纤维丛：万物之理

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纤维丛是一门研究复杂系统的数学理论，用于描述许多深刻的数学和物理现象，已广泛应用在微分几何、拓扑学、物理学和信息学等领域。文章简述了纤维丛的起源、基本概念和理论基础，结合实例介绍了其在多个领域的应用。

撰文 | 朱宏伟（清华大学材料学院）科学的发展揭示了一个“真理”：宇宙的物理现实是受数学方程和几何支配的。例如，在广义相对论中，引力源于时空的几何弯曲。如果将自然界的所有作用力都解释为某种几何空间的弯曲或扭曲，这种几何即称为“纤维丛”。纤维丛在微分几何、拓扑学和物理学等领域具有广泛的应用，例如在微分几何中描述向量空间，在拓扑学中表示复杂的空间结构，在物理学中模拟粒子的行为，在深度学习中分析高维数据等。纤维丛不单单是一个辅助性的数学工具，如今已发展成为一个完备的描述自然现象的理论，其背后蕴含了宇宙万物运行的底层逻辑^[1]。01
纤维丛的起源美国数学家惠特尼在1937年提出了纤维丛的概念，他将流形及其上的切向量组构成的空间称为“纤维丛”。之后，陈省身、斯廷罗德、塞尔等数学家进一步发展了纤维丛理论，引入了示性类、联络等概念。从数学的视角来看，纤维丛理论是一门研究拓扑空间之间的映射关系的数学分支，整合了微分几何、拓扑学、流形和群论 (尤其是李群) 等理论。
纤维丛理论的前身是微分几何。微分几何是一门研究曲面和曲线性质的学科，其发展受到很多自然现象的启发，如光的折射、地球的形状、行星的运动等。微分几何的一个重要概念是流形，流形是一种由局部平坦空间“拼接”起来的曲面。例如，地球表面就是一个流形，在局部看起来像一个平面，但实际上是一个球体。流形本身并不包含任何物理信息，仅是一个抽象的数学对象。为了让流形能够描述物理现象，需要给它附加一些额外的结构，如度规、联络、张量等。这些结构定义了流形上的距离、角度、曲率、速度、加速度等物理量。这样，流形就变成了一个具有物理意义的空间。纤维丛理论就是在这个基础上发展而来的。它不仅考虑了流形本身，还考虑了流形上那些附加的对象，如向量场、张量场、微分形式等。由此可知，纤维丛理论的产生与非欧几何具有密切的关系，可以用来构造非欧几何空间上的结构。非欧几何空间反过来也可以刻画纤维丛的性质，如陈类、指标定理和对称性等。在现代物理学中，广义相对论、量子场论和弦论等重要理论都是纤维丛理论与非欧几何结合的产物。
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纤维丛理论基础纤维丛理论的一个核心思想是将物理量看作是一个流形 (纤维) 在另一个流形 (底空间) 上连续分布而形成的结构 (全空间)。如图1(a)所示，底空间 (或底流形) 是纤维丛的基底 (即物理学中所说的时空)，而全空间是由众多纤维组成的空间。这样，就可以用两个流形之间的映射 (投影π和逆投影π^-1) 来描述物理现象。时空上各个点的纤维本质上是相同的 (同构空间)，纤维丛的联络定义了纤维在全空间中的相互连接。形象地说，纤维丛就是在每一点x长出来的一族“数” (这里说的“数”，可以是标量函数、矢量函数或群等)。将每一点对应的“数”连接起来就在整个纤维丛空间中确定了一个“截面”。纤维丛的截面是从底空间到全空间的连续映射，在微分几何和物理学中有着重要的意义。例如，电磁场就是一维纤维丛上的截面，流形上的光滑函数、切向量场、余切向量场、张量场等都可以看作是某个特定纤维丛的截面。纤维丛之间存在各种映射关系，这些关系就是物理规律。结构群决定了纤维丛是如何“粘连”起来的。例如：当结构群为U(1)群时，纤维丛描述的是电磁相互作用 (图1(b))，对应的是麦克斯韦方程；当结构群为SU(2)群时，纤维丛描述的就是弱相互作用 (图1(c))，对应的是杨-米尔斯方程^[2]。

