埃米·诺特和对称的力量
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被爱因斯坦称赞为“创造性的数学天才”的诺特以奠定了抽象代数的基础而闻名。她深邃的数学视野以及对物理学的巨大影响，理应比现在更广为人知。
撰文 | Marianne Freiberger
翻译 | 张平平、杨中明
校对 | 杨探
一百年前，埃米·诺特发表的一项研究成果塑造了现代物理学的特征。但她并非物理学家，而是一位女数学家。阿尔伯特·爱因斯坦称赞她是一位“创造性的数学天才”。
爱因斯坦当然是一个偶像，但诺特并不像她的成就那样有名。对物理的研究只是她职业生涯的一小部分，而对数学家来说，她更以奠定了抽象代数的基础而闻名。她深邃的数学视野以及对物理学的巨大影响，理应比现在更广为人知。
1915年末，爱因斯坦发表了他的广义相对论（http://suo.im/5oNXG5）。它描述了引力，引力将我们束缚在地球上，并且使其他行星在它们各自轨道上围绕太阳运动。事实上，由于引力是长程力，广义相对论中宇宙可以用行星、恒星和星系为尺度来描述。
爱因斯坦在建立广义相对论时，一个问题一直困惑着他，那就是能量的性质。正如我们从经验中所知，能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。一个名为牛顿摆（Newton's cradle）的桌面演示装置（见下文）很好地说明了这一点：一个球的能量通过在一串球中相邻球的相互碰撞进行传递，使最后的球飞出去，接下来被撞飞的球又从对面方向回来，然后再重复整个过程。一旦这个过程被开启，就不会有能量损失。
人类花了一段时间才掌握了相当抽象的能量概念，但一旦掌握了这个概念，能量守恒就被提升为自然规律，任何合理的物理理论都必须包含这一点。事实上，能量守恒可以从牛顿力学中推导出来，就像鸡蛋由母鸡生产出来一样，从牛顿第二运动定律中，可以很容易推导出一个方程，即一个物理系统内的能量始终保持不变（点击此处（http://suo.im/4UNM9P）了解更多）。
然而，广义相对论并没有顺利证明的确是这样。爱因斯坦的最终构想确实包含了一个方程，所以他认为，这个方程表达能量守恒的方式和其他理论中表达能量守恒的方式是一样的。但著名数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）和菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849-1925）并不认同这个观点。经过数学计算，他们得出结论，这个方程式无疑是正确的，但他们认为只是在空洞的没有任何物理意义的情况下，它是正确的。作为一个（简单的）类比，想想方程x-x=0。这总是正确的，但因为没有告诉我们关于x的任何信息，因此它也是毫无意义的。因此，希尔伯特提出，能量守恒在广义相对论中的情形不同于在其他理论中，这一事实是爱因斯坦理论的一个特征。
这是一个数学问题，因此需要一位在不变量理论方面具有专门知识的数学家的帮助，不变量是那些不会改变的东西，人们所说的能量也属于不变量。艾米·诺特正是这样一位数学家，受希尔伯特的邀请，她开始着手解决这个问题。
02从守恒到对称在研究希尔伯特关于广义相对论的主张时，诺特提出了她那有影响力的结论。她证明了如果在一个物理理论中能量是守恒的，那么这个理论不会随着时间的推移而改变：即描述自然的规律在今天和100年前是一样的，明天也会是一样的。这是一个惊人的结果。能量不能被创造或消灭这一事实，等同于自然法则不随时间的推移而改变。
能量不是诺特定理唯一适用的东西。我们知道的另外两个守恒量是动量（http://suo.im/4UNI1d）(物体的速度乘以它的质量)和角动量（http://suo.im/4qEh5u），角动量类似于物体在圆周上运动的动量。动量守恒也可以用牛顿摆来说明。角动量守恒是当一个溜冰者在原地旋转时，将他们的四肢伸展或蜷成一个球的过程中所看到的情景。现在溜冰者的运动阻力变小了，因为能量和以前一样，从而溜冰者速度会加快。
需要注意的是，诺特的结论本质上完全是数学的。她认为数学结构可以描述物理理论，但并非是必需的。这些结构包含可以表示能量、动量和角动量的表达式，以及可以表示时间、空间或旋转的变换。诺特的证明过程说明了它们在数学上是如何联系起来的，而并没有涉及物理学的解释。
