数学战争：写给小学生的父母

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今天是狗年大年初一，成长合作社（justkids）祝福大家，旺旺旺~

因为我的专业背景是数学教育，每次回国，都会被自己的亲姐提前预约.

“你至少拿出一天给LL补补数学啊！”。LL是我10岁的外甥，正上四年级，跟很多这个年龄的孩子一样，不爱写作业。平时好说，母慈子孝，一家子其乐融融，一写作业，特别是数学，立即鸡飞狗跳。

LL爸的数学很好，平时待人接物耐心有礼，属于情绪十分稳定的那类人。但一开始辅导数学，就进入着急上火模式。“这有什么难的！” LL爸想不通，这么简单的题目，为什么孩子就是不明白。

给几个好朋友讲完外甥的事后，大家忍不住回忆起了自己悲惨的童年数学往事。其实，不止国内普遍，美国孩子学数学也存在不少障碍。这些障碍，既源自数学比较抽象的特点 ，也和孩子的认知规律有关，同时也和教授者的方式分不开。

事实上，正是由于成年人无法体会孩子学数学的痛点，才让做数学作业这个看似简单的事，成为一场父母和孩子之间的战争，且不断升级。所以，

数学到底难在哪里？

孩子为什么不喜欢数学？

作为父母又该怎么做呢？ 

1.    数学难在哪里？

The Curse of Knowledge 知识的诅咒

知识的诅咒指的是一种认知偏见。意思是说，掌握了某种技能和知识的人，无法体会未知者的痛苦。1990年，斯坦福的一个研究生Elizabeth Newton做了一个简单有趣的实验来验证这一点。

Newton把实验者分为两组，让第1组的人用手敲击出一个人们非常熟悉的旋律节拍，比如《祝你生日快乐》，然后让第二组人猜这个旋律是什么。之后，再让第1组的人预估第2组的猜中率。

敲节拍的一组人认为正确率应该在80%左右 －这么熟悉的旋律，这么简单的节拍，有什么难的？

而事实上，第二组人猜出旋律的真实比例仅仅是20%。

当成年人气急败坏地说“这有什么难的！”时候，不过是被知识诅咒了而已。

对于成年人而言，1+1＝2不言自明，没什么可解释的。但是这个简单的算式中，其实包涵了一个复杂的认知过程。

孩子最初对数学的认知，基于生活中的“量”，比如一个苹果。

最开始，我们拿一个苹果放在小朋友面前，告诉他这是1；之后这个苹果可能被一个画着苹果的卡片取代；接着卡片也没有了，变成在纸上画的一个苹果，就像图中看到的这样。

然后突然之间，这些苹果和苹果的替代品都不见了，变成了一个和苹果没有任何关系的阿拉伯数字1。至此，一个实实在在的红苹果经过几步演变，成了一个抽象的数学概念1。

换句话说，孩子对数字的认知过程里，经历了具体（苹果）到半具体（印有苹果的卡片），半抽象（纸上的图画）到抽象（阿拉伯数字）至少4个步骤。

对于成年人来说，这个认知关联一步到位，不需要任何解释。但是这对小朋友来说，这是个颇为复杂的过程，每一步都需要一个推进。

一个具体的、实在的红苹果，和一个写在纸上的1，怎么把这两个貌似不相干的东西关联起来，孩子需要在思维中完成一个巨大的飞跃，从具体上升到抽象。

接下来，当孩子开始认识更大的数字时，他们能不能把一个抽象的阿拉伯数字和它所代表的 “数量“建立关联，这是孩子培养数感的过程中非常重要的一步。

举个例子来说，很多小朋友在刚开始练习数数的时候，都是12345这样数下去。数得很熟练，跟背英文字母abcd没什么区别。

那么，5对于小朋友来说到底是什么？ 仅仅是跟在4后面的那个数字吗？还是代表了比4还大了1的数量总和？ 

了解了知识的诅咒之后，尝试着去理解数学中从具体到抽象的认知飞跃，再加上点同理心，或许成年人就可以慢慢戒掉类似于 “这有什么难的”这样的话了。

2. 孩子为什么不喜欢数学?

