张国川：游离在高考岸边的数学美——趣于“思”妙于“简”的立体几何

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游离在高考岸边的数学美

——趣于“思”妙于“简”的立体几何                         

张国川

福建省泉州第一中学（362000）

题记：怀念读书时玩转立体几何的乐趣（纯几何证明，辅助线），自从有了空间向量，世间再无几何江湖，一切都是那么机械和索然无味.

笔者特别怀念学生时代，可以体验那种立体几何学习带来的惊喜和满足感.虽然有时为了找“某个角”而丧失午休时间，可突然瞬间找到的那一刻，疲倦感顿时都被兴奋、喜悦完全取代.热爱数学正是这样被立体几何一点一滴地调动和激发出来.可惜自从高中引入空间向量，立体几何的江湖就好像少了点什么，解答题几乎不用作辅助线，降低了求解线面角、面面角的思维难度，计算法向量就能满足所要求解的一切.

数学解题该追求“通性通法”还是解题的“简洁美”，笔者始终疑惑不解.数学反对把简单问题复杂化，但有时最简洁的方法却不是通性通法，用最简单的语言描述数学正是数学美的体现.通性通法与创新解法是否相互矛盾不得而知，但在高考改卷非通性通法解答有失分风险却是事实.考大学分分必争，没有人会拿关系学生命运的高考分数开玩笑,故而通性通法必是考场上的优先选择.

从阅卷的角度看，采用通性通法解题有统一的答题范式，有按步得分的依据，有利于试卷的流水批阅.但这却恰恰剥夺了学生发散解题思路的权利，一旦他用非常规方法解题就必须承担风险.以致于学生的答题都按照老师的解题范式，解题过程变成大同小异.本文以一道例题和朋友们分享那些游离在高考岸边的简妙解法.

试题再现

（2019年福州一中高三理科数学模拟试题）

【解题分析】立体几何命题往往是借助规则图形，进行裁割隐藏不需要的线条，呈现题意“不得不”显现的线条，最后把图形呈现给答题者.解题与命题本质是互为逆过程，因此解题者在解题时候必须“反其道而行之”，还原命题者“故意”隐藏的线条，达成窥视全貌之目的.

（3）立体几何问题平面化，将底面矩形单独截取出来讨论（如图2），截出来以后问题便变成平面几何的问题.通过全等三角形、相似三角形求得边角关系；利用直角三角形的勾股定理，直角三角形的三角函数可以求出边长；或者充分挖掘题中的特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的关系，实现边角关系的求解.

（4）面面角求解之投影法：空间向量的好处在于能把线段的距离转化成线段端点的两点间距离，与线段位于哪个三角形无关；把异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角都转化成两向量的夹角，这样就可以避开找角的麻烦，也无需关注角所在三角形的边角关系.只要建立合适的坐标系，写出点坐标，联立方程组求法向量，一切皆可求.利用投影法求两个平面的夹角也无需寻找出二面角的平面角位于何处，这和空间向量本质是相同的，有异曲同工之妙.但是投影法并不会削弱几何逻辑的严密推理，解题者依旧得从题中寻找线线关系、线面关系求解出边角关系，从而求得三角形的面积，实现问题的圆满解决.

张国川，一级教师，泉州一中高中数学教师，泉州市高中数学林少安名师工作室成员。泉州市201８年高中岗位练兵一等奖；多次承担省级培训研讨课教学，承担市级公开教学，先后在《福建中学数学》、《数学教学》、《中学数学》等CN刊物上发表论文近20篇；参与多个省级、市级课题研究。

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