动人音乐的奥秘？到数学里来看一看！（下）

编者按

当一串叮咚悦耳的乐符流过，你是否想过这和谐律动背后的数学原理？当徜徉在数学的星辰大海中，你是否曾捕捉到音乐之美的痕迹？音乐与数学，感性认知与理性逻辑的碰撞，交织着怎样的奇妙思考？

北京大学数学科学学院王杰教授自2016年秋季学期开始，开设“音乐与数学”课程，2018年该门课进入北大“通识教育核心课程”行列。今日，与您分享王杰老师撰写的科普文章《音乐与数学》（节选），带您一同探秘音乐中的数学，聆听数学课堂上的美妙旋律。（点击下方音乐，边听边看吧！）

通识课“音乐与数学”课堂照片

♪ 3.韵律变换的几何 ♫

歌词滚动丨移出+展开动画

许许多多不同音高、不同时值的音符组合起来就构成了旋律（melody），它是音乐的三大要素之一，也是音乐中通常最容易被人们注意到的要素。

与其他艺术形式不同，音乐是时间的艺术。一段旋律转瞬即逝，要将这种转瞬即逝的音响反复地呈现、不断地强调，才能给听众留下深刻印象，才能具有强烈的艺术感染力。因此，重复原则便成为揭示音乐内涵、完成音乐创作的一项最基本的写作原则。

重复并不是一成不变。恰恰相反，在一次次的重复中不断地变化、发展，这是音乐创作的一个基本规律，也是我们欣赏、把握音乐作品的一把钥匙。有趣的是，丰富多彩旋律的变化与数学有着或多或少的联系。

旋律的对称

给定一小段旋律，变化它的最简单方法就是把这段旋律中的每个音符同时升高或者降低相同的音程，音乐术语称之为移调（transposition）。例如贺敬之词、马可曲的《南泥湾》中的一句

其中的3、4两个小节就是把前两个小节旋律的每个音符都严格地降低了一个纯五度。

贝多芬c小调第五交响曲第一乐章开始时著名的“命运”主题，其中的第3、4小节实际上也是将第1、2小节的各个音符降低了二度的一个移调。

如果把五线谱看作坐标系，音乐的旋律就相当于平面上的一条条曲线。从几何的角度看，移调就是把一段曲线上下平移。显然还可以对曲线做更多的变换。

首先我们可以考虑把一段旋律关于某一条垂线做对称：

这相当于把这段旋律依照相反的次序“从尾到头”地重复一遍， 音乐术语称之为逆行（retrograde）。

《音乐的奉献》中十首卡农的第一首是所谓的 “螃蟹卡农（crab canon）”。从乐谱可以看出，它的第一声部（第一行）最后的9小节恰好是第二声部（第二行）开始9小节的逆行；对称地，第二声部的最后9小节也恰好是第一声部开始9小节的逆行。

螃蟹卡农

把一段旋律“从尾到头”演奏一遍似乎很简单，但是要和“从头到尾” 的旋律一起演奏，还要和谐好听，这就只有巴赫这样的大师才有可能做得到。更为神奇的是，后人发现螃蟹卡农最适合在三维空间的莫比乌斯带上实现。把全曲一分为二，前9小节和后9小节分别写在一张纸条的两面。然后把纸条扭转粘贴，形成一个莫比乌斯带，如下图。这时如果有两个音乐家同时从纸条的粘贴处出发，按照相反的方向分别演奏纸带上的谱子，得到的就是完整的“螃蟹卡农”！

莫比乌斯带上的螃蟹卡农

需要指出的是，人类听觉对于逆行并不敏感。如果把一段旋律试着倒过来播放，多数人是很难分辨出来的。这恐怕也是相对于移调而言，在音乐作品中逆行采用得比较少的原因之一。

下面我们来看旋律的另一类对称——关于五线谱上一条水平直线的对称。

这种变换称为倒影（inversion）。直观地看，倒影就是把一段旋律上下颠倒。严格讲，就是把旋律中的上升音程用相同半音数的下降音程代替，把下降音程用相同半音数的上升音程代替。例如，在苏萨的《雷神》（The Thunderer）进行曲中， 一开始就将上行的旋律和它的倒影同时呈现

