

     这是由两个等腰直角三角形组合而成的直角梯形，这个梯形的价值在于研究翻折中的位置关的变与不变，强调等腰三角形的三线合一与线面、面垂直关系的转化或者作为四棱锥的底面来研究线面平行问题

     这是由一个等腰三角和一个30°三角板组合而成的等腰梯形.在立体几何中，主要考查等腰三角形和直角三角形的性质，涉及到翻折与对折的有关问题.

     这是由两个等腰三角形组合而成的“菱形”.在立体几何中，菱形往往作为棱柱的侧面，主要考查菱形对角线互相垂直评分这个性质，以及菱形在翻折过程中，对角线垂直关系保持不变这个性质.

     菱形中如果补充了60°角的条件，这个时候研究就是菱形中的三角形的等边三角形及其性质.

2.立体几何中三角形模型

2.1 菱形、筝形

高考题中将菱形与筝形组合起来考查

2.2 梯形与鳖臑

平面的梯形与鳖臑组合

   上述题图是由等腰梯形翻折构建而成.

此外还有一些基于等腰梯形翻折而成的考题

上述考题进行改造可以得到

当然，还有以矩形来进行翻折和研究的，大家可以继续进行研究

更

多

解

密

《高考数学全国卷解密》

编者的话

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