李群李代数简介

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撰文 | 胡竭末编辑 | Trader Joe's
对称性在现代物理中占据核心地位，而描述对称性最有力的工具就是群论。在本文我们将简单介绍一种特殊的群——李群。

物理上经常会遇到一些能连续变化的对称性，为了描述这种连续变化的对称，我们就要借助李群。

比如洛伦兹对称性就是这样一种对称性，借助李群（及它的表示论）的概念，我们可以定量地描述洛伦兹变换甚至由此导出自旋的概念。

另一方面，现代粒子物理有一个很重要的思想那就是理论告诉我们实验能看到什么，这当然不是说理论可以瞎编而不用对实验结果负责，应该来说这句话是指只有通过理论才能赋予实验数据意义。

从这点上讲，我们如今所谈的“粒子”这个概念其实是指“李群的不可约表示空间的基”这样一个东西。

因此即便不进行定量运算，仅仅是从概念上了解现代粒子物理也需要李群的知识。

更进一步的，目前人类最准确的物理理论——标准模型，它本质是一个规范理论，而这个规范理论的核心要素规范群就是一个李群。

总之，物理学家能不用的数学一定是不用的，而李群李代数如此广泛地出现在物理理论中说明现代粒子物理真的离不开它。

本文的目的是简单介绍李群李代数：

• 第一节我们回顾群的基本定义

• 第二节给出李群的定义

• 第三节介绍李代数以及它和李群的关系

1

群和对称

对称是一个极其常见的概念，但是数学上如何准确地描述这个概念却不是一个简单的问题。

为了精确地描述这个概念，我们先诉诸于直观。

考虑一个正方形，我们会说它沿对角线或者中线（两条对边中点的连线）对称，原因是沿线两边“长得一样”。

如果这时候我们把它沿对称轴翻转，那么由于左右两边长得一样，因此我们看不出翻转操作前后这两个正方形有什么不同，既然如此，我们就可以说在这个操作下正方形是不变的。

来源：https://www.quora.com/How-many-lines-of-symmetry-are-there-in-a-square

如果我们继续沿先前的对称轴翻转，很明显正方形还是不变，对于同样的操作（沿先前的对称轴翻转）无论我们翻转多少次，正方形都是不变的。

现在我们可以对对称下一个定义：

某个操作保持被操作对象不变，那么我们称这是一个对称操作。

有的时候也会说这个对象具有相应操作的对称性。

理清楚了对称指什么，我们现在需要找到某个理论来描述它，这个理论就是群论。

图片来源：wikipedia

先给出群的定义

设一个集合，集合内的任意两个元素间，存在这样一个二元运算

1.封闭性

即任意两个元素的运算结果仍然在这个集合内。

2.结合律

3.存在唯一单位元

4.集合中任意元素存在唯一逆元

那么我们就说这个集合和二元运算构成了一个群。

对于正方形的对称变换一共有8个元素，分别是：

恒等变换，顺时针旋转，顺时针旋转，顺时针旋转，沿四个对称轴的翻折。

很容易可以验证它们满足群的定义，习惯上我们称这个群为。

另一个例子是所有的整数和加法操作构成一个群，称为加法群。

只有有限个群元，加法群则有无限个。

为什么说群对应了对称呢？

我们可以想象既然对称操作不改变对象，那么无论什么样的对称操作相继加在对象上也仍然是对称操作，同时总有一个恒等操作——什么也不操作。

而对于存在逆操作的要求也是非常自然的（事实上，对于仅不满足群定义4的集合，我们称它为（幺）半群，现代物理里非常重要的重整化群就是半群。）。

如此对照，我们就发现对称操作通常自然地拥有群结构，因此，我们可以用群论来研究它。

2

李群

我们已经知道了群可以对应到正方形的对称变换，那么一个圆的对称群是怎么样的呢？

直观上我们会认为圆比正方形更对称，因为以圆心为旋转轴，旋转任意角度，圆都保持不变，所以我们可以说有无数个对称操作。那么对应的群也应该包含无数个群元。

图片来源：https://www.pngkit.com/view/u2q8i1r5u2q8y3q8_ferris-wheel-spinner-template-1-12/

