类比寻方法 整合提素养 —–多面体外接球半经的求法探究

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作者：李定平

责编审核：王常斌

本文发表在《中学数学研究》2020年第3期

文章摘要与关键词

摘要：基于学生容易理解的思维方式, 从多边形外接圆 圆心、半径的确定类比到多面体外接球球心、半径的确定, 并 且根据球心的确定方法将各类多面体外接球题型进行了分 类,以便灵活求得多面体外接球的半经.

关键词 ：多面体外接球; 球心;半经; 思维方向

前言

求多面体的外接球半经问题, 是近年高考的热点和难点 之一, 已有不少文章对其进行了探究, 本文从多边形的外接 圆圆心、半径的确定类比到多面体的外接球球心、半径的确 定, 并且由球心的确定方法将各类多面体的外接球题型进行 了分类.

一、补成长方体, 求其对角线长即得球直径 

       类比矩形内接于圆, 直径就是矩形的对角线. 长方体内 接于球, 这是因为长方体的四条体对角线长相等, 交于一点 且互相平分, 这点就是球心, 体对角线就是球的直径 (图 1). 长方体可以切割为墙角锥 (共顶点的三条棱两两互相垂直 (如图 2), 或底面是长方体的一个面的四棱锥); 阳马 (不共点 的三条棱两两互相垂直 (如图 3), 或有不同方向的三条两两 互相垂直棱可以作为长、宽、高的三棱柱、四棱锥等); 对棱体 (对棱相等的四面体,如图 4).

       这些多面体可补成长方体, 长方体 8 个顶点所在的球面 就是这些多面体的顶点所在的球面, 其外接球就是长方体的 外接球, 直径就长方体的体对角线. 要求这些多面体的外接 球直径, 只要求出它们所在长方体的体对角线长即可. 我们

把这种方法称为补体法.

二、已知某个侧面的外心及该面上的高时确定外接 球的方法

三、已知两面外心, 定球心求球半径

四、灵活运用

五、结束语

解决多面体的外接球问题, 充分体现了数学核心素养 (数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学模型等), 而 掌握基本数学思想方法是提升学生数学核心素养的基本途 径.

参考文献

[1] 吴漫华. 浅谈多面体外接球半径的求法 [J]. 中学数学研究 (华南师 范大学版),2018(2).

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