写给有志研究数学之人
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数学的本质在于和谐。——庞加莱
我希望有志从事数学研究的人能先仔细体会这句话的含义。1912 年，庞加莱离世。数学在庞加莱成为数学界的权威之后才有了更清晰的阐释。
庞加莱说的和谐是指内在的和谐，而非艺术中美的和谐。不过既然同是和谐，必有相通之处，再加上艺术中美的和谐比内在的和谐更易被人感知，因而要想窥探内在的和谐，不妨多亲近艺术。
故可言，研究数学的过程即是提升内在和谐感的过程。下面我将举例说明何为提升内在和谐感。我们一般将三次方程的解法称为塔尔塔利亚解法。塔尔塔利亚在意大利语中指“口吃者”。三次方程的解法之所以被称为塔尔塔利亚解法，是因为文艺复兴初期，该解法的发现者在童年时遭遇战争，被入侵的士兵砍伤了舌头，留下了说话困难的问题，因而后被人戏称塔尔塔利亚。
一次我在数学研究中遇到三次方程，偏巧当时怎么都想不起塔尔塔利亚解法，于是萌发了自己探索三次方程解法的念头。三天后，我终于找到了与塔尔塔利亚不同的解法。虽说我的解法不及塔尔塔利亚解法巧妙，但我也算成功地另辟蹊径了。仔细想来，塔尔塔利亚解法其实是一代数学天才用尽一生钻研出来的方法。当时致力于寻找三次方程解法的数学家不止塔尔塔利亚一人，同时代的大多数数学家都在钻研该问题，但只有塔尔塔利亚得到了命运的青睐。三次方程对于文艺复兴时期的人而言，是一道不知何时才能解开的难题，但我为何仅用三天就可觅得解题之法？究其原因，不外乎是数学的和谐感在四百年的发展过程中变得更加深厚的缘故。和谐感的增加彻底改变了可能性即“希望”的选择方式，因而我才能在短时间内破解三次方程的解法。故可言，提升和谐感才是数学的目标。
我感觉和谐感提升一级，解答速度可飞升 30 倍，而如今数学的和谐感较塔尔塔利亚时代应擢升了三级。也就是说，如果现代人和塔尔塔利亚时代的人要解决同样的问题，塔尔塔利亚时代的人花费的时间会是现代人花费的时间的 30 倍的3次方，即 27,000 倍。三天的 27,000 倍是 225 年。当然，这不是说塔尔塔利亚用 225 年解开了三次方程，而是指那个时代优秀的数学家们为解开三次方程花费的时间总和是 225 年。顺带提一下，塔尔塔利亚之后，数学家迅速攻下了四次方程的解法，但前进的脚步却被五次方程拦住了。尽管寻求五次方程解法的道路坎坷，但许多天才数学家仍孜孜不倦地钻研探索，直至 19 世纪，阿贝尔证明了五次方程用代数方法不可解。
首先大家应该弄清楚推动数学研究的智力是何种智力。答案可以参见庞加莱的著作《科学的价值》。庞加莱在书中呼吁大家应该仔细观察数学研究中取得进展的瞬间，并从切身体验中总结出推动数学研究进展的智力所具备的两大特征，即“短时间内完成”和“没有疑惑”。只有具备上述特征的智力才称得上是数学研究中不可或缺的智力。
那么应该如何培养和提高该智力呢？众所周知，提高数学能力必须锻炼大脑前额叶，可是正确有效的锻炼方法却未受到重视。例如锻造日本刀最好采用冷热交替的方式。而庞加莱所说的智力，也多活跃在大脑的“冷却期”。
就拿我来说吧。中学时每次数学考试做完题后，我都会仔细检查答案，反复确认无误后再交卷。可往往交卷后离开教室的某一瞬间会突然意识到：“糟糕！那道题写错了。”最后只能灰头土脸地走回家。我时常出现这种情况，相信大部分人都有类似的经历。走出教室后精神开始放松，在这种状态下开始工作的智力正是大自然的纯粹直观。在我们通过努力而实现了内心纯净的瞬间，也帮助智力恢复了活动，所以才会出现幡然醒悟的反应。数学上的发现离不开这种智力的活动。只是当我们在检查答案对错时，大脑中工作的不是这种智力。
但是现在我们的大脑长期处于活跃状态，很难进入冷却期，因而大脑前额叶仿佛被放置在持续加热的铁锅之中，陷入过热，从而导致精神达不到和谐。其危害甚大，甚至可以影响人的相貌。最近我仔细观察了正值舞勺、豆蔻之年的少男少女，发现他们的鼻型发生了非常明显的变化。究竟原因，正是因为当下的教育方式给予了大脑前额叶不间断的微弱刺激。这让我不禁联想到副鼻窦炎的病症可能与鼻型的变化有关，这一观点得到了医生的认可。鼻型的变化自然会招致眼神上的改变，倘若情况继续恶化，其影响范围会逐渐扩展到人的面容，甚至还有可能导致出现“面无表情”的情况。若是日本文部省要进行知识普查，希望不要只停留在识字量的层面，而应把关注点转至国民联想力的调查，毕竟嗅觉器官的灵敏度与人的联想能力息息相关。
长时间机械作业的工作人员非常容易出现大脑前额叶严重过热的情况，例如录入员。该类人群的健康问题应该受到更多的关注，单位也应该为他们提供合理的休息时间。成人出现大脑前额叶严重过热的情况后果相对可控，可知觉尚未发育完全的儿童若出现这类情况，后果不堪设想。让儿童边看琴谱边看琴键练习钢琴，以及早期的珠算教育，对此我都持怀疑态度。
