在监狱中萌生的数学大一统之愿景，离实现又近了一大步

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7月中旬，朗兰兹纲领中长久以来缺失的拼图——几何朗兰兹猜想终于获证。完整证明有9位数学家参与其中，历时30年之久，共计5篇800余页论文。

朗兰兹纲领是20世纪最重要的数学“地图”，被称为“数学界的大一统理论”。其涵盖的内容极其博大，不乏有趣的历史细节和数学思想。比如说，无论是朗兰兹纲领，还是用于证明几何朗兰兹猜想的核心工具，灵感全都萌生自同一时期的两处监狱之中；同时，朗兰兹纲领的提出还和数学史上最著名的两封信直接相关。现在，这一为不同领域架起“桥梁”的迷人理论，离实现又近了一大步。

撰文 | 嘉伟
罗伯特·朗兰兹 | 图源：Robert Langlands - Wikipedia
1996年，菲尔兹奖得主恩里科·邦别里（Enrico Bombieri）在朗兰兹会议——贺罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）60岁寿诞上发言：“数学家们已经沿着朗兰兹的思路工作了25年，越来越多的证据说明事情正按他所说的那样发展，他成为了数学前进的推动力。”
“他所说的那样”即是指20世纪最重要的数学“地图”——朗兰兹纲领（Langlands program）。加州大学伯克利分校的数学教授、著名数学家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）直接称其为“宏大的数学大一统理论”。就如同理论物理中“大一统理论之梦”意欲把已知的四种基本力统一到一个框架里一样，朗兰兹纲领提出了一个深刻而强大的理论框架，应用代数方程精确解的高阶推广，涉及数学最基本的领域，并将解析函数嵌入几何形式中。它使得许多相距甚远的数学领域能够统一到一个强大的解析方法形式中。
从一开始，投身其中的数学家就明白，对朗兰兹纲领的证明不可能一蹴而就，只能一步一个脚印，一点一点地去突破，对于整个纲领的证明也许需要好几代人的努力，但只要坚持不懈，他们坚信，希望就在眼前。到今天，努力的回报已然非常丰厚。2024年7月中旬，纲领中长久以来缺失的拼图——几何朗兰兹猜想——终于获证。完整证明有9位数学家参与其中，历时30年之久，包括5篇大论文，共计800余页。
这是轰动数学界的重大新闻，或许是2024年度最为重要的数学突破。想必很多读者早已看过相关报道。有几家媒体也翻译了Quanta Magazine上报道此事的精彩文章“Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture”。但是，因为朗兰兹纲领涵盖的内容极其博大，可以从很多不同的角度来阐述和理解，所以现有文章几乎都错过了不少有趣的历史细节和数学思想。比如说，无论是朗兰兹纲领，还是用于证明几何朗兰兹猜想的核心工具，灵感全都萌生自同一时期的两处监狱之中；同时，朗兰兹纲领的提出还和数学史上最著名的两封信直接相关。



兄妹的狱中通信


其一就是法国最著名的一对知识分子兄妹的狱中通信。

曾有人向哲学家西蒙娜·韦伊提问：只有傻瓜才会坠入爱河，对不对？

西蒙娜回答道：没有任何存在之物是绝对值得我们去爱的。因此，我们必须去爱那些不存在之物。

安德烈·韦伊是大卫·希尔伯特之后，整个数学界的领航者之一。| 图源：André Weil - Wikipedia

1940年，安德烈·韦伊（André Weil）在法国鲁昂的一所监狱里写下了20世纪数学界最重要的信件之一。他因拒绝服役而获刑，在狱中他与住在伦敦的妹妹通信，以掌握彼此的近况。
安德烈·韦伊出生于巴黎，西蒙娜·韦伊是他的妹妹，也是他唯一的兄弟姐妹。后来，哥哥成为20世纪最伟大的数学家之一，妹妹则成为著名且在当代愈发有影响力的哲学家和政治活动家。
在之前的一封信中，西蒙娜曾要求哥哥向她介绍一下他最近的研究内容。战火纷飞下，安德烈小心翼翼地写下了回信，他“警告”妹妹：“你将对接下来的事情一无所知”。在接下来的14页中，他勾勒了数学“罗塞塔石碑”的思想。著名的罗塞塔石碑用三种语言记录了同一内容，这使得历史学家和语言学家通过其上的古希腊文字，破译了已经断了传承的古埃及文字。韦伊的“罗塞塔石碑”则将数学的三大领域联系起来：数论、几何学，以及中间的有限域。
其他数学家也提出过类似的想法，但韦伊是第一个阐明确切愿景的人。他的信启发了后来的朗兰兹纲领。

