分形几何，处处惊艳，超凡脱俗！
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生成令人目眩的分形图案的数学原理非常简单。
撰文 | 民间数学家
首先请先欣赏下面这幅图：
这幅图给人的第一印象是非常精细，而且细心的朋友可能会发现，这幅图的许多小部分放大后和整体非常相似。
比如我们把上图画框的部分放大，大家看：
再画个小框放大！里面还是大有乾坤！
这种图形的精细之处在于：无论你把哪个局部放大，无论你放大多少倍，你都会看到和整体类似的图形。
大家可以想象一下，这个图形到底有多复杂、多精细。而我要告诉大家的是，生成这个图形背后的数学原理非常简单！同样的数学原理，可以生成许许多多这样的图形（大量精美图片放在文章第三节，读者可先跳过欣赏）。
为了理解这些图像背后的数学原理，我们需要三个关于复数的基础知识。
还记得这个方程吗？初中数学老师告诉我们这个方程无解，因为不论是正数还是负数，它们的平方都大于零。
上了高中后，高中数学老师却告诉我们这个方程有个虚数解，然后开始引入复数。
一、复数，指形如 x+yi 的数，其中x，y是实数，而i是满足 i²=-1 的虚数。复数的加法非常简单：(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i 。乘法稍稍有点复杂，但其实都是由公式 i²=-1 推导出来的。
比如
i•(2-i)=1+2i； i•(1+i)=-1+i；
(1+i)²=1+2i+i²=2i
一般的复数乘法公式是：
(x+yi)(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i
二、复数z=x+yi的模ⅠzⅠ是定义为：
两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积。
这个结论可以由复数乘法公式和下面公式直接得到：
还记得初中时学过的一个重要知识吗：所有实数和数轴上的所有点一一对应？其实复数也有类似的说法。
三、复数和坐标平面上的点一一对应，复数 x+yi 对应坐标为(x，y)的点。根据勾股定理，复数的模就是对应的点到坐标原点的距离。
所以接下来我们会把复数看成平面上的点，平面上的点也会看成复数，重要的事情说三遍：
复数就是平面上的点！
复数就是平面上的点！
复数就是平面上的点！
现在我们可以来讲述精美图形背后的数学原理了。首先，给定一个固定的二次多项式 f(x)=x²+c ，其中c是固定的复数。接下来，任意的一个复数z，代入到多项式f(x)中，都会得到一个新的复数 f(z)=z²+c ，再把这个新的复数再代入到多项式f(x)中，又会得到一个新的复数 f(f(z))=(z²+c)²+c ，
一直这样做下去，就会得到一个无穷的复数序列，也就是平面上的无穷多个点。
如果这无穷多个点都落在某个以原点为圆心的圆内（说得专业一点就是，如果这无穷多个点是有界的）
也就是说，如果这些复数的模都会小于某个正数R的话，那我们就称 z 为良好点。所有的良好点构成的集合称为多项式 f 的填充朱丽叶集（filled Julia set），填充朱丽叶集的边界称为多项式 f 的朱丽叶集（Julia set）。
复动力系统先驱Gaston Maurice Julia
(1893 – 1978)
我们来看最简单的例子，多项式f(x)=x²的朱丽叶集。x²的作用就是平方运算，所以任何复数z不断代入这个多项式得到的无穷复数序列就是：
根据复数的模的乘法性质，这些复数的模分别是：
使得这个无穷数列保持有界的复数z，正是那些模小于或等于1的复数，而这些复数在平面上构成了单位圆盘（x²+y²≤1）。所以多项式x²的填充朱丽叶集就是单位圆盘，而朱丽叶集就是圆盘的边界，也就是单位圆周（x²+y²＝1）。
这里的美，超凡脱俗，令人窒息
在mathematica软件中绘制朱丽叶集，虽然精度不是很高，但画出来的图形已经足够优美了。我们先来看一下，当c很小的时候，比如 c=-0.2+0.2i 时，多项式 x²+c 的朱丽叶集已经非常粗糙了，但至少还可以围成一块完整的区域。
c继续变化时，情况就完全不一样了，我们已经引领大家来到一个全新的美学世界，这里的美，超凡脱俗，令人窒息！
下面是 x²-0.77-0.22i 的朱丽叶集，我们在文章开始的时候已经见过了。
x²+0.365-0.37i 的朱丽叶集：大大小小的风车不停地转动。
x²-0.6358+0.682i 的朱丽叶集，光秃秃的枝干。
x²-0.55+0.64i 的朱丽叶集，长出枝叶。
x²-0.52+0.62i 的朱丽叶集，越长越茂盛。
x²-0.51251-0.521296i 的朱丽叶集：无穷无尽的锁链！
x²-0.5264-0.5255i 的朱丽叶集：锁链越拉越长。
x²-0.534-0.5255i 的朱丽叶集：越拉越细。
x²-0.54-0.5255i 的朱丽叶集：锁链终于拉断了。
x²-0.62－0.44i 的朱丽叶集，我们用绿色来填充，这样效果更好，像不像仙人掌。
x²-0.69－0.31i 的朱丽叶集，仙人球！
x²-0.691+0.312i的朱丽叶集：黑心花椰菜。
x²-0.6984+0.31i的朱丽叶集：花椰菜脱水。
x²+0.26 的朱丽叶集，这是猫头鹰家族吗？
x²+0.34-0.05i 的朱丽叶集，简直就是一只怪兽！
x²+0.375-0.083i 的朱丽叶集，怪兽被打碎了。
x²+0.42413+0.20753i 的朱丽叶集：另一只怪兽。
x²+0.3593+0.5103i 的朱丽叶集，怪兽被打弯了。
x²+0.338+0.489i 的朱丽叶集，怪兽又被打碎了！
x²+i 的朱丽叶集：闪电！闪电！
x²-1.75488 的朱丽叶集：灰机。
x²-1.38 的朱丽叶集：葫芦串？
x²+0.3-0.015i 的朱丽叶集：晴转多云。
x²＋0.47-0.1566i 的朱丽叶集：云散了。
x²＋0.02-0.66i 的朱丽叶集：烟花绽放！
x²-0.6843-0.3944i 的朱丽叶集：星尘？星云？
x²-0.0471-0.656i 的朱丽叶集：吞噬一切的黑洞。
x²-0.015-0.66i的朱丽叶集：蜘蛛网。
本文经授权转载自微信公众号「职业数学家在民间」。
作者简介
一位职业数学家，以学术为业，偶尔写写科普。
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