丘成桐：实验科学对理论科学的影响

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本文是丘成桐院士于 2021 年 10 月 22 日在东南大学健雄书院揭牌及数学学科创建百年庆祝活动上演讲的讲稿。

撰文 | 丘成桐

今天很荣幸地在东南大学的吴健雄学院讲几句话，一方面也纪念东南大学成立数学学科的百年历史。东南大学在中国学术界一直都是举足轻重的。

1933 年，曾经教导过我的老师陈省身（1911-2004）先生射影微分几何的孙光远（1900-1979）教授，离开清华大学后，就到东南大学做教授。我的两个朋友程崇庆教授和沈向洋教授都在东南大学念过本科，可见东南大学在教育英才上是有重要贡献的。但毫无疑问的是，在东南大学的校友中，留名千古的当数吴健雄（1912-1997）先生。

吴健雄

二十多年前，我在台湾的中研院开会时，总会见到吴健雄先生和她的丈夫袁家骝（1912-2003）先生。和她两夫妇间中交谈，我很钦佩她的学识，尤其是她在实验物理上的工作。

袁家骝、吴健雄夫妇

1936 年，她到加州大学伯克利分校师从一代物理学大师劳伦斯（Ernest Lawrence, 1901-1958），我本人也是在伯克利跟随数学大师陈省身。虽然那是 33 年后的事情了，但是我们交流起来，还是蛮有意思的。

她毕生在 β-衰变物理上做了很多重要的工作，最出色的是在 1956 年时，领导一个小组在极低温下用强磁场把钴-60原子核自旋方向极化，来观察钴-60原子核 β-衰变放出的电子的出射方向。她的小组发现大多数电子的出射方向都和钴-60原子核的自旋方向相反。因而证实了弱相互作用中的宇称不守恒，也因此验证了李政道、杨振宁同年做出来的假设。

这个实验惊动了物理学界，李、杨也因此获得了诺贝尔奖。但令人惊讶的是她却没有得到诺奖，对于这件事，学界很多人都为她抱屈。不过当时物理学界能够授予给一个学者的荣耀，她都拥有过，应该是此生无憾了。

吴健雄先生的工作主要是从实验上观察大自然，尤其是 β-衰变产生的种种现象。这是西方文艺复兴与古希腊的一个重要科学方法。爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）在给斯威策（J.E. Switzer）的回信（1953 年，收录在《爱因斯坦文集》（第一卷））里曾说过：

“西方科学的发展基于两大成就：希腊哲学家发明的形式逻辑系统（在欧几里得几何中）和发现通过系统实验找出因果关系的可能性（在文艺复兴时期）。在我看来，中国的先哲们没有迈出这些步伐，这一点不必感到惊讶。但是令人吃惊的是，这些发现竟然存在。”

爱因斯坦的意思是说，数学推理方法加上上述的实验观察是近代科学方法的基础。天下间值得惊奇的是宇宙竟然美好有序，可以通过这些方法来了解。

通过观察天象、通过能够可以控制的实验来寻找显示大自然真实的数据，确是现代科学的第一步。但是如何在大量的观察结果和数据中找到重点来解释我们见到的现象，是唯象物理学家的重点工作。一般来说，某个新现象产生后，一大批学者开始建立种种模型，仿真我们看到的事物。

模型当然可以建立，但是往往太多，大部分都经不起时间的考验。如何决定模型不正确？一般来说，经过长时间考验的理论会发挥重要的工用。因为这些理论已经在不同的地方被证实为有效的，可以信赖了。假如新模型在这些理论面前站不住脚，这个模型大致上是有问题的！

但是，理论——无论是多漂亮的理论，它的内在结构必须要相容，不能够产生矛盾，否则解释不了自然界的现象。物理学和工程学的理论都是由数学来表达的，物理学家和工程学家却往往凭直觉来运用数学工具，在很多细节上，没有注意到数学的微妙变化比他们想象的更为复杂。他们开始时以为的完美理论，在深入探讨后可能会破绽百出。