13岁的西蒙娜。这张照片是在全家去比利时度假期间拍摄的，她在那里和哥哥非常开心。|图源：Simone Weil - Wikipedia

在写给妹妹的信中，韦伊宣称“与数域的类比是如此严格和明显，以至于在算术中，没有一个论点和结果不能几乎逐字逐句地翻译到函数[或有限]域上”。不过，多项式可以在有限域上表示和分解是一回事，但将复分析的全部机制导入有限域则是另一回事。然而他自信地断言，“差异还不大，以至于耐心的研究可以教会我们从一个领域转换到另一领域的艺术。
那是在1940年。在接下来的十年里，韦伊开发了精确的方法，破译了他的数学“罗塞塔石碑”的大片区域。他还对数论和几何之间的关系提出了一系列猜想。其中最大胆的是黎曼猜想的有限域版本。韦伊本人证明了一维的情况。



第二封信


如果用武侠小说来类比数学界，那么即便在顶尖高手里，韦伊的武功之高强也属骇人听闻。无论是多么抽象、复杂的“兵器”（理论），他都能信手拈来，毫不费力。亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）被誉为是代数几何学的教皇，而他当时开发的代数几何学的理论工具，主要就是为了给韦伊提供武器去攻克黎曼猜想！格罗滕迪克当时发掘了名为“层”（Sheaves）的数学结构的潜力，而应用特殊的层结构则是今年证明几何朗兰兹猜想的关键。
此外，人类似乎特别喜欢排名，即便是数学家也不能免俗。这里再分享一则韦伊的趣事：

在1950年代，芝加哥大学数学系举办了一场圣诞派对。许多著名的数学家出席了，包括安德烈·韦伊。为了娱乐，众人试图列出十位最伟大的在世数学家，但不能包括在场的人。然而，韦伊坚持要求把自己列入候选范围。

后来，韦伊搬到了普林斯顿的高等研究院（IAS）。在1970年代中期，一位普林斯顿大学的研究生问他谁是二十世纪最伟大的数学家，他毫不犹豫地回答：“卡尔·路德维希·西格尔（Carl Ludwig Siegel）。”当被问到谁是本世纪第二伟大的数学家时，他只是微笑着，在他的翻领上擦了擦指甲。（出自Michael Harris’s “Mathematics without apologies”）

这位二十世纪最伟大的数学家（之一）到达普林斯顿不久，就收到了一封17页的手写信件，寄信人正是30岁的普林斯顿大学教授罗伯特·朗兰兹。

1967年1月，朗兰兹在普林斯顿大学时，给安德烈·韦伊写了一封17页的手写信，概述了后来被称为“朗兰兹纲领”的内容。即使在今天，这封信也值得仔细阅读，尽管按照目前的标准，它的符号有些笨拙。| 图源：普林斯顿高等研究院档案，Letter to André Weil | publications.ias.edu

信中认为，按照韦伊的“数学罗塞塔”的思想，数论和有限域上的多项式，可以通过一种推广的傅里叶分析，建立起非常强大和范围惊人的联系！
在经典的傅里叶分析中，名为傅里叶变换的过程在两种不同的认知方式之间建立起了对应关系。对应关系的一侧是波，复杂的波不过是正弦波的组合。对应关系的另一端是正弦波的频率频谱——在声学现象里即它们的音高。
傅里叶变换允许两边来回转换。在一个方向上，它允许我们将波分解为一组频率；另一方面，它帮助我们由频率重建波。没有傅里叶变换，我们就不会有现代电信、信号处理、磁共振成像等许多现代生活必需品。

