对麦克斯韦方程组拓展的评论

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撰文 | 栎风

春节前后开始，物理界开启了热闹的“麦克斯韦方程组”大讨论^[1-14]。我们委托几位老师收集了一些相关的提问，在聆听了王青老师的学术报告后，又征集了一轮提问，本文将以“提问-回答”的形式展开。

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直击核心热点

提问1：为了尽快满足大家的好奇，我们直奔核心。在这一部分尽量不涉及细节，就大家最为关注的热点问几个最为关键的问题。首先替广大物理老师问：麦克斯韦方程组目前还对吗？教课时要改吗？

回答：到目前为止，麦克斯韦方程组（图1）当然是对的，而且一直是对的！老师上课不需要改变。

提问2： 谢谢您明确的答复！那王院士在他第一篇文章里提出的拓展的麦克斯韦方程组是对的还是错的？如果是对的，和原来的麦克斯韦方程是什么关系？如果是错的，那错在什么地方了？

回答：是错的，主要错在把麦克斯方程组中的含两个时间导数的方程，图2中公式（15c）和（15d）中的对时间的偏导数修改为公式（15e）所示的全导数形式。这在电磁学理论中是错误的。

提问3：既然是错的，那王院士是怎么得到他的方程的？我看纳米能源所的（抖音）新闻说麦克斯韦方程组成立的条件是建立在静态介质的基础上，在动态介质上则不严格成立，是这样吗？

回答：王院士的拓展的麦克斯韦方程组相当于是对介质麦克斯韦方程做伽利略变换得到的。新闻报道里面说的“动态介质则不严格成立”其实是王院士第一篇论文摘要第一句的意思，这是错误的。即使介质运动，麦克斯韦方程组不管是积分还是微分形式都仍然严格成立，是不允许有真正意义上的拓展的。只不过方程组中的某些项如电位移矢量、磁场强度等等需要增加介质速度的效应。物质方程（也称本构关系）也需要作一些修正。这些修正应该通过洛伦兹变换得到，不是伽利略变换。

提问4：那会不会是这样？王院士的拓展方程虽然是错的，但是近似上还是可以应用？

回答：因为王院士给的拓展方程是建筑在伽利略变换上得到的，问题就变成洛伦兹变换什么时候才可以近似为伽利略变换？这点也许我们后面再仔细讨论。即使近似成立，那个拓展的方程实际也只是一种麦克斯韦方程的变形，也就是说麦克斯韦方程组还是对的，只不过改换了一种展示形式，并不是拓展。因为所谓拓展所依赖的理由，即麦克斯韦方程组不能描写运动介质，是错误的。

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麦克斯韦方程组的正本清源

提问5：在直击了上面的几个最核心的热点问题之后，接下来我们开始一步步地从头作更细致的讨论。我们的读者也有很多是非物理专业的学生，所以想先从基本的麦克斯韦方程组问起。很多工科专业课程，例如微波工程、电磁场与电磁波、光学工程，都会在教材的第一章讲麦克斯韦方程组，能否简单介绍一下麦克斯韦方程组？这里学习的内容与物理系专业学习的有什么区别呢？

回答：所有这些课都会涉及电磁场所必须满足的一组基本场方程——麦克斯韦方程组，它决定了电磁相互作用的行为。由于电磁现象的各种应用非常广泛，工科各专业学习相关内容时往往主要聚焦某几个特定的应用方向。他们会从基础的麦克斯韦方程组出发，一步步地推导出特定方向的基本方程，再从这些方程出发，讨论和建立理论框架，而我们物理专业则强调对麦克斯韦方程组及其应用的一般性的物理理解。

提问6：杨先生赞誉麦克斯韦方程组是影响世界的十大方程之一。本文可能有许多非物理专业的读者关注，所以请见谅，一些提问是比较基本的。请说说麦克斯韦方程组在物理学理论体系里占有什么样的地位呢？有没有其他地位与之类似的方程？

