陈省身：微积术的发现与发展（为纪念牛顿诞生三百周年而作）
点击上方蓝字“返朴”进入主页，可关注查阅往期文章
微积术的发现是人类文化史上一件划时代的大事。假使没有微积，我们不能想象近代的科成何景象。现在我们学习微积，一个中材的人，便可于短期内明了其原理。然而在发现的时候，即使极大的天才，亦须苦心孤诣，暗中摸索，才能获得门径。在我们已经利用了微积方法二百余年后的今日，追溯既往，考察一下它的发现的经过，便知前贤缔造的艰难，远非想像所及。
微积术的发现者，一般公认为牛顿（1642-1727）与莱布尼兹（1646-1716）二人。但照意大利数学史家Castelnuovo的研究[指Guido Castelnuovo的Le origini del calcolo infinitesimale nell'era moderna——小编注]，微积术的发展，从希腊时代一直到近代，是一个绵续的整体，牛顿与莱布尼兹二氏不过在其中走了最重要的一步。这话并没有估低了他们的功绩。在他们以前，所有的微积观念，是零星的。有了他们的工作，微积术才成为一个系统，才能应用到天文、物理、和一切其他科学。
一
牛顿以前的微积观念
用近代的说法，微积的对象，是讨论两个变数间的函数关系。如果采取几何表示，则微分学的基本问题，是作曲线的切线，而积分学的基本问题，是求曲线所包的面积。
要求曲线所包的面积，最容易想到的一个方法，是把面积分成小块，将每小块用一直线形代替，而求各该直线形面积之和。块数愈多，则此和数与所求面积相差愈小。这方法叫做逼尽法（Method of exhaustions），古代的希腊人已经知道，用圆周的内接与外切多边形的面积来求圆周率，和亚几默德[即阿基米德——小编注]之求抛物线的面积，都是著名的例子。
一个与微分学有关而为古代希腊人所知道的观念，是所谓无公约数（Incommensurable quantities）。从有公约数到无公约数，需要一个无穷的手续，即有极限的观念在内。对这观念给一个可靠的基础的是Eudoxus，约在纪元前四百年。
微积术在近代的先驱者，最主要的，当推意人B. Caralieri（1598-1647），法人P. Fermat（1601-1665），英人J. Wallis（1616-1703），与I. Barrow（1630-1677）。
Caralieri是Galileo的学生。他于1635年首创不可分量的方法（Method of indivisibles），他假定线由点组成，体与面则各由面与线组成。点、线、面即分别为线、面、体的不可分量。将此类不可分量相加，所得就是长度、面积、与体积。应用此法，他解决了若干简单问题，并证明关于旋转曲面的的Pappus定理。这是一个粗浅的积分法，较逼尽法为有力。我们现在看他的理论，自然觉得很不严密。但是，我们从下文可以知道，微积分在最初的阶段，也是一个很粗疏的系统。
Fermat，（1636）的贡献，主要在于微分方面，他创一个求函数的极大值与极小值的方法；用近代的说法，此法相当于使函数的微分为零，此法他并推广以求曲线的切线。所以若干法国的数学家，包括J. L. Lagrange，认他是微积术的首创者。
离微积术的发现愈近，相类的例子就愈多。Wallis于1655年出版一书，其中解决了若干长度，面积与体积的问题。他的方法很受Caralieri的影响，他的书中也屡屡表示对于Caralieri的谢意。Barrow是牛顿的先生，数学史家都称赞他是一个天才的数学家。他于1669年出版一书，其中论及由两变数的微分及曲线所成的三角形，即所谓“Barraw的微分三角形”。他并且知道积分与微分是相反的手续，但未利用此结果来解决任何问题。他的工作自然会对牛顿发生重大的影响。
除了以上所举者外，其他如J. Napier，J. Kepler，G. P. Roberral，Torricelli，都有相类的结果。在此不再列举了。
从以上所说，我们不禁要问：牛顿以前已有这许多结果，然则牛顿与莱布尼兹的工作是些什么呢？关于此问，一个英国的科学史家有一个很好的答案，他说:“他们的工作，正是使我们问这个问题。在他们以前，这些结果是零星的。他们最先认出，这些观念的组合，可以成一个巨大的系统，来解决科学上许多重要的问题。”
二
微积术的发现的经过