图1  纤维丛理论：(a) 纤维丛定义；(b) U(1)：电磁相互作用；(c) SU(2)：弱相互作用

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纤维丛的应用纤维丛理论在物理学中具有重要的应用。例如，在广义相对论中，时空被看作是一个四维流形，在这个流形上有一些额外的结构，如度规张量，用来测量时空中的距离和角度。度规张量就是一个纤维丛，由底空间 (时空) 和纤维 (对称双线性型的集合) 构成，每个点上的纤维都与底空间相切。度规张量的基本性质 (如曲率、拓扑等) 可以通过纤维丛理论来研究。另一个例子是物理学中描述基本粒子和相互作用的规范场论^[3]，它是定义在时空上的一种对称性变换，本身也是一个纤维丛，由底空间 (时空) 和纤维 (对称群的李代数) 构成，每个点上的纤维与底流形正交。规范场的基本性质 (如规范不变性、拓扑缺陷等) 同样可以通过纤维丛理论来研究。如图2所示，借助纤维丛形式化体系中的动力学可以对物质场和规范场之间的相互作用进行直观的描述^[3-4]。一个量子系统中任何一点包括其耦合的物质场和相互作用场 (如电子场与电磁场的耦合)。在数学上，该系统由主丛 (P, M, G, π) 及其伴丛 (D, M, G, π_D) 组成。其中，主丛代表相互作用场，伴丛代表物质场，D和P为全空间，π和π_D为投影影射。伴丛与主丛共享底空间M和结构群G (即为场论中的规范群)，物质场和相互作用场在x点耦合在一起。物质场的波函数由矢量丛的分量θ表示，矢量丛中每一根纤维ψ(x)代表物质场中的一点。相互作用势A_μ* (如电磁势) 由主丛纤维φ(x)上的联络表示。两根纤维ψ(x)和φ(x)一起表示系统中的一个事件。对于M中的一条类时曲线γ，当在指定的时空区间移动时，系统中所有可能的内禀状态及其变化都包含在全空间中。ŷ为γ在全空间上的投影，其偏导数â_μ度量了系统沿γ的总变化。给定主丛上的联络，导数â_μ可分解为两部分â_μ = ▽_μ+A_μ*。其中，协变导数▽_μ 是γ的偏导数∂_μ的水平提升，通过追踪γ的方向来度量因时空演变而引起的动力学变化。â_μ与▽_μ的差值A_μ*唯一确定了矢量丛中的一点θ(x)，而θ(x)使物质的相具体化。物质场及其相的变化诱导了势的变化，导致联络发生变化，进而产生非零曲率。在物理上，曲率即为相互作用场的场强。图2  纤维丛描述的物质场和相互作用场
在信息科学中，纤维丛理论主要用于分析数据的结构及相互之间的关系和映射。在通信网络中，纤维丛理论可以描述网络的拓扑和动力学、信息传输和处理，进而分析通信系统的信号处理和编码问题，设计网络拓扑结构和路由算法，并优化相关硬件的性能和灵敏度。纤维丛理论不仅能提高信息与通信技术的理论水平，也极大地促进了信息与通信领域的创新和发展。在此基础上，纤维丛理论在生物学尤其是神经科学中也发挥着重要的作用，有助于理解大脑的结构和功能，如分析神经元的同步化、信息的编码和传输，以及记忆的形成和存储。利用纤维丛概念，可以将大脑分解为基本的构件 (如节点、边、层和模块)，再用图论参数来量化大脑网络的属性 (如密度、聚类、模块化、中心性等) 。纤维丛还能建立大脑和人工智能之间的对应关系，即将大脑的神经网络和机器学习算法进行类比。例如，神经元类似于一个振荡器，通过突触连接形成神经网络，并通过协调同步来实现动态的聚集协作。这与人工智能中的深度神经网络很相似，都是通过多层的联接点 (类似于突触) 来学习和识别数据。纤维丛理论还可以用来建模智能体的知识和行为，以及智能体之间的交互和协作。利用纤维丛方法，分析大脑在发育期、成年期和老年期的神经网络变化，以及在不同环境、教育、疾病和创伤等因素下的神经网络适应性。此外，纤维丛还能用来探索大脑的可塑性和康复机制，如大脑在受到刺激或损伤后，利用纤维丛理论设计有效的非侵入性技术来干预和调控特定的神经环路，从而实现对脑功能的改善或恢复。
