单墫、邹生书——含有绝对值的双层最值问题的巧解与笨法

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含有绝对值的双层最值问题的巧解与笨法

湖北省阳新县高级中学         邹生书

1.中国科学技术大学单墫教授的妙法巧解

      单墫教授的解法巧妙之处在于舍去了“干扰”项|x-y|,四个绝对值只用其中的三个，这样就很容易进行系数配凑，然后用绝对值不等式性质求最小值，就显得水到渠成了。但这种“舍”得恰到好处的舍法并非一般人可为，甚至都不会想到去“舍”。编者认为： 单墫教授的解法是巧解特殊方法，能否给出一个具有一般性的解法呢?即给出一个通法呢？编者想到了以前在解决含有绝对值符号的双层最值问题的一种处理方法：待定系数法。于是有了如下解法：

      2.湖北省阳新县高级中学邹生书的笨法拙解

        如果省略上面待定系数法的求解过程，则得如下“简解”.

      不难发现，上面这个省去了待定系数法过程的所谓简解，就是单墫教授舍去了|x-y|的妙法巧解.

      评注：这个待定系数法看是笨拙，但很实用，可以说是解决这类问题的通性通法。该解法操作性强，最后转化为解一次方程组，求得一组解即可。当你用配凑系数法配不出来时，不妨试试这个笨方法.配凑系数法是特法，待定系数法才是通法。

      下面我们用待定系数法再来解答一道近年在高考模拟考试中较为热火的问题:形如|f(x)-ax-b|这样含有绝对值的双层最值问题.

      题目（2019届武汉10月调考理科第12题）

      解析：本题解法较多，这里仅提供：三点控制+待定系数法

来 源 ｜邹生书数学.

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