在数学中，当某事物在转换过程中保持不变时，我们说它在变换下是对称的。这与我们通常看到的对称性概念相吻合，比如蝴蝶的图案。我们说它是对称的，因为当你沿其中心的垂直轴反射它时，整个图案保持不变。诺特的结论在对称性和守恒定律之间建立了深层次的联系，并且这种联系是完全普遍的：对于每一种对称性（不仅仅是上面提到的对称），必然存在某种对应的守恒量。为了证明这一点，她使用了一个数学领域专门为了理解对称性而发展起来的一个概念：群论（http://suo.im/4MwWBV）。用诺特自己的话说，她的数学处理可以被看作是“广义相对论的最大可能的群论推广”。
03我们为什么注重对称性？诺特的结论产生了如此大的影响，是因为它表明了对称性在物理学中的重要性。当守恒定律第一次出现时，它们给了物理学家另一个角度来研究物理系统。诺特的结论更进一步。它推动了数学家对对称性的理解，这种对称性在物理学家的支配下，一百年前就得到了很好的发展。
现代物理学家已经将这一想法推向了极致。他们不是先提出一个理论，然后再去寻找它的对称性，而是先决定他们的理论应该具有什么对称性，然后再观察现实如何与之相对应。这种做法取得了惊人的成功。包括著名的希格斯玻色子（Higgs boson（http://suo.im/4MwWzZ））在内的几种基本粒子，都是基于某些（相当抽象的）对称性存在的假设而被预测存在的，后来才在实验中被发现。希望对称性最终能引导我们找到备受追捧的万物理论。
04那爱因斯坦呢？我们刚才叙述的只是诺特在1918年的论文《不变量的变分问题》中证明的两个结果之一，它不适用于广义相对论。我们上面提到的对称性是一种全局变换，在某种意义上来说它们对空间中的每一点都做同样的变换。如果将每个点沿固定方向移动固定距离，或绕固定轴旋转固定角度，那么每一个点都会经历完全相同的情况。诺特的第一个定理只适用于对称性都是全局的理论。如果是这样，那么每个对称性都对应一个守恒定律。
然而，广义相对论的对称性并不是全局的。在对不同点做不同的局部变换下，该理论也保持不变。在这种情况下，诺特的第一个定理并不适用：对于每一种对称都没有一个简单的守恒定律。为了处理广义相对论(以及其他所谓的广义协变性理论（http://suo.im/4UNI3X）)，诺特证明了第二个定理——与第一个定理一起，这个定理证明了希尔伯特是对的：能量守恒在广义相对论中确实有不同的地位。诺特写道:“从群论的角度来看，定理2给出了有关广义相对论中传统的能量守恒定律失效的希尔伯特相关论断的证明。”广义相对论中能量守恒的确切性质是很复杂的，所以我们将把它留到下一次讨论。
05大学不是澡堂就爱因斯坦而言，诺特的洞察力给他留下了深刻的印象。他在给希尔伯特的信中写道：“昨天我收到诺特小姐寄来的一篇关于不变量的非常有趣的论文。让我印象深刻的是，她竟可以从如此宏观的视角来理解问题。如果哥廷根的守旧派从她那儿学到一些东西，也不会有什么害处。”
关于变分问题的论文是诺特提交给哥廷根大学的论文之一，目的是为了获得“教职资格”，也就是她教书的权利。几年前，在希尔伯特的支持下，她曾尝试过申请教职，但因为她是女性而被拒绝。没有教职，她就无偿地工作。爱因斯坦、希尔伯特和克莱因对这种性别歧视素来不满。根据希尔伯特的一位著名学生赫尔曼·外尔（Hermann Weyl，1885-1955）的说法，希尔伯特曾在一次教师会议上说，“我认为性别不应成为反对她获得大学教职的理由，毕竟，我们是一所大学，而不是澡堂。”
在这篇（http://suo.im/4qEfxc）文章中，你可以更多地了解诺特的个人生活，以及她作为一名女性和犹太数学家所面临的挑战。
关于本文
玛丽安·弗莱伯格（Marianne Freiberger）是Plus的编辑。她要感谢伦敦大学玛丽女王学院物理学教授大卫·伯曼（David Berman）对这篇文章提出的非常有用的建议，以及杜克大学哲学教授凯瑟琳·布雷丁（Katherine Brading）在2018年9月的伦敦数学学会诺特联合庆典上所做的精彩演讲。
作者简介:
Marianne Freiberger，Editor of Plus.
译者简介:
张平平，河北师范大学汇华学院理学部大四学生
杨中明，河北师范大学科学技术史专业研究生二年级
校对简介：
杨探，河北师范大学科学技术史专业研究生三年级
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