然而，哪儿不对劲儿。我第一次见到薛定谔方程是1984年秋，到2019年已有35年之久，此前我也翻译、讲授过薛定谔1926年的经典论文Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化是本征值问题)，撰写过《量子力学少年版》，薛定谔方程对我来说应该是非常熟悉的存在。此前我都不知道写过多少遍了(虽然一直不懂。薛定谔从经典力学中构造出薛定谔方程的过程其实很难理解，那才是我们要学的大科学家的功夫)，怎么这次会写错呢？我翻了翻我自2012年以来的量子力学讲义和报告文件，发现也有几处就是写成了的样子的。这也不象是无心的输入错误啊？我似乎潜意识中一直想写。
2021年4月24日，为了撰写《磅礴为一》中的薛定谔一章，我读到彭罗斯 (Roger Penrose, 1931-) 在1996年给薛定谔的Nature and Greeks (自然与希腊人) 一书再版所写的序，其中有这样一段话：“Although these attempts had some success, the thrust of underlying mathematical conceptions has been, instead, to drive us in the direction of that curiously elegant form of continuity that is provided by complex numbers (numbers in which features). Complex numbers are fundamental to quantum theory (and occurs explicitly in Schrödinger’s equation)”， 联想起我为了撰写《云端脚下》还研习过的薛定谔1922年挽救规范场论的那篇论文，我恍然大悟将薛定谔方程写成的样子也是对的以及为什么我想这么写了。上述引的彭罗斯的第一句英文有点儿别扭，第二句倒是非常容易理解：“复数对于量子力学非常关键 (直白地出现在薛定谔方程里) ”。你注意没有，彭罗斯可不是说“i”直白地出现在薛定谔方程里。
有趣的是，我2007年就读过纸版的Nature and Greeks这本书，而且在上述这段话旁边还写下了“什么意思？”的批注 (图1)，可见那时候我就开始思考这个问题了。不过, 我已经完全忘了这茬儿了。唉！
那么，为什么薛定谔方程也可以写成的样子呢？或者说，光写 也有点儿不合适呢？容我慢慢分剖。
图1. 2007年读纸版的Nature and Greeks 时，我在彭罗斯的序言旁写下了“什么意思？”的评注。14年后的2021年我感觉我明白了点什么。
1918年5月，外尔 (Hermann Weyl, 1885-1955) 发表了一篇题为“Gravitation und Elektrizität (引力与电) ”的论文，试图统一引力和电磁理论，这后来成了规范场论的第一篇论文。在这篇文章中，外尔得到了一个结论，电磁场存在的时空里时空距离的平行移动会为时空长度带来一个变换因子 。爱因斯坦 (他推荐的这篇论文) 在这篇论文之后有个评论：“Wäre dies in der Natur wirklich so, dann könnte es nicht chemisch Elemente mit Spektrallinien von bestimmter Frequenz geben, sondern es müsste die relative Frequenz zweier (räumlich benachbarter) Atome der gleichen Art im allgemeinen verschieden sein. Da dies nicht der Fall ist, scheint mir die Grundhypothese der Theorie leider nicht annehmbar, deren Tiefe und Kühnheit aber jeden Leser mit Bewunderung erfüllen muss (如果自然真是这样的，则不可能存在具有确定频率之谱线的化学元素，而是空间上相近的两个同种原子一般来说会有不同的相关频率。既然事情不是这样的，这个理论的基本假设在我看来就是不可接受的。当然啦，这个理论的深度与胆识每个读者都会佩服的) ”。外尔虽然稍微作了几句辩护，但爱因斯坦的挑剔确实指出了问题的症结。这篇文章发表后的一段时间里没有后续进展。它在等着薛定谔1922年和1926年的两篇突破性论文来救它。
1922年，薛定谔发表了题为“关于单电子量子轨道的一个值得注意的特性 (Über eine bemerkenswerte Eigenschaft der Quantenbahnen eines einzelnen Elektrons) 的论文，建议将外尔的时空长度变换因子中的γ定义为，这可以说是挽救外尔理论的第一步。在论文中，薛定谔指出，那个能得到 (氢原子) 能量谱的量子化条件，，其中是系统在一个周期内的平均动能，可以使得中的指数对于系统的一个周期积分是的整数倍。将量子化条件用到中的积分项上，可得出个近似结果 。如果电子沿轨道的运动带来 “长度”的变化，每个周期过后时空有“长度”变化 ，薛定谔说他很难相信这是量子化条件的偶然数学结果而没有深刻的物理意义。注意到有两个量纲为作用量的物理常数，一个是普朗克常数h， 一个是，于是薛定谔选择假设 ， 则那个变化因子变成了模为1的复数，就能有效避免所谓的电子运动带来的“长度”变化了。
笔者愿意强调，这是薛定谔挽救外尔理论——即后来的规范场论——的第一步，用的是量子化条件。
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薛定谔1926年的论文与挽救外尔理论的第二步
1926年，薛定谔分四部分发表了Quantisierung als Eigenwertproblem一文，这是量子力学之波动力学形式的奠基性文章。请注意，薛定谔的这篇发表在Annalen der Physik 杂志上的论文整整140页！140页！140页！不知道几个学过量子力学的朋友知道这一点——关于量子力学诞生历史的描述给我们的印象是薛定谔几笔就划拉出来了一个方程，那篇论文估计也就是三五页的长度。笔者以为，这篇文章的题目“量子化作为本征值问题”，同黎曼1859年引Quanta这个词入 (复) 几何学以及用虚 (复) 数表示的量子化条件 (玻恩的手笔)，这三者才是量子力学的精髓。一般量子力学教科书根本是不明就里，基本上就是在那里解二阶微分方程而已。当然，解方程也分懂不懂物理，Friedrich Hund 解薛定谔方程就解出了量子隧穿的概念。
有了薛定谔方程的量子力学进入了新时代。1927年V.Fock和F. London 把薛定谔波动方程中的波函数变换同电磁规范变换结合在一起，从而带来了外尔理论的复活。1929年，外尔重新回到他1918年思考的问题，发表了“Elektron und Gravitation (电子与引力)”一文，其中给规范变换补上了波函数变换，这标志着规范场论的正式诞生。此处不展开讨论。
至此我算是说清楚了把薛定谔方程写成 或者 的样子皆可。其实，是将共轭的形式都写出来更好。然而，一个具有物理学史的问题又来了。在薛定谔1926年的经典论文里，并没有出现方程 。Hamilton一词在薛定谔1926论文中出现16次，但涉及的都是哈密顿的经典力学理论。谁、何时把方程写成了 的形式的，谁把这个方程叫成了薛定谔方程的 (总不会是薛定谔自己吧) ？薛定谔1926年谈论矩阵力学同他的波动力学等价的论文中，方程形式为 也不是 的样子， 见图6。笔者发现，在玻恩1926年6月25日递交的论文 Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge (论碰撞过程的量子力学) 中，就有die Schrödingersche Wellengleichung (薛定谔波方程) 、der Schrödingerschen Differentialgleichung (薛定谔微分方程) 的说法了，但却没有方程的影子。或许Mehra的the historical development of quantum theory中有线索，有空了俺再找找。