一般来说，物理学家和工程学家希望见到他们的理论很快可以得到应用，会跳跃式地冒进，不会注意到他们推论的严格性。数学家的严谨态度对科学理论和模型却是大有帮助。在众多可能的模型中，只有数学兼容的模型才能够保留下来。将古典力学推动到量子力学时，往往会产生数学上不兼容的地方，物理学家叫做反常现象（anomaly）。这种反常现象帮忙我们选择模型的正确性，在弦理论中，帮助我们选择规范群、时空的维度。

无论如何，对正确的物理理论，物理学家坚持要通过实验验证后，才算成功。这是很正确的看法。大自然的现象太复杂了，所以理论都是渐近地模拟这些复杂现象，故重复不断的实验是验证理论的必要过程。

物理学的理论往往会推导出一些有趣的数学公式，甚至替数学家找到一些数学难题的答案。但是，物理学家应用的工具，从数学的观点来说，往往是不严格的，例如量子场论，它本身的数学结构仍然是一个谜。然而，从量子场论中得到的数学结论，可能是数学家梦寐以求的事情。

在弦理论中，约三十年前，我的一名博士后格林（Brian Greene）和我的朋友坎德拉斯（Philip Candelas） 等人在所谓 Calabi—Yau 流形（卡拉比—丘流形）中，引进了镜像对称（mirror symmetry）的观念，震惊了我们做几何的数学家！当他们跟我讨论这个观念时，我觉得这个镜像对称不大可能存在。但是当他们运用这个观念解决了一个数学上的百年难题后，我不得不佩服得五体投地。

这个问题可以解释如下。考虑一个方程

我们要找有理函数  满足上述方程。这种解叫做有理曲线。每条有理曲线有一个度数（degree）。当度数  时，一百多年前，德国数学家舒伯特（Hermann Schubert, 1848-1911） 算出了 2875 条有理曲线满足上述的五次多项式方程。当度数  时，我的朋友卡茨（Sheldon Katz）在约四十年前得到的答案是 609250。度数愈大，计算愈困难。我们没有好办法去找出一般的答案。但是通过镜像对称的方法，却可以找到一个漂亮的公式对所有度数都有答案。

1990 年，我在伯克利主持一个数学和物理学家聚在一起的大会。为这个公式，数学家和物理学家吵了一架！为什么呢？当时有两位挪威的数学家通过严格的数学论证得出度数等于 3 的有理曲线有 2682549425 条，但是上述物理学家得到的答案却是 317206375 条。

这个矛盾引起了激烈的争论，数学家们很不服气，因为物理学家的推论并不严格，但是物理学家却找不到他们推论的错误地方。这事情过了三个月后，终于得到了解决：两位挪威学者在计算时，用了电脑程序，而中间有错误；错误修正后，结果和物理学家的答案一致，大家才松了一口气。数学家从此对弦理论另眼相看！一大群杰出的数学家加入到这方面的研究，对于物理学家在弦理论方面有深入的贡献。

从这个时候开始。理论物理学家和数学家的合作进入了一个新纪元，数学家利用几十年来发展出来的知识推广物理学家的方法，得到很多重要的结果。

但由量子场论所产生的理论，对于数学家来说，始终如雾里看花，不敢过于相信；有很多对于物理学家认为明显的事情，数学家需要重新定义，才能明白其中的内容。从弦理论得到的物理直觉，通过量子场论可以推导出很多重要的数学公式。数学家们都很羡慕，因为这些公式解决了他们几百年的问题。但是，包括物理学家在内，没有人认为这些公式已经得到了证明。我们有着很奇怪的感觉，在某些重要的核心数学问题上，我们被弦论学家牵着鼻子走！即使到现在，我们还会有这样的感觉。

在 1995-1996 年间，伯克利的吉文特尔（Alexander Givental）以及连文豪—刘克峰—我三人小组分别用纯属数学的方法验证了坎德拉斯他们的公式，至此才让我们松了一口气。

我们终于有了一个严格证明的数学定理，证明的过程没有用到物理学里的量子场论。这是一个值得欣喜的事情，为什么呢？我们除了用数学方法严格地解决了一个百年难题外，也证明了在弦理论直观下得到的结果是正确的。