在一次课题研究中，我和课题组的同事们接触到了Amber。她当时是美国公立学校一年级的小姑娘。我们给她出了一道题：16+9等于多少？

从上面图中可以看到一个竖式，这就是典型练习册里的竖式，我们每个人都不陌生。

Amber很努力地回忆加法的规则，然后她给出了一个答案，等于15。我们问她，你确定你的答案是对的吗？ 她确信地点点头。

接着我们跟她说，来，我们换一种方式来计算。然后，我们拿出几个塑料数字，排成一横排，16+9=？

 Amber开始心算。美国小朋友都喜欢往上加，16、17、18、19，加完了之后她跟我说，是25。

于是我们就问她，为什么同样都是16+9，却得出了两个不同的结果呢？这两个答案是不是都对呢？

Amber认真的思考之后告诉我们，两个答案都对。

我们接着问，那么在所有情况下，难道这两个答案都对吗？她想了想说，都对。

为什么，小朋友会坚信同一个问题有两个不同的答案呢？

在这里，我们有必要区分两种非常重要的数学知识，程序知识和概念知识。

Amber在做竖式的时候，她在使劲回忆竖式的规则，怎么个位相加，加完之后如何进位。大家都知道，数学的规则特别重要，每个老师都会强调这些计算步骤，一点都不能搞错。

这种对于数学(运算)规则的理解，我们称为程序知识（procedural knowledge）。做竖式，做分数运算，在数学的方方面面中，程序知识都是必不可少的。显然，Amber在记忆这个规则的时候不知什么地方出了问题，所以她才得出16+9＝15这个答案。

当Amber在回忆16+9的竖式规则的时候，她脑子里肯定没有想着，如果我有16个苹果，再加多9个苹果，一共会有多少苹果？ 到底这个“量”的变化会是多少？她的注意力都在那些对她而言稀奇古怪的规则上面。

而当我们用塑料数字拼出一横排的16+9=？ ， Amber马上能联想到这其中数“量”的变化，所以她开始用手指帮忙计算，一点一点加上去，直到得出25这个数字。 在加法运算中，这种对于量的变化的知识，我们就称为“概念知识”。很显然，概念知识是学好数学的基础核心。

缺乏概念知识， 就算把公式和规则背得再滚瓜烂熟，也总有忘记的时候；而只有充分掌握了概念，知道这些运算的规则是怎么推导出来的，就算一时忘了公式也没什么可怕的，大不了自己重新推导就可以了。

所以Amber的问题出在哪儿呢？ 一方面，她的程序知识和概念知识脱节了。竖式，看起来多权威，在她心中，这才是正牌的数学。另一方面，15这个答案违背了她的生活经验。现实生活中，她的经验告诉她，16个苹果再增加9个，明明就是25啊！于是，她对此的解释是，两个答案都对。

这个例子让我们这些研究者惊讶的发现，小朋友的心中的数学是多么的脱离生活，不讲道理。这也是为什么，我们经常会听到孩子抱怨数学makes no sense (说不通啊！)。

让孩子的数学学习脱离常识，只看重规则，是家长和老师的失败。

美国数学研究有很多分支，近些年非常受到重视的一个分支，是研究学生是如何看待数学的，而他们对待数学的态度又是如何（相互）影响他的人格形成的。 其中，比较有代表性的研究来自斯坦福大学的Jo Boaler教授。

Boaler在研究中，对两个学校的学生进行了对比观察。

她发现，因为教学方式的不同，第一个学校的学生认为数学是枯燥的，没有道理可讲，需要大量的死记硬背。这时候，即使有些学生数学成绩很好，他们也倾向于选择远离数学的职业。因为这些学生认为自己是有创造力的，好奇爱动脑的，因此数学不适合他们。

而第二个学校的学生，因为学习数学的体验不同，认为数学是有挑战性的，有趣的，他们对待数学的心态更开放，也更愿意接受更多的职业尝试。

3.父母能做些什么？

在数学成为一门学科，走进学校，以及变成遍地开花的补习班和一本本习题册之前，它首先是人们用来认识自然世界的基础的方法之一。

数学之所以被发明出来，恰恰是因为我们的生活中离不开它。而现在历经数千年的演变，数学衍生出属于它自己的语言和符号，一不小心，就变成高高在上，脱离生活的死板无聊的学科。