牛顿发现微积术的时间，大约在1665年左右，当他二十四岁的时候。那年英国发生大疫，剑桥大学临时停课，他就回到故乡Woolsthorpe去，直到1667年才返剑桥。微积的观念大概是在他乡居的时候萌芽的。在他的一篇稿子中，日期是1665年十一月十三日，他解决了以下的问题：“已知若干个动体所经路线的关系，求其速度间的关系”。在此稿件中尚解决了若干个相关的问题，如求曲线的切线等。这些观念，在他1666年十月的一篇稿子中更为成熟。此时氏已能解决十二个问题，其中最重要的是下列的几个：
求曲线的切线。 求曲线的曲率。 已知曲线的面积，求其性质。 求曲线的面积。 求曲线的长度。
从这两篇稿子，可见1665与1666两年中牛顿已有了微积分的基本观念。
但是这些结果牛顿当时并没有告诉其他的人。直到1669年六月，他把他的一篇论文，题目叫做：“包含无穷多项的方程式的分析”的，交给他的先生Barrow，他的方法方才为人所知道。Barrow看了此文，自然大为赞赏，就转告皇家学会的秘书Collins，Collins又通知了一些别的人。但这篇文章到了1711年才发表。
莱布尼兹研究微积术较牛顿为晚。他的研究大约是1673年左右开始的。两年之中他解决了微积分上的主要问题。莱氏有一篇遗稿，所标的日子是1675年十月二十九日，他这稿内所建议的微分积分的符号，沿用迄今。这是微积术发展史上很可纪念的一个日子，因为莱氏的符号对于微积术的发展有很大的功绩。
在莱氏有了微积分观念的九年以后，牛顿发现流数术的十九年后，1684年，莱氏发表第一篇关于微积术的论文。那论文载在一种杂志叫做Acta Eruditorum上，全文只六页。文中的名词与符号即是现在所用者。莱氏不愿意别人懂得他的方法，所以写得极难懂。文中包含微分学的若干个基本运算定则，并解决了一个光学的问题。
这个时期的微积只是一组有系统的方法。对于它的基本观念，还没有一个严格的基础。所以在莱氏的论文中，关于一个变数的微分，究竟是无穷小抑是有限数，他并无确定的见解。
许多现在觉得简单的问题，在当时都是经过一番苦心才得到的。比方说，两个变数之积的微分，是否等于它们的微分之积：这样一个问题，莱氏须经过多日的思索，才能答复。对于现在学微积分而觉得困难的人，这故事或者是一个安慰。
三
关于微积术发现的争论
莱氏发表他的微积术论文以后，自然大受赞赏，欧洲大陆上的人都公认他为微积术的发现者。牛顿的友人就很抱不平，一场争端已不可免。直到1699年，一个住在英国的瑞士人，叫做Fatio de Duillier的，在英国皇家学会发表的一篇数学论文里面应用了微积的方法，并且加上了这样一段话：
“著名的莱布尼兹或者会问，我如何知道这些方法的。在1687年左右，我发现了它的基本原则。即使天地间未生莱氏，对于我的应用这些方法，并无影响。……由事实的证据，我认为牛顿是微积术的第一个发明者，至于第二个发明者莱布尼兹是否因袭了牛顿的若干结果，请俟看过牛顿的信件与稿件的人的评判。……”
这种公然的挑战，自然会引起一场争论的。
对于此我们须指出，牛顿和莱布尼兹的关系，一向是很友善的。为了微积术的问题，两人会于1676年左右通过两次信。所以他们互相都知对方的结果，大约是没有问题的。在牛顿的名著Principia (1687) 中，他提到了莱氏的微积术，并说明与他的流数术大致相同。
认为莱氏有抄袭牛顿的嫌疑的根据，大约有两点：第一、莱氏会于1673与1676到过伦敦两次，认识了若干英国学术界人士，连Collins在内，所以有看到牛顿的原稿的可能。第二、莱氏在他的第一篇关于微积术的论文中，当解决了若干问题以后，会说：“这只是一种超绝的数学的开端。这种数学可用到最困难与最美丽的问题上。如果没有微分学，或者一种类似的方法，这种问题的解决不能有如此的容易”。这段话中所谓类似的方法，若干人以为就是指牛顿的“流数术”。
我们事后加以判断：以上两个理由都不足证明莱氏的微积术是抄袭牛顿的。
莱氏读了Fatio de Duillier的论文后，自然认为侮辱。便写信向牛顿申诉。信中并指出牛顿会在Principia中承认他亦为微积术的发现者。这信牛顿没有答复。Fatio de Duillier写了一封复信，Acta杂志未给发表，争论遂暂时中止。
到了1704年牛顿出版他的光学，书中包含两节数学，其一关于流数术，其一关于三次曲线的分类。次年一月Leipzig Acta登载此书的一个书评，其中有这样一段：
“……这种微积分的原理，创始者莱布尼兹氏会在本杂志发表。……莱氏的“差数”牛顿用“流数”来替代。这种流数牛顿在其Principia及其他著作中用得很巧妙。恰如Fabri在他的几何学书中用进步运动来替代Caralieri的方法一样。”
