相变点的演生对称:物理常识今获数学严格证明
The following article is from 集智俱乐部 Author 潘佳栋
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一个物理系统中的相变可以是连续的,如铁磁相变,或者是不连续的,如气液相变。一个连续相变点的长程性质可以有比原系统更高的对称性,这被称之为演生对称。如果原系统没有连续旋转对称性,只有180度旋转对称性,那么连续相变点也只有180度旋转对称性。可如果原系统有90度旋转对称性,那么连续相变点就有可能有更大的连续旋转对称性。我们对连续相变点的演生对称性有很好的物理理解,但数学上的严格证明还是很困难的。今天这篇文章介绍了这方面的一个最新进展。
——文小刚
翻译 | 潘佳栋
审校 | 刘培源
图1:通过多孔介质的渗流模型,与最近关于相变对称性的重要工作有关。
旋转不变性是圆表现出的对称性。将圆旋转任意度数,它看起来都一样。这意味着在处于相变边缘的物理系统中,无论系统模型如何旋转,系统都可以表现出一些相同的属性。 早期的结果已经证明旋转不变性适用于两个特定模型,但他们的方法不够灵活,无法应用于其他模型。 新的证明标志着旋转不变性是一系列模型中的普遍现象。 法国高等科学研究所 (IHES) 和日内瓦大学的雨果·杜米尼尔·科平(Hugo Duminil-Copin)[3]说:“这种普遍性结果更加有趣”,因为这意味着无论物理系统模型之间有什么差异,都会出现相同的现象。 杜米尼尔·科平与里昂高等师范学院的卡罗尔·卡杰坦·科兹洛夫斯基(Karol Kajetan Kozlowski)[4]、日内瓦大学的德米特里·克拉春(Dmitry Krachun)、弗里堡大学的伊昂·马诺莱斯库(Ioan Manolescu)[5]以及IHES和巴黎萨克雷大学的Mendes Oulamara[6]是这项工作的合作者。 这项新工作带来了新的希望,数学家们可能正在接近一个更加宏大的结果:这些物理模型是共形不变的。 在过去的几十年里,数学家已经证明了共形不变性适用于一些特定的模型,但他们一直无法证明它适用于所有模型。这个新的证明为获得全面的结果奠定了基础。 日内瓦大学的斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫(Stanislav Smirnov)[7]说:“这是一个非常大的突破,共形不变性现在看起来触手可及。”
1. 神奇的时刻
1. 神奇的时刻
2. 对称性的对称性
2. 对称性的对称性
图3:系统发生相变过程中。原子迅速改变它的磁场方向,网格具有共形不变性:前面和后面的具有相同磁场方向的原子团大小相同。
在这个临界点,数学家观察模型并研究箭头之间的相关性,这表示了给定一对格点指向同一方向的可能性。在此设置中,共形不变性意味着可以平移、旋转和缩放网格,而不会改变这些相关性。也就是说,如果两个箭头有50%的机会指向同一方向,然后使用这些对称性,那么在晶格中占据相同位置的箭头也有50%的机会对齐。 结果是,如果将原始晶格模型与变换后晶格模型进行比较,将无法分辨原来的和新的模型。重要的是,相变之前的伊辛模型并不是这样的。在那里,如果将格子的顶角调整为与原始大小相同的大小,这将增加向下箭头原子团的大小,从而很明显得到哪个格子是原来的。 共形不变性具有直接的物理意义:它表明即使调整物质的微观细节,系统的全局行为也不会改变。 它还暗示了某种优雅的数学,就像整个系统正在打破其总体形式并成为其他东西一样。
3. 第一个证明
3. 第一个证明
4. 一次一个
4. 一次一个
图4:法国高等科学研究所和日内瓦大学的杜米尼尔·科平和他的合作者正在采用一次一个对称的方法来证明共形不变性的普遍性。
物理学家需要分三个步骤进行证明,共性不变性都存在对称性:平移不变性、旋转不变性和标度不变性,分别证明它们中的每一个就会得到共形不变性。考虑到这一点,研究人员首先着手证明标度不变性,他们认为旋转不变性将是最困难的对称性。在尝试时,他们认识到他们可以证明在方形和矩形网格上的各种渗流模型的临界点存在旋转不变性。 他们使用了概率论中概率耦合(coupling)的方法,该方法可以直接比较方形晶格与旋转矩形晶格的大规模演化行为。 通过将这种方法与另一个称为可积系统领域的思想相结合,该领域研究演化系统中的隐藏结构,他们能够证明模型中相变点的行为是相同的——从而建立旋转不变性。之后他们证明了他们的结果可以扩展到其他物理模型。 最终结果证明了旋转不变性是二维模型的普遍属性。他们工作的成功表明,融合不同数学领域的类似方法对于在共形不变性方面取得进一步的研究进展是必要的。 “我认为,在共形不变性的论证和相变研究中,你需要一点点证明。你不能只从一个角度来证明它。”杜米尼尔·科平说。
5. 最后的步骤
5. 最后的步骤
参考文献
[1]https://arxiv.org/abs/2012.11672[2]http://www.wisdom.weizmann.ac.il/profile/scientists/kozma-profile.html[3]https://www.ihes.fr/en/professeur/hugo-duminil-copin-2/[4]http://www.ens-lyon.fr/PHYSIQUE/presentation/annuaire/kozlowski-karol[5]https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/[6]https://www.ihes.fr/~oulamara/[7]http://www.unige.ch/~smirnov/[8]https://www.quantamagazine.org/the-cartoon-picture-of-magnets-that-has-transformed-science-20200624/[9]https://phy.princeton.edu/people/alexander-polyakov[10]http://jetpletters.ru/cgi-bin/articles/download.cgi/1737/article_26381.pdf[11]https://arxiv.org/abs/0909.4499[12]https://www.unige.ch/~smirnov/papers/icm-publ.pdf[13]https://nyuad.nyu.edu/en/academics/divisions/science/faculty/federico-camia.html本文经授权转载自微信公众号“集智俱乐部”,原标题为《数学家证明相变的对称性:从旋转对称性到标度不变性》。原文链接:
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-symmetry-of-phase-transitions-20210708/
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