这种对称不仅从乐谱上可以明显地看出来，演奏时大多数人凭借听觉也都可以容易地分辨出来。

又如：下面是巴赫♯d小调赋格（BWV853）的主题

到了第 30 小节出现了经过倒影变换的主题：

到第 45 小节时又出现了经过第二次倒影变换的主题：

细心的读者也许从上面的例子已经发现了，倒影变换并不是唯一的。事实上，选取不同的水平直线，就会得到不同的倒影变换。

移调、逆行、倒影都可以看作是旋律的某种对称（symmetry），而对称是美的一个重要的来源。另一方面，由于传统调性音乐（tonal music）的种种限制， 数学意义下的严格对称往往不能直接应用到旋律上去。进入20世纪以后这种情况发生了很大的变化。

音类空间上的变换群

上面描述的移调、逆行和倒影都不是数学意义下的变换，因为到现在为止连它们是作用在什么集合上面的都还没有明确界定。在音乐理论中，一个基础的概念是“乐音体系”，也就是音乐家可以使用的全体音符的集合。在传统的音乐理论和实践中，乐音体系都是一个有限集合。例如通常把钢琴键盘上88个键所对应的音符放在一起，构成乐音体系。不过这样一来，乐音体系在移调和倒影的作用下不是封闭的。

这时候八度等价关系就要发挥关键性作用了。首先我们要假定采用12平均律，这样的话，一个八度包含12个半音。特别地，我们有等音关系

值得注意的是，在其他律制下，上述等音关系未必成立。

在乐音体系中定义一个关系：乐音体系中的任意两个音级称为是等价的，如果它们或者相等（包括等音），或者相差若干个八度。显然这是乐音体系上的一个等价关系，而整个乐音体系就被分成了12个等价类

特别要注意由等音产生的等价类是相同的

现在每一个等价类包含了若干音级，它们相互之间相差若干个八度。这样的一个等价类称为一个音类（pitch class）。于是乐音体系在八度等价关系下被分成了12个音类。用数学语言来表述就是：这12个音类构成了乐音体系关于八度等价关系的商集合。把这个商集合称为音类空间，记作

把音类空间的12个音类按照顺序均匀地画在一个圆周上，就形成一个音类圆周，如下图左边所示。类似地，也可以把整数模12的同余类按照顺序均匀地画在一个圆周上，如下图右边所示。在音类空间和之间显然存在1-1对应。

有了音类空间就可以严格地定义移调和倒影变换了。首先定义上的移调变换T，它把每个音类变成升高一个半音的音级所在的音类。于是有

通过和之间的1-1对应，移调变换T可以更为简洁地定义为

前面已经提到，倒影变换是与水平对称轴的位置相关的。如果我们用记号I 表示以为对称轴的倒影变换，则I 是音类圆周上的一个对称，参见下图。

倒影变换 I 是音类圆周上的一个对称

通过和之间的1-1对应，倒影变换I 也有更简洁的表达式

根据上面两式，容易验证移调变换T和倒影变换I生成音类空间上的一个变换群，这个群同构于24阶的二面体群D₂₄。特别地，群中的元素T^k∙I（1≤k≤11）恰好是关于其他11条水平直线的倒影变换。

进一步，令

是有限长度的音类串构成的集合, 则T和I可以自然地定义到上：

现在该给出最后一个变换—逆行变换的定义了。逆行变换本质上是定义在音类串上的。我们用R记逆行变换，则有

现在我们得到了三个上的变换，它们生成一个“音乐变换群”。不难验证R生成中一个2阶正规子群，从而是一个直因子。于是得到这个音乐变换群的结构

♪ 4.和弦与音网 ♫

节奏、旋律、和声是音乐的三大要素。这一节我们来说说和声。所谓和声是指两个或两个以上不同的音按一定的法则同时发声而构成的音响组合。我们最常听到的和声是根据“三度叠置”原则构成的三和弦或者七和弦。