换言之，只要大脑意识持续活动，就会导致大脑过热，从而导致智力无法活动。这里的智力指的是“自明”，也称“无分别智”。相反，“分别智”是指主观地认识世界，其潜力较无分别智相差甚远。
前些日子，我去和歌山市演讲，所住旅馆的老板娘问我：“我给我家儿子报了珠算、钢琴、插画和跳舞四个兴趣班，要不要再报几个？”当我了解到她的儿子只是刚入小学的儿童时，内心十分震惊。要知道，光学校的作业量就已大大超出了学生的能力范围。老板娘大概希望把儿子的时间安排得满满当当，不留一丝空白。但是人应该生活在草原上，而非夹缝中。人之所以能成长，正是因为有足够的施展拳脚的空间。不缩短大脑过热的时长，让大脑得到合适的休息，如何唤醒智力？
我再举一两个亲身经历的例子吧。小学时，父亲买了些香蕉形状、香蕉口味的糕点回家。因为口味不错，父亲把剩下的糕点装进了罐子，打算留着用来招待客人。我们小孩子也只有家里来客时，才能沾光吃到一个，所以小时候我特别期盼家里有客人来。只要看到有客人到家里来，就立刻心花怒放。
平日糕点罐被束之高阁，我们只有在家中来客时才能分上一杯羹。正因为能吃到糕点的机会不多，所以糕点才分外可口。
但现在的情况是大脑前额叶处于持续发热的状态，犹如餐餐珍馐，终将食之无味。假使面前有一盘美味的糕点，初尝时深感可口。可若获取糕点易如拾芥，反而会令你感受不到它带来的层层递进的味蕾及感官刺激，糕点也不再似初尝时那般可口。这样的糕点与花店里的鲜花无甚区别，因为唾手可得，所以不受珍视。同理，渴望阅读的心情远比真正的阅读来得更加珍贵。
牡丹虽美，但花期至多不超过十日。牡丹花凋谢之时，花枝中亦已开始孕育新的花苞。再见花开需等来年。牡丹花期虽短，但花苞的蛰伏期却相当地长。这就是自然。人也不例外，生命需要蛰伏期的存在。在此我奉劝有志从事数学研究的人切勿心急，请静待花开。
那么，数学对全人类的福祉、利益有何意义？过去数学的主要功能是计算，如今随着科技的进步，机器已可取代人类完成该类机械性作业。照此发展下去，机器人或将能代替人类从事理论性研究。据此我们可知数学存在的意义是完成机器无法替代的任务，即晓以人类和谐的精神。
庞加莱去世距今正好 50 年。这 50 年一言蔽之，大战频发，即便期间少有休战期，也非战前即战后。整个世界因为战争而喧嚣不止，一片狼藉。可战争为何此起彼伏地爆发？
究其原因，我认为是在缺少和谐精神的前提下过度发展科学所致。1810 年左右，科学家在印度池沼中发现了霍乱弧菌。此时正值科学发展的黎明期，后百年间科技日新月异，却招致世界大战的爆发。尽管我们可以如数家珍地举出科学进步带来的诸多好处，例如杀死细菌降低了患病率，研发化肥促使大米增产等，但这只是表面现象，事实未必如此。铁路等交通方式的发展，看起来确定给人类带来了极大的便利。倘若众人驾车而行，仅自己步行，那么的确难以追赶；可若众人皆无车可乘，均靠步行，也就没什么问题了。其实我认为无须过于重视交通工具的发展。
尽管科学发展令人类受益匪浅，但其招致的弊端又何尝不是罄竹难书，其中光战争带来的灾难已叫人难以招架。如今世界上科学和机器两个阵营相互搏杀，科学孕育了机器，但机器却藐视科学。世间万事万物皆前途未卜。我认为当下的世间百态与希腊时代至罗马时代的过渡期十分相似。罗马文化发展至文艺复兴时期有两千年，我们的时代或许也会继续经历一个两千年的“罗马时期”吧。可当今文明仅在 50 年之中，就已经是兵连祸结，满目疮痍，实难想象再一个两千年后，世间是何模样。但毫无疑问，人类必会落败离场。言及此，我想大家都已深知拥有和谐精神何等重要。
或许当下仍有人不解数学这门学科存在的必要性，但数学正是照亮黑暗的光。青天白日自不需要点灯相助，可如今世界已堕入茫茫黑夜，星辰之光已是救命稻草。夜色愈深，数学愈加重要。望诸位深思。
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作者：[日] 冈洁
译者：林明月
我们通常认为，数学是逻辑性的学问，而日本数学家冈洁先生却认为，数学中最重要的是“情绪”。情绪是影响心智与认知发展的重要因素，若不能培育“健全的情绪”，则很难真正理解数学和创造性是什么。本书从“情绪与心智”的角度，论述了认知发展、义务教育中的深层问题，同时阐述了对人性的细微考察与独到理解，是一本影响了日本几代人的经典名作。
本文经授权转载自微信公众号“图灵新知”，原载于《春夜十话》（人民邮电出版社出版，图灵出品，2019年）。
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