回答：物理学中的基础理论有两类，一类是一般性的理论框架，另一类是基本相互作用的理论，两者之间不太具有可比性。对于前者，大学物理专业所学的理论物理四大力学中的三大力学：分析力学、统计力学、量子力学都属于这一类，到研究生还会有量子场论等。对于后者，因为目前自然界只发现有四种基本相互作用，每种基本相互作用都有一套对应的科学理论，在这个意义上，电磁作用的理论和引力的理论、强作用的理论、弱作用的理论地位都应该是一样的。只不过电磁作用与我们普通人的日常生活最为贴近，而我们的经典电动力学恰恰又是描述人类日常生存的宏观世界的电磁作用的理论，在这个意义上它在物理学的理论体系中占据独一无二的地位。有人会说关于时空的理论框架——狭义相对论非常重要。这点我完全同意。这里想强调的是，因为和麦克斯韦方程组不兼容，牛顿力学被迫拓展和进化为狭义相对论。狭义相对论现在也是我们物理系电动力学的必修内容。

提问7：这样基础的一个方程，从物理学的角度来看，是不是可以说，麦克斯韦方程组已经把已观测到和暂时未观测到的电磁现象都包括了呢？我想起开尔文勋爵关于两朵乌云的讲话，是不是现在有一些物理学家认为研究电磁场的问题就是在不同的体系和假设下去“计算”麦克斯韦方程组就够了？

回答：是的。您所说的电磁现象如果没有被包括，那就意味着麦克斯韦方程组“不对”了，在我的报告里专门有一页讲“不对”，那时，就出现“新现象”“新物理”啦！可惜的是，迄今为止麦克斯韦方程组都是对的！

确实不少人是这样认为，觉得求解麦克斯韦方程组即可解决所有的电磁现象问题。我以前也多少有点持类似的看法，至少是不置可否。后来我教的两门相关的课，一门是电动力学，另一门是费曼物理学的第二册，其主要是电磁学，在课上实施苏格拉底的产婆术教学模式之后，在和中国最聪明的学生们一轮轮的相互切磋和辩论中，我越来越感觉到不是那么简单。除了在电动力学里可以有机地融入很多当前科技最前沿的研究进展之外，我们对电磁作用的认识，不只是写下来的麦克斯韦方程组的偏微分方程的数学形式，还有涉及对它的诠释和理解。它们直接决定着我们如何依据这个方程组来描述自然界。真正的、实际的问题在于“constitutive equation”，即，如何联系物质和电磁场。

提问8：作为吃瓜群众，我开始妄想麦克斯韦方程组“不对”的情景啦，请具体说说怎么才会“不对”？

回答：刚才说了，只有出现“新现象”，麦克斯韦方程组才有可能会改变，这时就出现了“新物理”。这里首先要定义“新现象”。我所说的“新现象”是指在某些情形下，麦克斯韦方程组无论怎样变形都无法描述所看到的现象；换句话说，就是对于这种情形，实验不再与麦克斯韦方程组的理论预言相符合。在宏观世界目前只知道如下两类可能的“新现象”：发现自然界存在磁单极；光子有质量或与其他场耦合（例如：暗光子、类轴子……）。

提问9：磁单极，光子有质量，很憧憬耶，现在能看到新现象“乌云”吗？光子有质量的话，相对论是否要修改？

回答：新现象里真正的磁单极到现在还没被找到。狭义相对论的核心是确认平直时空中存在一个有限的与惯性参考系选择无关的极限信号传播速度，这个极限速度也是所有零质量粒子的运动速度。如果光子真有一点点微小的质量，相对论并不需要做修改，但那时出现在狭义相对论中的光速将不再是有质量的光子的速度（因为光子一旦有非零的质量，它的速度就不再维持恒定，可以变化），而是自然界的其他无质量基本粒子的速度。

3

关于麦克斯韦方程组的拓展与变形

提问10：到此为止，我觉得已经明确回答了吃瓜群众最为关心的问题。我们再作一些更深入探讨吧。显然如您所说，麦克斯韦方程组目前还对，但它的拓展不对，而您前面提到它在取了近似后可以有变形，那是不是不取近似也可以有变形？那是不是拓展？