在经济学中，纤维丛理论主要用于研究市场结构，如产业链中的关系及市场上各个主体之间的相互作用。纤维丛理论也适用于复杂金融网络，如银行间债务关系和金融危机的传播。假设要研究一个农业产业链的市场结构，该产业链即可模拟成为一个纤维丛，每个纤维代表一个环节 (如种植、收获、加工、销售等) 。每个环节用节点表示，每个节点代表一个参与者 (如农民、农场、食品加工厂、超市等) 。通过纤维丛理论揭示各个环节之间的相互关系及不同参与者之间的相互影响，如农民对于产品价格的影响，食品加工厂对于农民的购买行为的影响，以及超市对于食品加工厂的销售需求的影响等。这有助于充分了解整个产业链的运作方式，为决策者提供有关如何改善产业结构和提高效率的建议。区块链是一种分布式的数据存储技术，利用密码学和共识机制来保证数据的安全性和一致性。区块链实现了去中心化的数字货币、智能合约和其他应用。区块链拓扑结构中的每个节点可以看作是一个纤维，而整个网络是一个以时间为底空间的纤维丛。因此，区块链网络的拓扑性质 (如连通性、鲁棒性和同调性等) ，以及区块链数据结构 (交易和状态) 的代数性质 (如群结构、模结构和上同调性等) 就可以被推演出来。此外，纤维丛可以用来描述区块链的动力学，即区块链中的共识机制和激励机制，进而研究区块链动力学的几何性质，如流形结构、度量结构和曲率结构等。
在交通领域，纤维丛理论可为交通系统的设计和管理提供新的视角和方法。例如，纤维丛理论可以用来描述和分析交通网络的拓扑特征，如连通性、稳定性、鲁棒性等。在此基础上建立交通流的动力学模型，探索交通流的行为和规律，并且优化交通控制策略。
在社会管理中，纤维丛理论用于分析社会结构和社会变迁的规律，以及社会问题的解决方案。例如，一个社会即是一个纤维丛，其中底空间是社会的基本组成单位 (如个人、家庭、团体等)，而纤维是社会的各种属性 (如文化、经济、政治等)。通过纤维丛理论中的数学概念，如截面、转移函数、示性类等，即可以描述和研究社会的特征和演化。
在环境学中，纤维丛理论是研究大气、水体、地质等变迁的有效工具。例如，在气候学中，通过规范场论来建立气候系统的动力学模型，如大气环流、海洋环流、地球磁场等。通过纤维丛理论可以更深入地理解气候系统的物理本质和数学结构，以及它们之间的相互作用和影响。
在天文学中，纤维丛理论可以用来研究天体 (如黑洞、星系和宇宙) 的拓扑性质。例如：一个黑洞的视界就是一个以黑洞中心为底空间，以二维球面为纤维的球丛；一个星系的形状就是一个以星系中心为底空间，以旋转群为纤维的主丛；一个宇宙的几何是一个以时空为底空间，以度规为纤维的向量丛。纤维丛理论提供了一种统一的语言和方法来处理不同的空间，利用纤维丛上的截面、结构群和转移函数可以方便地定义和计算物理量 (如能量、动量、角动量和拓扑不变量)。
图3所示为纤维丛理论的主要应用领域。
图3  纤维丛的应用04
结语综上，纤维丛理论作为一门强大的数学工具，在科学研究和工程应用中具有广泛而重要的意义。纤维丛通过将拓扑空间分解为更简单的结构，使我们能够更深刻地理解空间、时间、相互作用、能量和物质之间的关系。宇宙万物，小到原子内部的基本粒子，大到星系天体，都可以纳入纤维丛理论框架中来描述。对纤维丛理论的深入理解将为未来的研究和应用开辟更加广阔的道路，带来新的发现和突破。

参考文献

[1] BERNSTEIN H J, PHILLIPS A V. Fiber bundles and quantum theory [J]. Scientific American, 1981, 245(1): 122-137. [2] SCHWICHTENBERG J. Physics from finance: A gentle introduction to gauge theories, fundamental interactions and fiber bundles [M]. Independently Published, 2019. [3] 桂起权, 高策, 李继堂, 等. 规范场论的哲学探究: 它的概念基础、历史发展与哲学意蕴[M]. 北京: 科学出版社, 2008. [4] AUYANG S Y. How is quantum field theory possible? [M]. New York: Oxford University Press, 1995.

本文经授权转载自微信公众号“自然撷英”，刊载于《自然杂志》2023年第3期。

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