所以，作为父母能做什么？

1. 还原数学本来的样子，让它回归生活

数感不是数（3声）数（4声），而是知道数“量”的变化是怎么来的，是去了解一种数量变化的因果关系。背熟9X9乘法表，或是熟记圆周率小数点之后100位，都跟数感一点关系没有。

简单的说来，切生日蛋糕，超市购物，停车缴费，商品打折……日常生活中的方方面面都可以变成数学相关的对话。

比如，周末全家出游，要给车子加油，车子大概一公升油可以跑15公里，现在车里有5升油，手机查地图看看距离，往返一共需要80公里。那么赶紧决定一下，现在是不是要加油了？ 

这就是生活中时常发生的对话，而这种对话的本质就是数学中的成比例思维。

我们首先是实实在在地跟一个数量打交道，然后才是把这个数量的变化用数学表达式体现出来。数学表达式，是用来体现数量变化的关系，而不是单纯的符号游戏。

2. 多问开放型问题，少问封闭式问题

与其随时随地抽查孩子的计算能力，不如问问孩子有趣的问题。1+1人人都会，但是一条金鱼和一条热带鱼能不能相加？你能不能想出一个情景来？

如果换成1条金鱼和2条水草呢？他们能不能相加？加起来是什么呢？同样的，你能不能想出一个情景来？

鼓励孩子去回答开放性的问题，并大力表扬他们脑洞大开的想法，可以帮助孩子重新认识什么是数学：它不仅仅是习题和唯一正确答案，更是一种思考方式，它有很多种可能性。

3. 给孩子营造一个相对安全的环境，让他们可以自由的提问。

不要小看这一点，一个不敢自由提问的孩子＋被知识诅咒了的父母，这个组合的结果一定是天怒人怨的。

前面已经说过，数学符号和表达式，经过了漫长的从具体到抽象的演变，而这中间任何一个环节没搞清楚，都会导致“不明白”。

上次给LL辅导数学题，我姐夫皱着眉头说，“小姨去帮LL加强一下面积和周长的计算方法吧，讲了无数次了，就是记不住。”

走进房间，关上门，我跟LL说，小姨在做一个教学实验，学生都是跟你一样的三年级小学生，所以今天要请你帮个忙，当我的助教。

“小姨想知道怎么讲面积和周长的问题，才能让他们听明白，我在你身上实验一下可不可以？ ”

奠定了我们互动的基调之后（至少让LL知道，他的“不明白”实际对我是有帮助的），我设计了几个题目，都跟周长和面积有关系。

我不讲公式，只讲概念，十几分钟之后，我尝试着问LL，“所以你觉得面积和周长这两个东西，还有什么是其他的小朋友弄不懂的？”

他认真想了半天，然后小心的说，“为什么面积用乘法而周长用加法？”

这个问题，很多家长听了之后怕是会晴天霹雳吧—岂不是讲了半天全白费了！

而实际上，一个孩子能这么发问，至少说明：

他很勇敢，不怕被训斥“怎么做了这么多题，还搞不清楚这么基本的概念？！”

能问出这样的问题，说明他认真思考了这两者的异同。

 而我，终于知道他的问题在哪里了！

同时，我也可以推想出，老师和家长在讲题的过程中，一定是更注重程序知识（“记住啊，面积就是长成宽，周长就是长加宽加长加宽”）而不是概念知识。

不要把孩子的数学问题简单的归结为不认真，记不住。这背后或许存在关键性的概念，需要我们帮助孩子一起去理清楚，弄明白。 

写在最后

学好数学，不等于把孩子变成计算机器。

学习数学，和数学建立某种关系，是孩子们成长过程中的一部分。因为大人的焦虑，疏忽，不耐烦，让孩子早早形成对数学的偏见，排斥数学，这对孩子来说并不公平。

的确，不是每个孩子长大之后都能变成数学家。但是每个孩子，都至少应该有机会学会用一种数学的思维去认识我们身处的这个奇妙的自然和人文世界。

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