数学天才哈代：我自豪我从未做过任何有用的事
The following article is from 好玩的数学 Author 林开亮 陈见柯
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2018年8月11-12日，山东大学威海分校召开第八届数学文化论坛，本文的两位署名作者在会上做了关于20世纪英国大数学家哈代 (G. H. Hardy) 的通俗报告。下文是报告人的二次修订本，修订时略去了比较专业的数学部分，在此分享给各位读者。
哈代（1877-1947）
之所以要研究哈代，有以下四个动机：
哈代曾说“年轻人应该证明定理，年长者可以写书”，他自己就写了许多脍炙人口的著作，例如随笔《一个数学家的辩白》，《纯数学教程》、《数论导引》等教材。哈代的名字在数学爱好者中间是熟悉的，但读者也许想对他有更多的了解。我们在前人工作（见参考文献）的基础上做出了尝试，以下是一个简单的介绍。
1890， 温彻斯特学院1896-1900，剑桥大学三一学院1900-1906，三一学院研究员1906-1919，剑桥大学讲师， (1910， 当选为英国皇家学会院士， 注：相当于科学院院士)1911，与李特伍德开始长达35年的合作，合作近100篇论文1913，发现拉马努金（“一生中最大的数学贡献”）1919-1931，牛津大学教授（“达到一生中的顶点”）1931-1942，剑桥大学教授1942，退休1947，卒于剑桥
自1900年做研究员起，哈代一生一共发表375篇论文，汇集成7卷论文集，出版11部著作，其中《纯数学教程》（微积分教材）、《不等式》、《数论导引》多次重印再版、已成经典。除了两本在牛津大学出版，其它9本均由剑桥大学出版。
1908 《纯数学教程》1910 《无穷大的阶》1915 《狄利克雷级数通论》(With M. Riesz.)1934 《不等式》(With J. E. Littlewood and G. Polya.)1938 《数论导引》 (With E. M. Wright.) (牛津)1940 《一个数学家的辩白》1940 《拉马努金》1942 《罗素和三一学院》1944 《傅里叶级数》(With W. W. Rogosinski.)1948 《发散级数》 (牛津)
注：蓝色标记的表示有中译本。
哈代的书非常受欢迎，以下是摘取的一些来自名家的推荐：
杨振宁：
同学们要我举出对我影响最深的书，一本英文的，一本中文的。这个问题很难回答，因为世界上书太多了。不过我想可以换一个说法，推荐几本有意思的书。先讲数学。我在大学一年级的时候，我父亲从图书馆借来一本《纯数学教程》，这是英国的一个大数学家[注：即哈代]在二十世纪初写的。我看了这本《纯数学教程》之后大开眼界，什么缘故呢？因为世界上所有的数学在开始的时候都是教小孩子像1，2，3，4……整数、分数、小数。但是，对整个逻辑系统没有注意。这本书整个方法是从逻辑的系统开始的，这使得当时16岁的我忽然了解到，数学的结构原来还可以有另外一种看法，这对我是一个很大的启发。这本书很有名， 相当于大学一二年级数学的程度， 可是它吸取了近代数学的精神，对任何一个对数学有兴趣的同学我都推荐。也许今天在这儿这种人很少, 可是你们也许会对他另一本书发生兴趣。这本书叫《一个数学家的辩白》。这是一个俏皮话, 他的意思，他整本书就是说 , 他认为数学是纯粹的艺术, 是没有用处的。他说他一生最得意的事情，就是没做过任何有用处的事情。他非常会写, 所以, 他把这样简单的一句话写成一本小书。这本小书——我想——从文学的立场讲起来，是写得非常之好的, 而且里头有很多的小故事。
怀尔斯：
我非常幸运地受教于一位研究过数论的中学数学老师。在他的建议下，我搞到一本绝妙的书——哈代与赖特合著的第四版《数论导引》。这本书与达文波特的《高等算术》一起，成为引导我进入这一领域的至爱书籍。通过搜索这部《数论导引》来寻找有关费马大定理——我已经对此问题着迷——的线索，我第一次领略到数论真正的广博无限。
钟开莱：
当前数学的全部或一大部分果真有成为有用之时么？不久前，我以此询问韦伊教授，当时他正在斯坦福大学作有关欧拉的演讲。他回答说不，他先说到哈代在《一个数学家的辩白》一书中答复过此问题。我知道这本书。我第一次读它时，尚是个单纯的青年，对哈代信服之至。请允许我离题讲述一件事：1936年，我就读于清华大学时，哈代所著《纯数学教程》是一年级微积分参考书之一，正是此书使我开始从物理学转向数学，至今我仍不忘哈代所指出的：教授微积分应从n的函数而不是从 x 的函数开始。（诸君也在课堂上试一试看！）