为了简化符号，在本节中若无特别说明，我们就省略代表等价类的上划线，直接用音名C, D, . . . , B来代表它们所在的音类。类似的，也直接用0, 1, . . ., 11代表模12的同余类。

三和弦与n-和弦

在12个音类中，从任何一个音类出发，取其上方三度和五度的音类，这三个音类合起来就构成一个三和弦。其中第一个音类称为这个三和弦的根音，中间的音类称为三音，第三个音类称作冠音。例如，C—E—G, E—G—B都是三和弦。根据音类与中元素的1-1对应，还可以把一个三和弦表示成中元素的一个三元集合：

C—E—G = {0, 4, 7}, E—G—B = {4, 7, 11}.

在音乐上， 三度音程有大小之分，相应地，三和弦也有大小之分。根音到三音是大三度（4个半音）的称作大三和弦；根音到三音是小三度（3个半音）的称作小三和弦。于是上面提到的 C—E—G 就是大三和弦， E—G—B 是小三和弦。注意不论是大三和弦还是小三和弦， 根音到冠音都是纯五度音程。

把任意一个音类当做根音，都可以构造出一个大三和弦和一个小三和弦，所以总共有24个大、小三和弦，列在下表中。其中，大写字母C, ♯C, D, . . ., B分别代表以该音类为根音的大三和弦，小写字母c, ♯c, d, . . ., b分别代表以该音类为根音的小三和弦。

大、小三和弦

在音类圆周上，构成三和弦的三个音类分别表示成三个点，把这三个点联结起来就得到音类圆周的一个内接三角形，如下图所示。

音类圆周上的三和弦

由移调变换T 和倒影变换I 生成的群

作用在音类圆周上，诱导出在24个大、小三和弦构成的集合上的一个作用。不难证明，移调变换总是把大三和弦变成大三和弦，小三和弦变成小三和弦；而倒影变换则把大、小三和弦互换，参见下图。

群在大、小和弦上的作用

三和弦是根据所谓三度叠置原则构造而成的。如果进一步在三和弦的五音上再叠置一个三度音，这样的四个音的组合就构成一个七和弦。三和弦、七和弦及其转位构成了传统调性和声的基础。

从十九世纪后半开始，不断有音乐家努力探索实践，力图在传统调性音乐的基础上有所创新，有所突破。在这样的探索过程中，和弦的调性功能越来越弱化，和弦的色彩和声音效果越来越受到重视，逐渐发展出许多不同于传统和弦的、特色鲜明的声高组合（pitch combination）。这就极大地丰富了可供作曲家用于创作的音乐语汇。另一方面，如何梳理、归纳这些音高组合， 如何分析研究二十世纪发展起来的无调性乃至后调性音乐，这就需要引入新的理论和新的工具。音乐集合理论（musical set theory）便应运而生了。

现代的音乐集合理论在传统和弦概念的基础上推进了一大步，考虑一般的n-和弦。一个n-和弦就是音类空间中的一个n-元子集合。n-和弦的概念突破了传统和弦“三度叠置”的构成法则，于是大大地增加了和弦的数目。例如，现在的3-和弦就是中的3-元子集，因此一共有220个3-和弦！这么大数目的n-和弦需要有方法将它们分门别类，才好应用。

在音类圆周上，一个n-和弦表现为一个内接n-边形。变换群同样可以作用在n-和弦的集合上。于是对给定的n，所有的n-和弦就在群的作用下分成若干等价类 （轨道）。音乐理论家们就这样对n-和弦做了分类。进一步，还规定了如何在每个等价类中选取一个代表元素——基本型（prime form）。在艾轮·福特的《无调性音乐的结构》一书的附录中，他列出了一个包含所有非平凡的n-和弦的等价类及其基本型的音类集合表（The list of pitch class sets）。例如，由24个大三和弦和24个小三和弦构成的等价类，在表中的编号为3-11，其基本型为[0, 3, 7]，即小三和弦c = { C, ^♭E, G }。