有无限群元的群并不是什么奇怪的情况，我们熟悉的加法群就有无限个群元。

但是对于圆的对称操作似乎还有什么不同于加法群这种无限群的地方，这是什么呢？

答案就是当我们说到圆的变换时，我们可以谈圆转了一个无穷小的角度。对于群这个代数结构来说并不能体现“无穷小”这个概念，因为无穷小涉及到极限，而极限的概念依赖于拓扑而非群。

所以我们需要同时用到群结构和拓扑结构才可以准确的说明这种变换。

在实际应用中，我们通常不仅需要拓扑结构，还需要建立在拓扑上的微分结构，这两者结合就引出了李群的概念。定义

一个李群为一个集合，满足

1.是个群

2.是个微分流形

3.的群结构和微分结构相容。

一般来说我们会将每一个群元对应到流形上一点，并且把单位元置于原点处。相容性条件告诉我们群运算

1）

可以写成流形上的一个二元映射

并且映射是光滑的。

2）, 存在  满足

。

李群同时具有群结构和微分结构，这使得我们可以同时用群和流形的方法去研究它。

来源：Introduction to Manifolds and Lie Groups

我们来看几个例子

1.矩阵群

一维幺正群是满足的群。我们可以把它直接写出来，

所以它所对应的流形就是圆。

2.矩阵群

二维幺正群是满足的群。如果我们要求它的矩阵表示还满足，那么我们称这个子群为矩阵群。

它的群元满足

因此

所以只有3个独立的实参数，可以写成

约束条件告诉我们，这是一个三维球面。

3

李代数

现在让我们看看同时用群和流形的手段可以得到些什么。

对于微分流形，我们知道可以在上面有切向量。

现在考虑在原点处的一个切向量，由于李群的每一个元素同时还是一个群元，所以任何群元都可以作用到原点。

这样一个群作用是一个光滑映射，那么我们可以问这个映射对切向量有什么影响？

由微分流形的知识我们可知，任何一个对流形的光滑映射

都可以生成一个对切向量的推前映射，

因此群元就伴随着这么一个推前映射，从而把原点处的切向量映到点处的某个切向量（注意，之所以这样是因为我们把原点设成了单位元，所以作用到原点结果为点。）。

我们用这种方式将所有的群元都作用到切向量上，从而可一个切向量场。

这个切向量场有一个非常特殊的性质，那就是群作用对它保持不变，因此我们把它叫做（左）不变向量场。下面给出简单的证明

设这个向量场在任意点的向量为，由上面的构造我们知道，这个是从原点处做推前映射而来的

由于群运算，我们知道，因此

所以群作用不改变我们构造的切向量场，证毕。

对于任何的位于原点处的切向量，我们可以用这种方法构造向量场。对于向量场，可以求它们的李导数

我们把求得的李导数在原点处的值记为，这样一来就可以定义一个新的原点处切空间中的二元运算

可以证明这个新的运算还满足分配率

我们把这样的新的一个代数关系称为李群的李代数。

来源: opticalengineering.spiedigitallibrary.org

数学上李代数并不依赖于李群而存在，我们完全可以脱离李群单独学习使用李代数。不过物理上一般李群和李代数都是结合在一起的，因此我们接下来简单聊聊李群和李代数的关系。

从构造李代数的过程中我们可以看到，李代数可以在局部转变为李群元素，因为李代数可以看成是李群单位元上的一个切向量，所以这个切向量可以生成一个局部的流满足

解出这个流，我们发现结果是一个指数映射

由此知道了原点附近这一条曲线上的元素了，取不同的切向量，就得到不同方向的流，从而可解出原点附近所有的元素。

不过这种方法一般来说不能得到李群的所有元素，只有紧致连通李群指数映射才是满射。

有时我们也会把叫做生成元，当我们把叫做生成元时，强调的是它的李代数性质而非流形上的切向量。

李代数把处理李群这样一个非线性的对象转变成了自身这种线性空间，这大大方便了很多问题，不过李代数只能反映李群的局部性质，对于整体性质则无能为力，事实上不同的李群可以有相同的李代数，因此对李群的研究也不能仅借助李代数。

本文经授权转载自微信公众号“yubr”。

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