我们知道，到目前为止，弦理论没有实验证明它的正确性，但是由它引出的数学公式却得到了严格的证明。其实弦理论不单单引出重要的数学公式，也创下了不少有深度的数学方向，融合了数学不同的分支。而这些新的数学又成为研究物理学的重要工具！

当然，要完全证明弦理论是大自然基本理论的一部分，实验和观察还是极为需要的。但是我们深信：漂亮、简洁而深入的数学理论，必定是自然界的一部分。

我本人的看法是：

• 简洁而漂亮的数学，就是大自然展示给人类它最优美的部分！素数、虚数、几何图形、基本波、漂亮的组合，谁说这些不是大自然的一部分？
• 我们对这些听起来比较抽象的观念愈来愈了解，愈来愈知道它们无处不在！

就说对称这个观念吧，最简单的是镜像对称。每一个人照镜子，都会有这个感觉。任何一个有文化的民族，都知道这个对称，古代中国有、古代埃及有、古代巴比伦有、古代印度有、古代希腊有、古代波斯有。这个对称是如此的明显，当物理学家发现它在弱力 β-衰变的过程中，没有表现出来，他们极为惊讶！

对称的想法，一直以来都是贯彻数学中心思想的重要概念。它看来很明显，但是它真正地发展成为数学的重要工具，要从十九世纪初期伽罗华理论开始。伽罗华（Évariste Galois, 1811-1832）用置换群来解释一元多项式方程可以用根式来求解的充要条件。

伽罗华

其实自意大利人塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia, 1500-1557）找到了三次方程的根式求解公式（又叫卡尔丹诺公式）后，大家都以为所有方程都有根式解。伽罗华对每一个多项式引进一个群（即伽罗华群），他证明了多项式方程有根式解的充要条件是这个群可解（solvable）。对于次数大于五的一般多项式方程，这个群不可解。所以伽罗华得到结论：在次数大于五时，一般多项式方程没有根式解。

将问题转化为群的问题，正是近代物理学家常用的方法。1854 年凯莱（Arthur Cayley, 1821-1895）和 1856 年戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916）定义了抽象的有限群。从此以后，我们看到多姿多彩的对称现象。

经过一百五十多年的努力，数学家终于得到了有限群的分类结果，基本上全部了解到有限群的内在结构。最基本的群是单群，除了几串“经典单群”外，单群只有有限个，它们极为复杂却是极为漂亮。参与这个工作的有不少群论学家，其中一位是密歇根大学的格瑞斯（Robert Louis Griess），他是我的朋友。他在 1980 年宣布他的第一个重要结果时在普林斯顿高等研究院，当时我也在高等研究院，使人兴奋！

这个群一开始时叫做“魔群（The monster group）”，到 1982 年发表论文时，改称为“友好巨人（The friendly giant）”。这个群的元素个数大约是 ，而太阳系的原子个数约为 。用矩阵变换来表示的话，需要一个 196883 维的空间。

以后，博切兹（Richard Borcherds）找到了魔群、模函数和弦理论间的关系。对称的观念不再是一般的感觉而已了，它背后有深刻的数学理论。

这些抽象的有限群如何表现在具体的物理现象中，我们把它叫做群表示理论。我们对有限群的表示理论还没有全部了解，但是得到的结果却十分丰富。有限群在数论、几何学、古典力学、量子力学中都起了很重要的作用。我们看到的对称不再是简单的可交换的对称，比镜像对称的观念更加复杂得多了。

其实中国人引以为傲的《易经》，里面用了很多对称的观念，但是和一般有限群的结构相比较，却是简单得多。再加上深入的群表示理论，我们可以整理繁杂的自然和数学现象，得到很多惊人而漂亮的定理。

到了十九世纪中叶，数学家引进了另外一个划时代的工具——连续群，为了纪念它的创始人挪威数学家 索菲斯·李（Marius Sophus Lie, 1842-1899），我们把它叫做李群。李是几何学家，李群本身是一个微分流形。它被引进后，迅即被数学家发展，同时代的重要学者有基灵（Wilhelm Killing, 1847-1923）、克莱因（Felix Klein, 1849-1925）等人。和有限群相比，连续对称群对几何和物理现象更为重要。因为在研究连续对称的时候，可以大量引入微积分的工具！

