高考数学二轮复习概率与统计创新题型备考策略与方法

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考点命题分析

    随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标（2017年版）》）地逐步实施，高考数学内容及形式的改革也同步启动，尤其是高考内容的改革，在近两年已经显露头角，如考查的内容与最新的科技成果、文学、艺术、美学，以及中华优秀传统文化相结合等.其中，对概率与统计内容的考查被提升到较高的位置，如概率与统计的解答题，原来被设置在主观题第二题的位置，2019年被设置为高考数学全国卷I理科的压轴题.另外，在《课标（2017年版）》中，概率与统计属于加强内容，已被单独列为高中数学四大主题之一.

    随着概率与统计内容在《课标（2017年版）》中要求的提高，在高考考查中难度增大、分值增加，同时概率与统计又与社会、经济、科技发展密切联系，概率与统计内容在高考考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，成为当下高考备考的热点问题和难点问题.

下面就以近年高考概率与统计创新性题型的复习为例，展示上述复习方式的核心理念及关键做法.

1按照同类为伍、近类为邻的原则，设计或构建相近问题题组，凸显共性和规律.

    众所周知，对于重要的知识、重要的思想方法的理解掌握及灵活运用，不是通过一两个问题的解决能够实现的，往往需要经过一类问题的变式研究及反复比较，提炼核心问题，总结规律方法，才能认清其问题的本质及思想方法的实质，达到对知识和思想方法的理解掌握、灵活运用.

例1（2019年高考数学全国卷Ⅰ理科第21题）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p_i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p₀＝0，p₈＝1，p_i＝ap_i﹣1+bp_i+cp_i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．

（i）证明：{p_i+1﹣p_i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

（ii）求p₄，并根据p₄的值解释这种试验方案的合理性．

该题以科学实验的设计方案为背景，将概率知识与数列的相关内容联系起来，构造了一个考查概率分布列、概率的意义以及递推数列求通项的创新性综合应用题.围绕该题涉及的内容、情境、知识架构、设问方式以及问题解决的关键，我们设计了以下变式问题，力求通过这一组问题的解决，探究得出该类问题的本质并掌握解决此类问题的思想方法.

变式1

变式2

变式1、变式2的题目情境不同，但知识的架构、问题的本质和解决问题的思想方法是一致的.只不过变式1、变式2需要答题者自己先构建数列的递推关系式，然后再求其通项，难度更大.

现实问题是多样的，情境是不同的，但是很多问题的内部又具有高度的统一性.从高考数学备考的质量要求看，追求的就是这种“博观约取”，提炼共性和规律，达到举一反三、触类旁通的效果.

下面的题组是以2018年高考数学全国卷I理科第20题为框架结构构造的.供读者进一步体会上述复习方法.

例2（2018年高考数学全国卷理科第20题）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p₀．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p₀作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

变式3

变式4

变式4某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．

（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

（2）已知该厂现有名维修工人．

（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；

（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？

2类比迁移，实现思维创新、问题创新

我们知道，可以将数列看成一类特殊的函数，那么函数中的很多解题方法就可以直接应用于数列问题.同样的，如果把概率看成是随机变量的函数，那么离散型随机变量的概率分布列就是一类特殊的数列，如例1、变式1、变式2.数列有对称数列，概率分布能否设计成对称分布？另外，如果把随机变量看成函数，又将如何？

例3春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在{11，12，…，30}范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{11，12，…，30}范围内取值（每天进1次货）.商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元.设该礼盒每天的需求量为x盒，进货量为a盒，商店的日利润为y元.

（I）求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式；

（Ⅱ）试计算进货量a为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值.

3结束语

高三数学复习的目的之一就是总结解题规律和方法，同时创新性地预见并解决未来可能面临的问题.本文介绍的复习方法与策略，就是试图解决“对于高考中出现的新问题如何进行有效备考”的问题，并通过问题及其变式，培养学生的创新思维.

（本文档接下来附带了30道概率统计的解答题，均为最新版，题目涉及知识点非常全面，包括以“新冠病毒”题材的题目。）

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