回答：推导变形可以，但是要特别小心，要有定义，而且更确切地应该是“等价变形”。它意味着麦克斯韦方程本质不变。常识意义上就没有拓展，非要剑走偏锋，比较贴切的只好是“等价变形”，而不应叫拓展。强行使用拓展一词，就额外涉及将拓展的理解外延，产生语意含混和歧义，因此在后面的陈述里，为避免误导，正确的表达都叫变形，不应再叫拓展。再有一点，各种变形里的场变量一般都进行了重新定义。在应用时，很容易把这些新引进的场误等同于原来麦克斯韦方程组里的场，这会铸成大错。

提问11：谢谢您关于王院士方程的回答，我理解了。要么没有拓展，要么它就是麦克斯韦方程组变形。但我听说这里面有很多细节做物理的人不认可？您还专门就麦克斯韦方程组变形作了归类划分？您是根据什么划分的？是否有可能有不同的划分？

回答：您说得对！我是被动卷入这个麦克斯韦方程组讨论中的。作为物理人而且教了30多年电动力学，王院士方程出来后我一直被别人追问，尤其是前面提到的“麦克斯韦方程组究竟还对不对”，或者“在介质运动情形就可能不对”这样的大是大非问题。这触及了我的底线，不得不出来正面应对。我对相关工作进行了比较详细的梳理，所以我此前的两篇文章^{[7, 8]}标题中都提到了理解，这也许使读者误认为我是认可和支持拓展的。按照做物理研究的人所接受程度，我把麦克斯韦方程组变形分类划分为三个层级：标准理论物理模式、一级变形模式和二级变形模式。（注：在我的报告里并未引入变形这个词，这是因为我想尽量少引新词。我直接在分级时把现在的变形写为了拓展，本以为讲过以后大家就会清楚我的拓展所指，可从报告后得到的反馈发现大家更糊涂了。所以在这里我在一开始就特别强调一下拓展是错的，可以允许的只是变形。）如果以后再冒出其他的另类解读，要么被纳入现有的划分，要么增加新的层级。这样划分的好处就是划清边界、抽丝剥茧，有利于细致地讨论“这样变形行不行？”“那样变形为什么不行”。

当然可以有不同的划分。实际上怎样划分本身并不十分重要，重要的是让大家看到人们对变形的各种理解会有不同的层级，正是这种层级差别造就了当今的争议。各层级中最重要最根本也是最高的层级是麦克斯韦方程组本身，它是我们目前所进行的讨论的共同基础和出发点。在我的划分中，越靠后的层级越偏离做物理特别是理论物理人的通常习惯，越不能为大家所接受。

提问12：我们的问题是征集来的，提问者有“圈里人”。我感觉接下来的提问要“渐入佳境”了。还是从基础说起。请问什么是洛伦兹变换？什么是伽利略变换？能详细说明一下吗？

回答：洛伦兹变换和伽利略变换是指一个参考系相对另一个参考系中的时空坐标和各种物理量之间的相互变换关系，也就是给定一个参考系的时空坐标和某些物理量，如何得到另一个相对其做匀速运动的参考系里的这些量的值。洛伦兹变换是保持光速不变，也保持麦克斯韦方程组不变的线性变换；伽利略变换是保持经典牛顿第二定律不变的线性变换，它不保光速不变，也不保麦克斯韦方程组不变。

提问13：呼应前面未仔细解释的关于变换的问题。以麦克斯韦方程组为共同的基础出发，变形麦克斯韦方程应该采用伽利略变换还是洛伦兹变换？还是两种变换都可以？

回答：当然是应该采取洛伦兹变换，采取伽利略变换在严格正确的意义上是不被允许的，因为它违背了麦克斯韦方程的协变性，而且在只是简单的洛伦兹变换做v/c的展开，保留到一阶的意义上也还是不被允许的。只有额外再补上一个条件，即所考虑的问题中的x/t和速度v同阶，这才是一种被允许可能的近似。