在 1872 年，克莱因在德国 Erlangen（埃尔朗根）这个地方宣布《埃尔朗根纲领》，利用连续群的对称性将几何学分类，这影响了二十世纪几何学的发展。克莱因也引入了离散群的观念，在庞加莱（Jules Henri Poincaré, 1854-1912）的帮忙下，离散群成为几何中另外一个描述几何结构内部对称的工具，也提供数论学家一个重要方法。

紧致连续群的结构理论终于由嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951）领导的一群数学家在二十世纪初完成，而其表示理论则由大数学家外尔（Hermann Weyl, 1885-1955）领导完成，从而成为二十世纪最重要的数学工具—无论数论、几何学和物理学都以这些学问为主要研究工具。

类似于克莱因的埃尔朗根纲领，近代理论物理用李群来分类。连续群在物理上起源很早，到德国女数学家诺特（Emmy Noether, 1882-1935）手里将它完成。物理学家往往会说对称观念是爱因斯坦在做广义相对论时引入的，这个论点远离事实！广义相对论的作用原理（action principle）完全由希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）引入的，和爱因斯坦无关！而希尔伯特却受到诺特的影响！她在 1915 年就在考虑连续对称如何在物理学上产生运动方程的问题。诺特的文章 Invariant variation problems 在 1918 年发表，成为一百年来理论物理学家研究场方程的主要工具。

诺特

从诺特的工作以后，物理学家迷信一切自然现象必须要有基本的对称作用在内。其实诺特的理论是要求连续对称群的作用，而没有考虑离散群的作用。因此从数学的观点来看，弱作用力没有必要遵循宇称守恒。一个有趣的问题是，为什么强作用力要遵循宇称守恒？

其实直到上世纪六十年代后期，高能物理学用的数学工具仍然是扰动方法：沿着某些已知解的附近变动某些参数，看看解的变化如何。这种精神起源于数学的变分方法，欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）和拉格朗日（Joseph Lagrange, 1736-1813）为主要的创始人，拉格朗日的解析方法沿用至今。当物理的宏观环境还不清楚以前，扰动方法还是主要工具。一般来说，扰动时动用的物理对称群是连续群。在五十年代以前的物理里，主要工具是扰动方法，以诺特流（Norther current）为主。在这个框架下，有限对称群的出现并不见得很自然。

另一方面，由古典力学和电磁学引起了更大的对称观念。拉格朗日在研究力学时，引入势（potential）这个极其重要的观念，而拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace, 1749-1827）则利用引力场的势写下了引力的牛顿方程。拉普拉斯这个方程影响了数学差不多三百年之久，比如爱因斯坦在广义相对论中的方程就是用牛顿方程做基础，加入狭义相对论和等价原理构造出来的。但是势并不唯一，可以相差一个常数。

到了十九世纪，电磁学成为物理学的主要问题，麦克斯韦（James Clerk Maxwell, 1831-1879）通过法拉第（Michael Faraday, 1791-1867）等人的著名实验，将高斯、黎曼的理念完备后得到麦克斯韦方程组。电、磁都有势，相差是一个函数，这是规范观念的雏形。

同一个时期，黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）开始了黎曼几何的观念，这个几何背后的对称群是由所有坐标变换得到的，这个观点可以看作物理学的等价原理。这个事实成为爱因斯坦广义相对论的基础。

爱因斯坦方程爱因斯坦在 1915 年成功地完成广义相对论的方程之后，他希望将所有物质都放在广义相对论的框架下。很多几何学家参与其事，列维-齐维塔（Tullio Levi-Civita, 1873-1941）是其中重要的一位，他将黎曼几何中平行移动的观念加以推广，容许挠率（torsion）。

基本上，从几何的角度来看，他已经向一般的规范场迈进了一步。1918 年，外尔在其著作《空间、时间、物质》（Raum, Zeit, Materie）中正式引入规范场（gauge field）的观念，但是他的规范群是正实数群。爱因斯坦很喜欢他的建议，但也指出这个群使得平行移动时，长度没有保障，不满足物理学的要求。