在公众视野中，哈代最引人注目的作品是1940年出版的随笔《一个数学家的辩白》（以下简称《辩白》），向读者传递了他的数学观。哈代的许多观点都引起读者共鸣或反驳，因此常常被引用。我们选取部分与读者欣赏。
有许多相当高尚的动机引导人们去从事某项研究，但有三点比别的更重要：
首先是智力上的好奇心（如果没有这一点，其他的都站不住脚），渴望探知真理；其次是职业上的自豪感，渴望对自己的工作感到满足；最后是要有雄心，渴望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱。
如果智力上的好奇心、职业上的自豪感和雄心是研究的主要动力的话，那么的确没有什么职业比数学家更有机会满足这些条件了。
对于雄心，哈代特别写道：
人的第一责任，至少对于年轻人来说，是有雄心。
这不禁让我们联想起《新上海滩》里大佬冯敬尧对接班人丁力的点拨：
回到《辩白》，个人认为，其中最吸引人的观点，是他哈代对于数学之美的评述，例如：
数学家跟画家或诗人一样，也是造型家。如果说数学家的造型比画家和诗人的造型更永恒，那是因为前者是由思想塑造的。画家造型用形与色，诗人则靠遣词造句……
与画家或诗人的造型一样，数学家的造型也必须美；与色彩或语言一样，思想也必须和谐。美是首要的标准，丑陋的数学在人世无永久的立足之地。
数学家是思想的造型家，而美与严肃则是评价其造型的标准。
哈代在《辩白》中选取的两个美的数学的例子分别是：素数之无穷、2的平方根之无理。并进一步提到：
在数论中，人人都能欣赏的漂亮定理比比皆是。例如，有一个所谓的算术基本定理：任何整数都可唯一分解成素数的乘积……另一个著名的漂亮定理，是费马的二平方和定理……(数论中许多最优美的定理，例如二次互反律)
哈代对于数学之美的论述，令人想起王国维的《人间词话》，他二位对美都有极高的品位。顺便说一句，与哈代一样，王国维也是1877年出生，而鲜为人知的是，王国维也对中国近代中小学数学教育作出了重要贡献。
哈代在《辩白》中最引起争议的，是他对数学无用的观点：
只有少部分数学有用，而即此少部分也较为乏味，真正数学家的真正数学（无论其为应用数学或纯粹数学），即费马、欧拉、高斯、阿贝尔、黎曼的数学，几乎全部无用。如能解释真正数学的存在，则应解释为艺术。
……我从未做过任何有用的事情。
例如，他生前非常赏识的后生莱文森1970年曾专门写文章反驳过这一观点，标题是Coding Theory: A Counterexample to G. H.Hardy s Conception of Applied Mathematics。莱文森说，编码理论就用到了纯数学，特别是伽罗瓦所发现的有限域的理论。
哈代写《辩白》是在第二次世界大战期间，他特别提到了数学与战争：
有一个结论是真正的数学家感到坦然无惧的，那就是，真正的数学对战争毫无影响。至今还没有人发现，有什么火药味的东西是数论或相对论造成的，而且看来以后很多年也不会有人能够发现这类东西。
显然，他没有预见到基于相对论基本结果 E=mc^2 的原子弹竟然会在他有生之年的某一天应用于战争、乃至结束二战，而最初为战争服务的编码（有许多是基于数论）现在也应用于日常生活中，比如保障了你银行卡的密码安全。
哈代在强调数学职业的优越性，同时也指出，做数学与当和尚修行截然不同：
当这个世界都疯狂了的时候，数学家可能发现数学是一种无与伦比的镇静剂。因为数学在一切艺术和科学中是最为阳春白雪的，数学家应该是所有人中最易于找到象牙塔的人。正如罗素所说，在这座象牙塔中，“我们较为高尚的感情冲动中至少有一种，能够完全逃脱现实世界沉闷的流放。”可惜的是，这里一定要提出一个非常严格的限制条件：这样的一位数学家的年纪不能太大。数学不是冥思苦想的修行，而是一门创造性的学问，凡是失去创造力和创作欲的人，都不能从中得到很多慰藉；这是数学家要不了多久就可能碰到的情况[注：可能有很多人感觉中枪了，如我们]。可是到了那样的境地，他也就不是什么重要角色，也不必为他操心了。[好了，请大家也不必为我们担心了。]
插话：哈代对罗素讲
如果我能通过逻辑证明你将在五分钟之内挂掉，我会为你的将挂而伤悲，
不过我的伤悲很快就会被证明的乐趣覆盖。
这句话主要表明，哈代欣赏证明的力量。
哈代在《辩白》中多次提及数学创造力的与时俱下，例如：