我们须要指出，Fabri是一著名的抄袭家，所以这段话很有隐讽牛顿为抄袭者的用意。牛顿自然也这样想，并且疑心莱布尼兹即是该书评的作者。为保全他的荣誉就作文反驳。恰巧此时，牛顿得到一个数学家叫做Keill的帮助。Keill笔锋犀利，对于争辩，很能给牛顿一些裨助。1710年Keill作一文，说牛顿发现了微积术，后来莱氏发表时将符号改了。莱氏读后大愤，把这问题提到英国皇家学会，要求Keill道歉。该会派Keill作一报告，报告中所说对莱氏仍极不利。莱氏遂益怒，再函皇家学会，请求制止这类“卑鄙的言论”。
从此事态益见扩大，到了1712年三月六日皇家学会委派一委员会调查此事。次年一月委员会的报告发表。同一切正式的报告一样，报告中保持一模棱的态度。报告中的结论有二：一、莱氏的微积术与牛顿的流数术本质上是一样的；二、牛顿是第一个发现的人。至于最重要的问题，即莱氏是否抄袭牛顿，报告中避而不谈。
这报告自然解决不了争端。一场激烈的论争，从此展开。狭隘的国家意识，不正确的荣誉观念，使得双方都采取不甚正当的手段，例如，出挑战式的数学问题，发表匿名信等。这场意气之争，直到1716年莱氏死后，才渐告平息。
这论争是科学史上十分不幸的事，其影响对于英国极不利。因为在此时期英国人愤而不读大陆上的数学作品。同时de l'Hospital，Bernoulli兄弟，Euler等正努力发展这门学问，他们的结果，英国未能立刻接受。所以这门学问在英国的发展，一度是相当迟缓的。
四
微积术的发展
我们已经讲过，在牛顿与莱布尼兹手中的微积术，不过是一组有系统的方法，可用来解决一些问题的。这个时期可称为微积的直觉时期。要为微积术立一可靠的基础，须对它的三个基本概念——实数、函数与极限——下一个明确的定义。这种努力，德国的数学家F. Klein称之为数学的算术化。
Euler对于上说的基本概念是很表怀疑的。他只把命分数称为“数”，非命分数他叫做“量”，两种数他并不一体看待。函数在他的书中有时是算式，有时是因变数，至与(-1)x代表什么函数，在他是一个问题。对于极限观念，他也同样的不一致。我们可以说，他只有此名词，并无观念。所以当他求得1+2+22+23+…=-1时，他觉得很奇怪。
Lagrange开始了微积术的算术化工作。数对于他仍旧是一个所谓“明显”的观念。函数亦仍是算式，但系可以展成幂级数（Power Series）的算式。这是初步的分析函数的观念。他采用级数的目的，大概是想避免困难的极限观念。用了级数，则微商可定为级数中一次项的系数。在他的手中，级数的运算亦较严格，所以他时常不用无穷多项，而用一个余式（Remainder）来替代。
微积术的算术化，在Cauchy手里才有了长足的进展。有了Cauchy以后，函数才不是算式，而是因变数，极限的观念，才有了可靠的基础。由是积分乃为和数的极限，函数的连续性，无穷级数的收敛，都可利用极限，下一个严格的定义。他的工作，可总括为一个变数的函数论。他所未会解决的问题，是实数的定义与一致收敛性的观念。因为缺乏后一观念，他将一无穷级数逐项求积分，而得到了谬误的结果。
Cauchy手中留待解决的问题，经Weierstrass而有了圆满的答案。从此数学上的一大门类所谓分析数学才告树立，而微积术的算术化问题，才约略告一段落。
于此我们需要认清两点：第一、Weierstrass不过是此时期一学派的代表人物，同时的数学家，如Dirichlet，Dedekind等亦有极重要的贡献。Dedekind的实数论，尤其是一件不朽的贡献。第二、若干问题虽然解决了，因此而引起的新问题却更多而更困难。由G. Cantor的集合论，到近代数学基础论者的Brouwer学派，正显示着一种绵续的进展，其前途发展，当无止境。这些理论的导源，自然是微积术。
民国三十二年一月廿六日昆明西南联合大学
本文原载于《宇宙》，和乐数学整理。
相关阅读
3 最美公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）| 众妙之门
近期推荐
3 有效性可疑，安全性堪忧，抗新冠口服药阿兹夫定是怎么上市的？
4 诺奖得主深陷论文图片造假漩涡，合理的图片处理应符合什么规则？
特 别 提 示
1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。
2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。
长按下方图片关注「返朴」，查看更多历史文章