量子力学开始后，伦敦（Fritz Wolfgang London, 1900-1954）等人在 1926 年将规范群改为圆。长度得到了保障，同时外尔也从它推导出麦克斯韦方程组。外尔宣称规范场和引力没有直接的关系，却是物质世界的主宰，有物理意义的量必须是规范不变量。他因此建立了控制各种物理力量的规范理论。由于当时发现的粒子不多，没有必要推广规范群到非交换的情形。

从几何的角度来看，嘉当在 1926 年已经开始非交换群的规范场理论的研究，他的学生 查尔斯·埃雷斯曼（Charles Ehresman, 1905-1979）和陈省身将这些理论发扬光大。当规范群是酉群时，陈省身先生定义了影响近代几何和物理的陈示性类（Chern classes，1946）。

埃雷斯曼外尔—嘉当的规范场理论，在 1953 和 1954 年分别被泡利（Wolfgang Ernst Pauli, 1900-1958）和杨振宁—米尔斯（Robert Laurence Mills, 1927-1999）用在所谓的同位旋（isospin ）理论上。但是，这些古典理论要到十多年之后，经过一群物理学家开发的对称破坏（symmetry breaking) 、重整化（renormalization）等几个重要理论，才成为现在我们看到的标准模型。

泡利与吴健雄

标准模型聚集了一大群物理学家和数学家几百年来的智慧，可以说是人类的瑰宝。

标规范场的对称群是规范群，它和广义相对论一样是无限维的，但是与李群密切相关。一直到上世纪九十年代，物理学家假定李群是连通的，而没有考虑李群的离散部分。

当物理学家发现非扰动的宏观物理时，他们很快发觉规范群离散部分的重要性。当然，宏观几何和拓扑学开始大规模的进入非扰动的物理学了。物理学中有三个重要的离散对称（不可从连续群得到）：

1. 电荷共轭对称或 C-对称（Charge conjugation），和物质与反物质的对称性有关；
2. 宇称或 P-对称（Parity transformation），空间离散对称性；
3. 时间反演对称或   T-对称（Time reversal），时间离散对称性。

它们放在一起后，可以在一般的量子场论中证明守恒——叫做 CPT 定理。

李、杨的著名工作是指出某个物理现象可能出于宇称不守恒而产生，他们建议的实验由吴健雄领导的小组完成。但是直到今天，物理学家还是没办法去解释为什么在弱作用时宇称不守恒，而在强作用时宇称守恒。

近年来，物理学家考虑另外两个重要的离散对称:

1. 费米性质对称（Fermion Parity ），区分玻色子（Bosonic (+1)）和费米子（Fermionic (-1)）的 -结构。

2. B-L 对称，重子（Baryon）数减去轻子（Lepton）数也可有离散对称性（从 U(1) 分解到 ）。

这些对称有不同的组合，可以形成比较大的作用群。它们在非微扰的量子物理中起着重要的作用，和宏观的几何学融合在一起，可望在基本物理学中流行了五十年的标准模型上会有新的突破！我在哈佛大学的博士后王浚帆（Juven Wang）正在这个方向上摸索，得到了一些成果。

标准模型方程

数学是所有学问中最严谨的，但是它必须要有丰富的内容，才能是有意思的学问，它也在描述大自然，所以也要做实验！做实验就需要仪器。

假如你问数学家做什么实验，古希腊数学家喜欢用圆规和直尺画几何图形。事实上，平面几何学中的一个重要问题，就是研究哪些几何图形可以用圆规和直尺构造出来。这个问题困扰学者差不多二千年，直到十九世纪初期才完满解决。在这个探索的过程中，代数和群论有了很大的发展，这可以说是仪器影响理论科学的第一个重要例子。

至于古代数学上最常见的工具，恐怕就是纸和笔，再者是黑板和粉笔。当然很多人也会提到算盘，其实数学家很少用算盘，大致上能够用算盘计算的数学，用笔算一样可以做到。同时从笔算中可以对数字得到更深入的了解，伟大的数学家如欧拉、高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）和黎曼都通过大量的笔算来发现重要的定理。欧拉和高斯更是发明了各种快速算法，奠定了近代计算科学的基础。