方波的傅里叶级数，波与频谱之间的对应关系。| 图源：Seugwon Park，illustr

朗兰兹提出，在数论和函数域里，也能构造类似的傅里叶变换，但此时的“波”和“频率”更加抽象和复杂。



构建对应


在数论里推广傅里叶变换，波与频率分属截然不同的领域，而建立起它们的对应关系，通常会带来丰厚的回报。在1990年代，当意识到椭圆曲线和模形式之间存在对应关系之后，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）证明了费马大定理。而朗兰兹纲领所描绘的景致更加恢弘广漠，我们难以想象当它完成之时，到底能收获多少回报。
从另一个角度来说，尽管数论版的朗兰兹纲领高深莫测，但仍旧根源于古典数论的基本问题，即三千年前的数学先驱就已开始思考的、代数方程的有理解和整数解。更确切点说，它可以看作是二次互反律的推广。素数相当于傅里叶变换里的频谱。
但是，要如何把几何纳入到这一框架里呢？对于紧致的黎曼曲面，最核心的几何/拓扑特征是它上面的洞。
在数学科普里，有一反复使用的常识性示例：咖啡杯和甜甜圈在拓扑学里其实是相同（同胚）的东西。因为它们都只有一个洞。如果你无法想象的话，下面就有咖啡杯平滑变形为甜甜圈的过程。

这组陶瓷模型由卡内基梅隆大学的Keenan Crane和俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman亲手烧制而成。| 图源：Keenan Crane & Henry Segerman

所以任何用于刻画黎曼曲面的频谱，都需要包含这些本质结构的信息。合理猜测，信息应该以名为基本群的代数拓扑学概念的形式被提炼出来。
但是，在很长一段时间里，数学家都无法想象如何构造基本群的特征函数（相当于经典傅里叶变换里的正弦函数）。就连朗兰兹最初描述他的纲领时，几何部分都未包含在内。
直到20世纪80年代，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）才意识到，通过将特征函数替换为特征层（eigensheaf），有可能构建一个几何版本的朗兰兹对应关系。而几何朗兰兹猜想的精确表述直到本世纪才出现——2012年，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与迪玛·阿林金（Dima Arinkin）合作，通过一篇长达150多页的论文给出了这一表述。
在经典信号处理领域，声波可以由正弦波构成，其频率对应于声音的音高。仅仅知道声音包含哪些音高是不够的，还需要了解每个音高的响度。这些信息允许工程师将声音表示为正弦波的组合：从振幅为1的正弦波开始，再乘以适当的响度因子，然后将这些正弦波相加。所有这些振幅为1的不同正弦波之和就是所谓的“白噪声”。
在几何朗兰兹猜想中，特征层的作用类似于正弦波，但直接用它充当黎曼曲面的特征函数，则非常之难。幸好几位合作者又识别出一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，已知其可转换为特征函数。如果它能充当几何学里的“白噪声”，则大功告成。然而，这些研究者不确定是否可以将每个特征层都表示为庞加莱层——就像把弦波分解成白噪声之和，更不确定后者是否具有相同的“振幅”。这就是最后需要证明的东西。



牢笼里的光


特征层和庞加莱层，都是之前提及的层概念的特例。而且，层的提出恰好和韦伊在狱中构思“数学罗塞塔”是同一时间。

安德烈·韦伊在他的自传中提到，他在监狱中的经历对他的数学研究产生了深远的影响……

监狱中的孤立环境使他的思维变得特别清晰。在狱中没有外界的干扰，能够专注于数学问题的思考和解决。这种环境促使他在数学研究上取得了重大突破。他后来半开玩笑地说，监狱是数学家最好的研究环境。