每个数学家都应谨记，比起其他任何艺术和科学，数学更是年轻人的游戏……[注：菲尔兹奖只颁发给40岁以下的数学家，因此怀尔斯没有得到菲尔兹奖]
伽罗瓦在21岁去世，阿贝尔在27岁去世，拉马努金在33岁去世，黎曼在40岁去世。曾经有一些人在相当晚的时候才做出伟大的工作。高斯关于微分几何的论文在他50岁时才发表（不过他在十年前就有了基本的想法）。我从没见过哪个年过半百的数学家开创重大的数学进展。[注：他确实没有见过张益唐！]
如果一个处于成熟年龄的人对数学失去了兴趣，放弃了数学，这无论对于数学还是对于他，损失都不像是有多么严重。
一个数学家到了60岁也许仍然很有能力，但不能期待他有原创性的思想。
五哈代的数学工作及其影响
哈代在数论、函数论、不等式等领域皆有重要贡献，此处相对专业，我们略去。我们只提一点，哈代在zeta函数方面的工作、哈代与拉马努金在划分数方面的工作、哈代与李特伍德在华林问题方面的工作，哈代在不等式方面的工作，对塞尔伯格、闵嗣鹤、拉德梅赫、华罗庚、陈景润、陈木法都有深远的影响。
此外，哈代对遗传学也有贡献，著名的哈代-温伯格原理，就是哈代的板球友向他请教孟德尔遗传理论的结果。
六哈代对英国本科数学教育的贡献
哈代认为，英国的数学如此落伍，根源就在Tripos制度。Tripos是剑桥大学本科生的荣誉学位考试。起初，这个制度是为了达到一个并不太高的目标——决定申请（学士）学位者水平的高低——所用的手段；后来Tripos本身反而变成目标。在哈代看来， Tripos本意是用来提拔英国数学未来的带头人，结果反而成了他们的枷锁。
他后来对伦敦数学会报告说：
依我看，这个制度在原则上就不对，其腐败的程度并非改良二字可以解决。我不赞成改良，这个制度根本就应取消。
在几位比较年轻的资深同事的共同努力下，哈代终于让管理校政的理事会很不情愿地答应了一些改革。最主要的就是分等而不再排名次。从1910年开始，Tripos只分优等、二等和三等“优等第一”这个头衔被取消，从而减轻了不少压力，也用不着再为夺魁而聘请私人教师。
剑桥大学数学系本科生主页（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一个Tripos考题：
如图，证明人在深水中平稳游泳时激起的波浪其夹角总是2arcsin(1/3)。
七哈代的历史地位
1930年成立普林斯顿高等研究所时，所长弗莱克斯纳在全球物色一流的数学家时，得到专家（应该是普林斯顿大学的维布伦）的如下答复：
牛津的哈代和哥廷根的外尔是世界上数一数二的数学家，而伯克霍夫则是美国最好的数学家。
外尔是希尔伯特的衣钵传人，陈省身先生曾对他有下述评价：
历史上是否会再有像外尔这样广博精深的数学家，将是个有趣的问题。
哈代与外尔差别明显，借用哈代的学生戴森飞鸟与青蛙的著名比喻，哈代是典型的青蛙，他坦承自己是一个解题者，而外尔则是公认的飞鸟。
他们都不遗余力地提携后进，他们先后影响指引了华罗庚。哈代和华罗庚都没有博士学位，他们在本国的地位和作用相当。
注：作为20世纪的重要数学人物，哈代、外尔、华罗庚都值得我们深入探究。
八致 谢
感谢数学文化论坛组委会给我们机会做报告。本报告的构思与准备得到了中科院数学所严加安院士、密歇根大学季理真教授、首都师范大学赵学志教授、浙江大学蔡天新教授、南方科技大学欧阳顺湘教授、天津大学刘志新教授的启发与帮助，特表感谢！
感谢马志明院士和张益唐教授在报告现场对报告提出有价值的建议和评论。
请大家批评指正！
参考文献
[1] 哈代，《一个数学家的辩白》，李文林等编译，大连理工大学出版社，2014年。
[2] 胡作玄，哈代: 不仅仅是数学家，《自然辩证法通讯》1993年04期。
[3] 卡尼格尔《知无涯者——拉马努金传》，胡乐士 、齐民友译，上海科技教育出版社，2008年.
[4] 林开亮、郑豪，从费尔马多边形数猜想到华罗庚的渐近华林数猜想，《数学文化》第7卷（2016年）第2期，61-83.
[5] Albers, D.J.; Alexanderson, G.L.; Dunham, W., eds. The G.H. Hardy reader}. Cambridge: Cambridge University Press. 2015.
本文第一版曾发表在“好玩的数学”，此文修订版来自“哆嗒数学网”。
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