到了二十世纪，很多复杂的自然现象，例如湍流、天气预测等，再无法用笔算达到期望的精确度，数学家开始利用计算机做大型计算。第一个重要的大型计算机是第二次世界大战时研发原子弹时用到的，那个计算机的体积庞大，据说 IBM 的兴起和这台计算机有关。

八十多年前的计算机，其指令周期和储存量远远比不上我们现在人手一部的智能电话。计算机除了解方程以外，还广泛地应用到其他学科，甚至用来证明数学定理，图论上四色问题的解决就是一个突出的例子。这是一个著名的组合问题，它的证明竟然依靠机器。直到今天，数学家仍然耿耿于怀，希望能够找出一个不依赖机器的证明。这当然有很多原因，其中一个是计算机的计算程序可能有误差。这个现象在计算方程解时尤为明显，毕竟机器只能储存有限个数位的数字，因此误差是不可避免的。经过亿万次的乘除运算后，误差可以累积得愈来愈大，结果可能导致错误的答案。就是说，计算机显示出来的数字即使在收敛，得到的答案并不表示是正确的。这是一个严重的问题，因此产生了一个学科叫做数值分析，专门研究最终答案的误差。这种分析的有效性建基于对方程本身充分的了解。无论如何，电子计算机已经成为科学家最重要的工具，尤其是无法做实验的时候。

现代计算机的基本原理由英国数学家图灵（Alan Turing, 1912-1954）始创。图灵一直在说“我们想要的是一台可以从经验中学习的机器”，“让机器改变 自己指令的可能性为此提供了机制”。他在 1936 年就提出了储存程序的概念（stored-program concept），以后大家叫这种机器为“通用图灵机”（the universal Turing machine）。他还说过，希望建造一个人工大脑，起着人脑的功能而非仅仅懂得计算；对产生大脑活动模型的可能性比对计算的实际应用更感兴趣。由此可见，在很早以前，图灵已经注意到人工智能了。

1938 到 1939 年间，英国工程师托马斯·弗劳尔斯（Thomas Flowers, 1905-1998）开始用真空管来传递数码，美国的约翰·阿塔纳索夫（John Vincent Atanasoff, 1903-1995）也同时开始用真空管来做简单的计算。战后，英国的马克斯·诺依曼（Max Newman, 1897-1984）在曼彻斯特大学建立了皇家学会计算实验室 (Royal Society Computing Machine Laboratory）。他和图灵有密切的交流，也和美国的冯·诺依曼（John von Neumann, 1903-1957）来往。美国第一台计算机出现于宾夕凡尼亚大学的摩尔电子工程学院（Moore School of Electrical Engineering），它是和陆军有关的。

程序员在操作摩尔电子工程学院的 ENIAC 主控制面板
（照片来源：ARL 技术图书馆档案）

电子计算机的发展到如今，可说是方兴未艾，一日千里，它替世界创造了大量的财富。除了老牌的 IBM 外，还有英特尔、微软、苹果等等。其中英特尔的创办人戈登·摩尔（Gordon Moore）提出了著名的摩尔定律：集成电路上芯片集成的电路的数目，每十八个月就翻一倍。即是说它的计算能力是指数增长的。

除了硬件设施的突飞猛进外，软件的开发，互联网上所需要的知识，尤其是数学算法的应用成为现代计算机的核心部分。加上最近人工智能和大数据理论的应用，都让国家领导人兴奋不已，其实这些突破是和数学、尤其是基础数学的发展息息相关的。

从计算机的发明到应用的过程中，可以看到不同学科交叉合作的惊人成就。没有图灵等人的理论，计算机的开展不会有正确的方向和规范。三十年来，计算量出现了质的飞跃。以前很难想象如何去传递复杂的图片，更不用说三维空间影像；流体力学的计算和天气预报也比以前精准得多。