1940年，法国应用数学家和炮兵军官让·勒雷（Jean Leray）的经历，似乎佐证了韦伊对监狱的理解。
他被德国人俘虏后告诉审讯者，自己是一名拓扑学家，因为担心如果德国人发现了他真正的专业领域——流体动力学，会强迫他为德国的战争机器服务。在他被监禁的近5年时间里，勒雷通过进行拓扑学研究来巩固自己的人设。拓扑学是研究可变形形状的数学分支。他最终创造了现代数学中最具革命性的想法之一：层（sheaves）的概念。
塞尔（Jean-Pierre.Serre）著名的论文Faisceaux Algébriques Cohérents展示了如何使用层来给代数簇提供一个通用定义（通过使用层将称为仿射簇的简单几何对象拼接在一起），以及如何将代数几何中的经典思想重新解释为层的上同调。塞尔的工作激发了格罗滕迪克的层理论方法，使之成为代数几何更基础的方案。
从格罗滕迪克开始，数学家逐渐意识到，层的集合与函数的集合有许多共同点，但复杂程度更高。我们可以对层进行相加和相乘运算，甚至可以对它们进行特殊的微积分运算。
在监狱里，勒雷打开了通往数学新世界的大门。
顺便说一句，勒雷在战俘营里还发明了谱序列，这是一种非常复杂但强大到几乎难以置信的工具。谱序列在许多数学领域中都至关重要，包括代数几何、代数拓扑和同调代数。对于一个为了避免被德国人利用其才能而声称自己是纯数学家的人来说，这成果并不算太差。
简单点说，层是用于获取“局部”信息并查看是否可以将这些局部信息粘合在一起以获得“全局”信息的工具。阻碍我们粘合信息的“力量”会引导我们进入所谓的层的上同调，这是代数几何和复分析的核心内容。
笔者从印度数学家Y.V. Srinivas那里学来了用子图着色来理解“层”的直观方式。读者可以结合下面的例子，来理解什么是“获取局部信息并查看是否可以将这些局部信息粘合在一起以获得全局信息”。
考虑一个图的所有着色。假设我们用一组子图（可能重叠）覆盖这个图。整个图的着色可以限制为每个子图的着色。反过来，假设我们用着色方案C(S)为每个子图S着色。如果两个子图重叠，我们要求它们在重叠部分的着色一致。也就是说，假设一个顶点V同时出现在子图S和子图T中，那么方案C(S)和C(T)必须为V点选择相同的颜色。在这种情况下，我们可以将所有子图的着色粘合在一起，得到整个图的着色。这就是把局部信息粘合成在一起的过程。



重建巴别塔

我躺在床上思考了三个月。

——丹尼斯·盖茨戈里

Dennis Gaitsgory（左）和 Sam Raskin（右）领导的九人团队证明了几何朗兰兹猜想。| 图源：Natasha Bershadsky; Charlotte Krontiris

2020年全球疫情暴发，或许隔离期间的状态和坐牢有几分类似。丹尼斯·盖茨戈里躺在床上思考了三个月。他琢磨出来的理论，为最后的证明埋下了希望的种子。
去年，几何朗兰兹项目的另一位领导者山姆·拉斯金（Sam Raskin）在经历了妻子临近预产期的手忙脚乱之后，终于与几位研究者聚在一起，汇集了几人的智慧，攻克了最后一道难关。

几何朗兰兹猜想最后一篇论文的7位合著者。上面四人中左二为陈麟，清华大学丘成桐数学科学中心助理教授。| 图源：Giancarlo Rado; Yau Mathematical Science Center; Wyatt Reeves; Diana Tyszko; Lisa Smith; Jean Lachat; Alex Arinkin

如同前文所述，朗兰兹纲领最迷人之处就是为不同领域建立起桥梁。如今几位合作者正在尝试将他们的几何结果再翻译到函数域上，据说已经取得了进展。如果成功，将证明函数域版本的朗兰兹猜想比数学家之前知道甚至猜测的还要精密得多。
现在，数学界需要时间慢慢消化几何朗兰兹猜想的证明。同时，数学世界的开拓者们正一步一个脚印，缓慢但坚定地把朗兰兹的哲学转化为一个个数学定理。

参考资料

[1] Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture | Quanta Magazine

[2] “God does not algebra”: Simone Weil’s search for a supernatural reformulation of mathematics. DOI:10.25180/lj.v25i2.340[3] A Rosetta Stone for Mathematics | Quanta Magazine[4] 数学家和哲学家：兄妹的故事 – The Irish Times[5] 《代数数论简史》，冯克勤，湖南教育出版社[6] A Very Elementary Introduction to Sheaves (arxiv.org)

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