音类圆周上的n-边形具有不同的对称性，从而在变换群的作用下，其轨道的长度是不同的。如下图所示的减七和弦 { E, G, ^♭B, ^♭D }，其图形是一个正方形，所以在中的稳定化子是8阶的，相应的轨道长度等于3。这说明只有3个互不相同的减七和弦，它们构成的等价类在音类集合表中的标号为4-28。

减七和弦E—G—^♭B—^♭D

音类集合表中的大多数n-和弦都不满足传统和弦的三度叠置原理。为了刻画构成n-和弦的各个音级之间的音程，需要引入n-和弦的距离向量。

在音类圆周上，一个n-和弦表示成一个n-边形， 具有

对顶点。把这对顶点用直线相连，则这些连线分别构成n-边形的边和对角线。n-边形中的每一对顶点代表了n-和弦中的两个音类，它们之间的距离d满足1 ≤ d ≤ 6。定义这个n-和弦的距离向量

其中d_i等于距离为i的顶点对的数目。例如下图(a)中大三和弦的距离向量；下图(b)中减七和弦的距离向量。

n-和弦的距离向量

一个n-和弦称为是全音程和弦，如果其距离向量。可见包含6对距离互不相同的音类。根据

可以得出n=4。例如

都是全音程和弦，参见下图。

全音程和弦

全音程和弦的构成不满足三度叠置原则，从而不是传统的七和弦，在调性音乐中只有在极特殊的情形才会出现。但是在无调性音乐的创作中，全音程和弦具有重要的地位。

勋伯格《空中花园篇》（Das Buch der hängenden Gärten, Op. 15, 1908-1909）是作曲家为人声和钢琴写的15首歌曲，歌词选自德国诗人施特凡·格奥尔格的同名诗作。其第一首歌的结束和弦为 { ♯D, ♯E, ♯G, A }，就是一个全音程和弦

韦伯恩《管弦乐曲六首》（6 Pieces for Large Orchestra, Op. 6, 1928修订版）中第三首的一个和弦 { E, ♯F, A, ^♭B } 也是全音程和弦

这两个全音程和弦在音类圆周上的表示如下图所示。从图形可以清楚地看出，这两个全音程和弦是移调等价的。不仅如此，它们也都可以通过移调和倒影变换，变成全音程和弦。换言之，在变换群D的作用下，它们和在同一条轨道中。

音乐作品中的全音程和弦

进一步有下述定理。

定理 在群的作用下，只有两类互不等价的全音程和弦：和。

这两类全音程和弦在音类集合表中分别标为4-Z29和4-Z15。

音网

两个音级之间的音程对应于一维空间中的距离，而多个音级构成的和弦之间就会呈现出更为复杂的网络关系。最先注意到这一点的是大数学家欧拉。

欧拉是众所周知的数学家、科学家。但是也许较少为人所知的是，音乐在欧拉的研究生涯中占据着重要的位置。早在1726 年欧拉19 岁的时候，他就在笔记本里写下了一项题为“音乐理论体系”的工作计划， 雄心勃勃的研究涉及单声部和多声部作曲，旋律、和声的写作等等。研究大纲中设想的章节还包括舞曲以及其他更加大型的曲式。

1739 年欧拉的音乐理论专著6得以出版（下图）。

Euler, Tentamen Novae Theoriae Musicae, 1739

实际上这本书早在1730 年就已完成。在书中欧拉首次指出了乐音体系中各个音级之间存在着如下图所示的网络关系。值得注意的是，1736年欧拉关于Königsberg 七桥问题的论文被公认为是图论研究的开山之作，同时也预示了拓扑学的诞生。因此有学者认为，在一定程度上是欧拉对音乐的研究催生了他开创图论和拓扑学等数学新领域。

欧拉的音网

本文节选自王杰教授文章《音乐与数学》

全文刊载于《数学文化》2020年第11卷第2、3期

作者介绍

王杰，北京大学数学科学学院教授。多年从事群论、代数图论和密码学教学和科研。自2016年起开设《音乐与数学》，被列为北京大学通识教育核心课程。同名教材已由北京大学出版社出版。

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图文：王杰

编辑：顾佳卿、刘文欣、张质源