历史上，仪器的发现及其精准性影响科学发展的事例比比皆是。我们日常见到的镜子就是一个重要例子。镜子的历史源远流长，公元前三千年埃及人已有化妆的铜镜，而在中国公元前二千年前的齐家文化里也出现铜镜。镜子对于日常生活当然很重要，但是到了十七世纪初时，伟大的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642）听说荷兰人李普希（Hans Lippershey, 1570-1619）把镜子放在圆形管里可以将物体放大，由此他得到启发，研制了世界上第一台放大倍数为 8 倍的天文望远镜，随后改进到 20 倍。

伽利略的“cannocchiali”望远镜，佛罗伦萨伽利略博物馆藏
（照片来源：Wiki，by Sailko）

他用它来观察月球表面凹凸起伏，又看到银河是由千万颗星星所组成，而木星旁边有四颗卫星、土星有光环、太阳表面有黑子。他也看到了海王星，但是他误认海王星是一颗恒星。伽利略的发现肯定了哥白尼（Nicolaus Copernicus, 1473-1543）的日心说，也可以说是现代天文学的开始。伽利略的研究方法以实验和观察来建立理论科学的根基，这种方法沿用至今。

在伽利略天文学上的发现约八十年后，1687 年，英国的牛顿（Isaac Newton, 1643-1727）发表了他的万有引力定律，并利用微积分计算行星运行的轨道。这是现代物理学的开始。牛顿的力学原理充分地利用了数学的强大威力！

天文学家发现了天王星后，利用微积分和牛顿的运动方程进行计算，发现它的运行轨道和观察到的数据略有偏差，因此推算在天王星外，应该还有一颗行星，它的引力造成了轨道的偏差。十九世纪四十年代，英法两国的天文学家通过计算，找到了这行星的可能位置。1846 年，德国天文学家伽勒（Johann Gottfried Galle, 1812-1910）和德雷斯特（Heinrich d’Arrest, 1822-1875）在这位置发现了新的行星，将它命名为海王星。这是一个激动人心的故事，先由仪器帮助观察，发现物理的基本定律，又通过数学计算，帮助科学家解释新现象。这个过程让天文学、甚至整个物理学得到跳跃的进步。

最后我们来看另外一个重要的仪器：原子钟。我们知道一般时钟的依据是钟摆原理，每天误差不超过千分之一。但是在研究先进的科学理论时，这不足以应付精准的要求。

其中一个有名例子，就是找寻爱因斯坦的引力理论预测的引力波，如何量度它一直是个重要的问题，其中要求量度的精确度远远超过一般的时钟所能量度的。在现代的引力理论里，空间和时间都会弯曲。在珠穆朗马峰的时钟比海平面处的时钟平均每日快三千万分之一秒，所以要精确地测定时间，只能通过原子本身的微小振动来完成。

原子钟的设计基于美国哥伦比亚大学的拉比（Isidor Isaac Rabi, 1898-1988）教授和他的学生拉姆齐（Norman Foster Ramsey, 1915-2011）的杰出研究（他们分别获得了 1944 年和 1989 年的诺贝尔物理学奖）。1967 年，科学家利用铯原子的振动量度时间，准确性达到十万年不大于一秒。这样准确的量度已成功的应用于太空、卫星以及地面控制。GPS 卫星系统采用铯原子钟，没有精准时间量测，GPS 不可能精确定位。这样先进的技术，最近中国的北斗系统也完成了。到了 2010 年，美国国家标准局研发的铝离子光钟已经达到三十七亿年不超过一秒的准确度。2016 年 6 月美国的 LIGO 宣布探测到引力波的信号，天文物理又进入了一个新纪元！

这个实验的主要想法沿用了十九世纪迈克尔逊（Albert Abraham Michelson, 1852-1931 ）和莫雷（Edward Morley, 1838-1923）的著名实验，当时为了寻找以太而量度光速。实验是通过光的干涉来决定光速的变化，从而研究地球经过充满了以太的空间时产生的效应。当时实验的结果证明了以太不存在，而且光速和观察者的运动无关。这个划时代的重要实验提供了相对论的基础，影响了物理学一百多年。

