微积分不可能是西方原创发明4.0
《西方微积分的发展历程证明了微积分不可能是西方原创发明（1.0）》，根据一些读者反映作进一步阐述，经历2.0、3.0，本文为4.0（图5换掉，修正图5、图8、图9之下的分析评述）
文行先生按：此前本公众号多篇文章论证“微积分发明于明代中国”，本文将证明“微积分不可能是西方原创发明”，双管齐下。
今天学生学习高等数学，都是从极限、无穷小概念开始，然后导数，最后才是微积分，即：极限→无穷小→导数→微积分，如此完成学习微积分的基本过程（如下图1）。
↑图1：同济大学高等数学第七版上册
由浅入深，从简单到复杂，这是非常自然的道理。但是，从西方微积分发展史看，却与此相反，先从微积分开始，然后导数、微分，最后无穷小、极限，才算从逻辑上完善了微积分学体系。
↑图2：西方微积分发展历程
关键是，尽管对微分概念和无穷小概念等基础性概念的理解存在难以调和的严重困难，却有了微积分法则公式、推理、方程等微积分大厦，这就好比做成了面包，却不懂面包的原料和配比。这种无比奇葩的咄咄怪事，却竟是西方微积分思想内容发展的“历史事实”。
这段文辞是对西方微积分思想内容的发展历程的概括。尽管在微积分思想内容一系列基础问题上存在难以理解的逻辑困难，牛顿却发展出更高的一系列法则公式，如：
↑图4：William Dunhamw，《微积分的历程》，李伯民译，人民邮电出版社，2010，第14页
这是一个非常基础和非常伟大的微积分法则公式。牛顿如何得到这个法则公式呢？牛顿并没有写出得到该法则公式的过程，似乎是从天而降。牛顿也没有直接证明它，而是从其结论出发反推回来，如下图：
这相当于某人不知道该题怎么解，却事先知道了答案，然后根据答案反推，从而证明了该题结论，尤其是牛顿突兀地“指定”曲线AD的面积为幂函数z（x），为什么不指定为三角函数或其他类型的函数？从天而降的面积幂函数是解该题的关键之一。这是非常明显的抄袭！
正确的方法应该是“通过所有这样小单元之和来求总面积，而牛顿是通过一点上的变化率来求出整个面积。要用一个确切的方式来说清牛顿这个瞬时变化率的思想究竟是怎么一回事，是困难的”。牛顿自己都承认，他的方法是“简略的说明，而不是正确的论证”（卡尔·B·波耶，《微积分概念发展史》，唐生译，复旦大学出版社，2007年，第204-205页）。
在我看来，证明固然算不上，说明也算不上，其实是抄袭！更大的问题在于牛顿对微积分一系列基础概念的认识和理解都存在严重问题。
诸多地基、柱础都没有打好，高楼大厦已经平地而起，高耸入云。
同样，莱布尼茨也是如此。
“莱布尼茨看来选择了逻辑上的权宜之计，他作出补充，即使这些不可分量的性质尚不确定，它们依然可以作为‘用于计算的有力工具’。我们再次看到了令后来的分析学家们进退维谷的数学泥潭。但是在1673年，莱布尼茨急切地向前推进，将这个逻辑上的问题留给下一代人解决。”（William Dunhamw，《微积分的历程》，李伯民译，人民邮电出版社，2010，第28页）
牛顿和莱布尼茨等都无法理解和解释微积分思想内容上一系列基础的知识和逻辑问题，却已经向一系列更高的微积分推理、法则、公式、扩展等高歌猛进。
“微积分的奠基者已经清楚地说明了应该遵守的运算法则，它们被欧拉、拉格朗日、拉普拉斯以及其他许多人应用于数学和科学问题，取得惊人的成功，这使得人们忽视了该学科令人极不满意的逻辑和哲学状态。整个18世纪，对流数法和微分法基础的本质，存在一种普遍怀疑。在英国，由于牛顿的说明缺乏明晰性，并且使用的符号前后不一致，结果导致了对流数和瞬的混淆。在欧洲大陆，莱布尼茨的追随者忽视了他的形而上学唯理论，企图随心所欲地将微分解释为实际的无穷小甚至零，而且还在这个方面批评莱布尼茨的犹豫不决。”（卡尔·B·波耶，《微积分概念发展史》，唐生译，复旦大学出版社，2007年，第217页）
现在，让我们把目光从高耸入云的高楼大厦转向其地基，来回顾和研究一下西方微积分的一系列基础的知识和逻辑问题。
首先是对微分概念理解上的困境，不知道微分为何物，进而导致理解和逻辑上的问题，这个问题就是西方微积分史上著名的“贝克莱悖论”（1734），如下图：
↑图6：贝克莱悖论
贝克莱对西方早期微积分发展中的一些基础知识和逻辑问题发起攻击和嘲讽，贝克莱嘲讽牛顿的流数和莱布尼茨的微分为“死去的量的灵魂”，如下图：
“贝克莱悖论”的核心是，无穷小的量或逐渐消失的量在当时运算过程中，有时候不能为0，有时候又必须为0，那么，它究竟是不是0。
“在1754到1784年所出版的二十八本教科书中，十五本用莱布尼茨的微积分术语，六本用极限，四本用欧拉的零，两本用流数法，以及一本用拉格朗日的级数的系数。”（卡尔·B·波耶，《微积分概念发展史》，唐生译，复旦大学出版社，2007年，第263页）
