圆锥曲线斜率的“和与积”------齐次化下“图像变换”PK“巧设直线”！！！

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双斜率问题，在解析几何中确实太常见了。而且，结论和过程又都是那么的美。其实前面写的处理方法，主要利用了图像的变换，其实还是很不错的。
可是，也因为对图像变换的不熟悉，很多同学齐次化处理的过程其实做的并不理想。就觉得有必要再写个补充的东西了。于是，便有了今天巧设直线方程与图像变换的大PK！

解法赏析

其实，比较下两种解法，便不难发现两种思路之间的共通点：都是想着通过常数替换达成等式齐次化的目标。当然，因为定点位置的不同，导致斜率式的简结构或简单或复杂，便有了两种不同的优化方案。

题后小结

以下以椭圆为例做个小结

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01

齐次化处理

图像变换法

图像变换法，主要是通过对图像的平移，使得定点P(x₀,y₀)与原点重合，从而让斜率的表达更简洁。

(1) 以点P(x₀,y₀)为原点重新建系；

(2) 设直线AB方程为y=kx+b，并将等式改造为：

(3) 通过“1的替换”，将椭圆方程齐次化，并统一方程形式为：

(4) 建立关于斜率的关系式，寻找k、b之间的等量关系；

(5) 由直线系方程特征，得出定点。

02

齐次化处理

巧设直线法

巧设直线法，主要根据斜率结构的特点，进行直线AB方程的设计，达到斜率与方程根之间的统一。

(1) 设AB:m(x-x₀)+n(y-y₀)=1

(此种设法更便于进行“1的替换”)

(2) 将曲线方程改写：

(3) 通过“1的替换”得方程，并整理为：

(4) 建立关于斜率的关系式，寻找m、n之间等量关系；

(5) 由直线系方程特征，得出定点。

从例6不难看出，用常规方法处理此类问题，思维过程较为简洁。主要遵循解析几何的基本思想“几何问题代数化”，将相关条件或结论均转化为相应代数式，即可解决问题。

只是在处理过程中经常会出现类似于(x₁-a)(x₂-a)或x₁y₂+x₂y₁式的结构，计算量较大。所以，齐次化的思路，便成为此类问题计算优化的一大利器。那么，两种优化方式，你更喜欢哪一种呢？

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来 源 ｜高中数学王晖.

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