LIGO 的引力波实验依赖距离的微小变化导致光的干涉图像来判断是否有引力波经过地球，这需要极为精准的仪器。最近，美国 NASA 和 ESA 在做一个叫做 LISA 的实验（后来 NASA 退出，改名叫 eLISA），更进一步去量度天文现象。这个任务预计在 2034 年发射，但概念测试的飞行员计划 LISA Pathfinder 已在 2015 年发射并完成了测试。他们要在太空中建立三个太空站，做成一个边长达百万公里的等边三角形，要求的精度达到十的负二十次方，也就是说，地球上一个原子核直径的变化都可以测量出来！

LISA: Laser Interferometer Space Antenna

从上面的叙述，我们可以看到：每当科学仪器在量度时间和长度的精准性上出现飞跃进步时，无论基础科学或科学技术都会跟着迎来突破！

现在，让我们看看未来的展望。毫无疑问，二十一世纪科技的每一个方向都和精准测量息息相关。很多重要的问题都需要有精确的量度。举个例子，万有引力定律指出物体的吸引力与距离的平方成反比。从牛顿至今，利用这定律来计算天文现象，结论都是基本准确的。万有引力定律通常都在物体间的距离相当大时应用。我们想象，假如两个物体距离非常小时，万有引力定律中的二次方反比的 2 改用 2.000001 次方代替，那么对于时空就会产生极大的改变。这时，空间的维数可能会超过三维。几十年来，物理学家一直很想知道空间维数是多少。所以建立精确的万有引力定律很重要，它和精准测验距离和时间有着密切的关系。

除了这些极为基本的问题外，有些重要的应用问题亦和仪器有关。举个例来说，科学技术一个重大的问题，就是量子计算。在上世纪八零年代初期，物理学家理查德·费曼（Richard Feynman, 1918-1988）提出利用量子系统进行信息处理，于是贝尼奥夫（Paul Benioff）提出了量子计算机的概念。1985 年，多伊奇（David Deutsch）算法首次验证了量子计算的可行性。到了 1994 年，皮特·修尔（Peter Shor）提出整数分解的量子算法。1996 年，格罗夫（Lov Grover）提出一种数据库搜索的量子算法。这两种量子算法展现了优于经典算法的巨大优势，引起了科学界对量子计算的真正重视，由此量子计算进入了技术验证和原理样机研制的阶段。2000 年，迪文森佐（David DiVincenzo）提出建造量子计算机的判据——迪文森佐准则。加拿大的 D-Wave 公司率先推动量子计算器商业化。到了 2018 年，谷歌发布了 72 量子位超导量子计算处理器芯片。2019 年 IBM 发布最新 IBM Q System One 量子计算器，提出量子体积的概念，并且提出了量子摩尔定律。

IBM 的量子计算器（照片来源：IBM Research）

量子计算是一个大型工程，是数学和物理的交叉学科。它需要大量的投资，单是 IBM 一间公司就聘请超过一千二百个工程师，在这方向努了二十多年。这种有用而又极为基础的研究，对于国家的实力和人类的文明极为重要，即使投资巨大也是值得的。现在世界许多国家都把量子计算器视为一次新的曼哈顿计划，进行竞赛，它的未来发展颇值得关注。

在欧洲文艺复兴后，精准仪器引发了实验科学的革命，进而影响了基本科学的革命，以后西方科学家和工程师不断的改进仪器的精确度。中国的工程师对于提升仪器的精准度，兴趣不大，是不是因为在没有突破以前，没有明显的实用能力？这个事实影响了东西文化在科技上的进度，值得注意。

二千多年来，人类的文明确实是不停地在跳跃。可惜的是，有人因此而极度骄傲。他们忘记了我们文明的每一次跳跃，都溯源于我们对大自然的观察多了一层深入的了解！我们知识的母亲离不开我们赖以生存的大自然。任何民族如果选择不去观察大自然，总会落后于别的民族！

谢谢各位！

作者：丘成桐，北京雁栖湖应用数学研究院院长，哈佛大学教授，清华大学教授，美国科学院院士，中国科学院外籍院士；菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖得主。

本文经授权转载自微信公众号“数理人文”。

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