可以说，从牛顿和莱布尼茨开始一直到18世纪末，西方对于微分的理解可谓纷乱、飘忽、玄幻。这里的关键概念是，微分、导数、0，即在求导过程中，微分与0是什么关系，微分到底是什么东西。事实上，在我看来，能否理解的关键或实质是取决于生活生产实践的积累，取决于一个文明的进程。《淮南子·要略》曰：“至微之论之无形也。……微则无形。”《九章算术》刘徽注曰：“半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。”这种基于实践的中国智慧是西方所谓形式逻辑所不能理解的。
贝克莱把微分运算中的这种无穷小的量或逐渐消失的量称为“鬼魂”，充满神秘。马克思把“神秘的微积分”的这种运算称之为“魔术”。
怎么正确理解微分运算中的这个悖论、鬼魂、魔术呢？根据马克思的《数学手稿》，达朗贝尔是解决该问题的关键人物。
达朗贝尔指出：“一个量或者是有，或者是没有。如果是有，它就还没有消失；如果是没有，它就确实消失了。假设存在介于这两者之间的中间状态，就只能是一头由狮头羊身和蛇尾构成的吐火怪物。”（William Dunhamw，《微积分的历程》，李伯民译，人民邮电出版社，2010，第82页）
于是，达朗贝尔把牛顿和莱布尼茨的流数或微分dx的概念转化为增量概念，如下图：
马克思介绍了达朗贝尔工作的意义，更加凸显此前西方“数学家”对微分概念的认识之迷茫无知，也就是说，牛顿和莱布尼茨从一开始就把微分当作为一种虚无缥缈的、无法理解的、神秘的东西，是一种没有实践基础的、也没有数学基础的、纯粹抽象的形而上学概念，在我看来，这恰恰就是证明牛顿和莱布尼茨抄袭的证据。现在，达朗贝尔首先把虚幻的微分dx理解为一个可感知的增量Δx，这个增量可以大，也可以小，这样在实际运算过程中Δx≠0；然后，在需要的时候，可以令Δx=0。达朗贝尔就这样把一开始以无穷小概念为基础的、虚无缥缈的、不可理喻的微分概念转化为可感知的增量概念，而微分不过是增量在无穷小时的结果，如此便可在动态变化中具体理解和把握微分概念。马克思恰当地把达朗贝尔的贡献称为把“神秘的微积分”导向“理性的微积分”。显然，马克思的这段理解与上文引用的张必胜文章存在出入。
dx是微分概念，Δx是增量概念，dx是Δx在无穷小时的结果，这样，微分概念是理解了，但是，无穷小又是什么概念呢？无穷小是有限量还是0，当令Δx=0时，它的含义是什么？解决这个抽象逻辑理解上的困惑就需要另外一位关键人物出马，即柯西。
柯西认为，“微分学的原理及其最重要的应用很容易不借助级数而建立起来……取代的办法是把全部微积分建立在极限思想的基础上。”（William Dunhamw，《微积分的历程》，李伯民译，人民邮电出版社，2010，第88页）
↑图9：William Dunhamw，《微积分的历程》，李伯民译，人民邮电出版社，2010，第89页
“多边形的面积持续地越来越接近圆的面积”（1821）——柯西的解决办法是以极限概念来理解无穷小概念，同时把抽象的极限概念具象化，拉回到实践中来，即以圆面积来理解极限概念。其实中国古代数学家刘徽早在魏晋时期就已作出同样阐述：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（《九章算术》方田章圆田术刘徽注）。
柯西对极限概念的理解是西方微积分发展史上一个划时代的事件，他使西方微积分学的大厦建立在坚实的基础之上，而这在中国魏晋即奠定。
从现代大学高等数学教材编写顺序看：极限→无穷小→导数→微积分；从西方微积分发展史看：微积分→导数→增量→无穷小→极限→割圆术；从中国微积分发展史看：增量→割圆术→极限→无穷小→导数（王文素）→微积分。
因此，中国微积分发展顺序与高等数学教材编写顺序是一致的，这是一种由浅入深、基于实践的、正常的自然发展顺序，而西方微积分发展史的顺序却与此相悖，这种相悖的涵义是：一是违背了由浅入深的自然道理，二是违背了制成面包必须先知道原料和配方的常识性事实，三是不知道微分为何物却建立起庞大的微积分大厦，四是凭空从天而降的“面积为幂函数”（图4）。事实上，此乃西方抄袭之缘故，抄了答案却理解不了，由于西方没有实践基础和文明积累，花了一百多年才逐渐理解了。
综上所述，回顾西方微积分发展历程，可以得出雄辩的结论：西方微积分发展史证明，微积分不可能是西方原创发明，不可能是牛顿和莱布尼茨的原创发明。根据此前本公众号相关诸文论述，这实际上是抄袭中国古代数学，尤其是明代数学。正因为牛顿和莱布尼茨差不多同时从不同途径得到来自中国的微积分资料，也都相对理解了，但彼此之间都没有见过对方的资料，所以打死都坚持自己的独立发明权。