提问14：以麦克斯韦方程组为共同的基础出发，方程两边加上相同的项，看上去似乎可以加任意的项？那加上去这些相同项有什么意义？

回答：我认为没有意义，完全是为了把方程一边凑出一个特定的变形项。没有这个要求，可以随便加项。虽然这样加了特定项的变形看起来方程左边会有动生电动势对应的速度叉乘磁感应强度的项，和单位电量电荷所受的洛伦兹力密度力有个对应，但这些并不能说明更深刻的问题。这样的变形我主观上十分排斥和不喜欢，之所以把它列出来完全是因为这种表达已经存在了。

4

电动力学课程性质和中学老师的提问

提问15：接下来的问题与教学相关，也有中学老师的提问。老师问您在清华大学执教的“电动力学”是一个什么样的学问？它研究的核心问题是什么？对学生后续的学习和研究可以起到什么样的作用？“麦克斯韦方程组拓展”这件事情对电动力学教学可能产生哪些影响？

回答：电动力学是物理专业本科理论物理四大力学中的一门课，也是不少工程学科的一门基础理论课。它介绍的是电磁相互作用在宏观世界的基本规律及描述它的理论框架和基本计算手段。我在清华所教的电动力学是64学时的课，它主要讨论电磁现象的普遍规律，电磁场随时间的稳态和迅变行为，及电磁作用在物质上的体现等几方面的内容。

由于在人类针对自然界业已发现的四种基本相互作用中，电磁相互作用是唯一与人类日常生活最密切联系的基本相互作用，因此这门学问为学习者提供了从最基本的相互作用层次对自己所生存的周边宏观自然界各种物理现象的理解，为他们后继进一步在各个方向的学习和研究打下科学基础。另外，这门课还锻炼学生应用高等数学去处理各种复杂的场分布及物质与场的相互作用的能力。

这件事首先意味着电动力学的内容并不过时，它至少和前沿的应用发展密切相关，否则不会有今天的争议；再者，它还意味着到目前为止全世界高等学校的电动力学教学并不太成功，它遗留下很多含混不清的问题，引发了今天的争议。

提问16：很好奇，在清华大学学习的“电动力学”和其他高校物理系学习的“电动力学”在深度和广度上有什么不一样吗？

回答：即使在清华大学也有完全不同类型的电动力学课，就我所知至少有四种，不同教师开的电动力学目标是不一样的，我们物理系就开了两门。我教的这门是针对物理专业的，另外一门针对非物理专业。我这门课的特点是物理上讨论的比较深和广，我常笑称它是物理专业本科最难（没有之一）的基础物理理论课，较少涉及具体应用。不同高校、不同专业开的类似课程都会根据他们的人才培养目标来安排教学内容。

提问17：您的电动力学课上是如何讨论目前还没有证实的、可能的“新现象”的问题的？出于什么考虑做这样教学呢？有没有考虑和后续课程的内容衔接呢？

回答：我们课上专门讨论过什么情形下光子可能会有质量，在不同时段讨论了磁单极的种种奇思妙想，讨论了拓扑项（轴子项）的表现……。这些问题不仅在课堂的讨论中引起同学的热议，我们还在今年2022年春季学期的电动力学考试中专门出题考过它们。这样做的目的是让同学知道，在这个通常被人们诟病为老掉牙的经典电动力学课里，隐藏有最前沿新进展的根子和种子。考虑到后继课程可能五花八门，本课程很难做正对的专门衔接。我们采用的应对方式是在本课程中，所有那些涉及前沿或后继课的深入内容必须要形成一个在经典电动力学里自圆其说、不依赖后继课的自洽框架。我们只介绍和讨论那些能用本课程所用的概念和方法说清楚的内容，对这些内容的介绍特别注意不使用超出本课程范围新的概念和数学手段。

提问18：除了对电场和磁场稍微了解一点儿，您还提到了极化和磁化，请简单解释一下吧。

回答：极化和磁化是指物质对外电场和磁场的响应，具体体现为物质中的原子分子组分受外电磁场影响，形成一些小的电偶极子和磁偶极子。在电动力学中用极化强度和磁化强度这样的实验可观测量来描述这些响应，两者分别是单位体积内的电偶极矩和磁偶极矩。

提问19：您在讲到教材上麦克斯韦方程组的微分与积分形式时，说在计算有些问题的时候会遇到不确定性，是否能举个简单的例子？这是不是意味着麦克斯韦方程组的形式不够完善？

回答：这是费曼在他的费曼物理学第二册教材第十七章第2节给出的两个例子，在那两个例子里，积分的回路无法很好地定义，因而采用积分形式的麦克斯韦方程组不方便进行讨论。这不代表麦克斯韦方程组的不完善，只是说你所选取的麦克斯韦方程组的表现形式对你所处理的问题描写起来有技术性的困难，你只要换种表现形式即可。

提问20：在您的报告中提到了费曼对电磁场理论的讨论，我举个例子您看我理解得对不对，比如我手里挥动一个磁铁，磁铁应该带着它身边的磁场也在运动？

回答：是这种图像，这是我报告里提到的费曼所反对的运动的磁场。

提问21：为什么费曼认为我这样理解是不正确的？能解释一下吗？

回答：费曼认为运动的磁场等价于站在运动磁铁上（姑且叫共动系）看到的磁场，这个磁场和从我们看着磁铁运动的实验室系中看到的磁场会很不相同，因为共动系里只有磁场，而实验室系里会有电场出现。费曼认为这种磁场的运动居然会冒出电场的现象，是对磁场运动观念的否定，因为单说“磁场在运动”隐含的意思是特指整个体系里只有磁场，没有电场。

提问22：为什么这么强调空间、时间各自独立？如果时间和空间独立，是否与相对论的观点矛盾？

回答：强调时间、空间的独立是在特定参考系里的要求，参考系变换只是用了一组新的独立时空坐标替代了旧的时空独立坐标。

提问23：中学物理教学中也经常会遇到电磁场的概念辨析^{[14, 15]}，您是否能从中学物理老师的知识体系角度简单地谈一谈感生电动势和感生电场、动生电动势和动生电场？有一些中学物理教师在相关的讨论中注意到“动生电场”的讨论，没有搞懂，不可以说动生电场吗？

回答：感生电动势和感生电场是变化的磁场所产生的，这点大家一般都没有什么异议。问题出在由于回路运动而产生的动生电动势上，这个电动势里出现的场就是单位电荷的洛伦兹力密度所对应的场，它在洛伦兹变换准到v/c 的一阶展开水平上也正好是在随回路共动系中所看到的电场。大家不太用动生电场这个称呼，因为在电磁作用中，电场的物理来源只有两个，一个是来自电荷，另一个是来自磁场随时间变化；并不存在真的由运动的回路所产生的电场，或者说回路运动并不构成产生电场的真实物理来源。它只是一个在实验室系的一个有效的单位电量的电磁力密度，在随动系中，你会发现那里的电场依旧是随动系中对应的电荷源和磁场变化产生的。

提问24：真理越辩越明，某种意义上关于麦氏方程的讨论为我们做了一个很好的表率，对于一些基础的理论可以提出大胆的质疑和讨论，通过您的文章和讲座我对这件事理解得比较清楚了。这件事最小的作用可以促使电动力学教学上的思考和物理学工作者对麦克斯韦方程的再理解。您觉得我们的年轻人才们，是不是需要这种质疑的精神？或者说应该怎么去质疑？

回答：我非常鼓励年轻人去质疑，科学没有质疑不能进步。我现在教的课，包括本科一年级的费曼物理学，三年级的电动力学，研究生的量子场论，都已经进化到完全是引导或者说挑动学生从头到尾地质疑课程所要学习的所有内容。在这个过程中，同学和我自己都得到了极大的锻炼和提高，对课程的内容有了更深刻的理解。我觉得保持理性和聚焦学术是质疑需要遵守的首要原则。

提问者：非常感谢您耐心和有益的回答。

致谢：本文由朝拭尘（笔名）执笔组织并整理完成。感谢采访人杜工部（笔名）和朝拭尘所做的工作。感谢北京市朝阳区教育科学研究院任炜东老师组织中学老师提供了中学物理教学研究的相关问题（人大附中朝阳分校刘青华老师、对外经贸大学附中李兆峰老师、清华大学附中朝阳分校张君可老师参与了讨论）。

参考文献

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本文经授权转载自微信公众号“物理与工程”。

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