表面是法官，私下是数论学家，斜杠公务员抛下绵延三百年数学难题

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皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat, 1601—1665）的任何传记一定都很短。他的一生跨越了17 世纪的前三分之二，但说实话，他的一生相当乏味。

他从没有在大学执教，也没有在某家皇家科学院占据一席位置。因为身兼律师和地方法官的职位，也就是法国的公务员，所以费马在有生之年没有发表过什么东西，而是通过信件以及没有发表的手稿来传达他的想法。

抛下一句“我确实已经找到它的极好的证明，但是页边太窄了，写不下”，这位“业余数学家”给后人留下了一道跨越三个世纪的难题。

本文节选自《数学那些事：伟大的问题和非凡的人》，此书“”有售，有意者可点击小程序搜索书名购买。

撰文 | [美] 威廉·邓纳姆

译者 | 冯速

01
当上公务员的文科生，只爱数学


17 世纪初，皮埃尔·德·费马出生于法国南部的博蒙–德–洛马涅（Beaumont de Lomagne）。他的父亲是一名富裕的商人和城镇执政官，在这样相当安适的环境下，年幼的皮埃尔度过了他的童年。他接受了良好的教育，开始主要是学习古典语言和古典文学，随后进入大学专心学习法律。经过这样的教育，他在图卢兹城的最高法院当上了一名文职官员，这一职位除了收入稳定之外，还使得费马有权在他的姓前加一个“de”以显示低等法国贵族的身份。作为一名杰出人物，费马婚后与他的妻子生下了五个孩子。他在天主教教会担任很多重要的职位，他是一名虔诚的教徒。据我们所知，他的一生都是在他的出生地方圆一百英里（约 161 千米）以内度过的。这位法国人从来没有去过巴黎。总之，费马的生活圈子相当有限，而且他的生活相当安定——事实上非常安定，因此他不必做很多事。这就暗示他的工作强度不是很大，因此为他写拉丁诗或者古希腊文献的学术评论提供了时间。同时拥有充裕的时间和超凡的智慧，费马的经历使人想起了大约两个半世纪之后的一位名叫爱因斯坦的年轻人，后者在瑞士专利局的乏味工作也给了他充足的时间去发明他的相对论。费马真正喜欢且更有热情的不是古典诗和教堂的事务，也不是法律，而是数学，他对数学的贡献影响深远。在很多课题的发展中，他都起着重要的作用，远不只本书中描述的那有限的几个课题：数论、概率和微分。正如前面所提到的那样，他没有发表他的数学发现，他下面的言论可能表明了其理由：“我非常不善于书写我的证明，因此我满足于发现真理，等将来我有机会去证明它们时，我能知道证明它们的方法就足够了。”还好，费马能与欧洲的其他学者通过书信交流他的想法。就这样，这位来自图卢兹的法官成了一位不知疲倦的通信者，他的信件为我们提供了了解其数学研究工作的最佳信息。这些信件的收信人包括笛卡儿、帕斯卡、克里斯蒂安·惠更斯、约翰·沃利斯和马林·梅森等，读起来就如同看到了跨越 17 世纪前 50 年的一本科学“名人录”一样。从这些人中，费马了解了在巴黎、阿姆斯特丹和牛津发生的事情；他也向众人传达了自己了不起的数学发现。
02
在他面前，笛卡尔承认失败了


他最引人注目的成果是如今被称为解析几何的公式及其对概率论基础所做出的贡献，解析几何的公式出现在 1636 年的一篇名为《平面与立体的轨迹引论》的论文之中，而他对概率论的贡献则都包含在1654 年以来的书信中。由于这一贡献，费马的名字和他的合作者布莱斯·帕斯卡（1623-1662）的名字写到了一起。在这种广泛的书信来往中，他们总结想法，提出批评，促使那时还没有引起人们注意的概率论成为数学的焦点。很多他们的共同研究成果直接或间接地进入我们在第 B 章中所说的雅各布·伯努利的《猜度术》中。说到解析几何，费马的名字还与另一位数学家联系在一起，尽管这一次这位数学家不是合作者。这个人就是勒内·笛卡儿，他独立设计了自己的解析几何体系。他们二人都抓住了把当时流行的两大数学思想——几何和代数——结合起来这一极具想象力的想法。（第 XY 章将对此话题做进一步的讨论。）很遗憾，如往常一样，费马从来不发表他的论文，而笛卡儿已于1637 年在其具有影响的《几何》一书中告知全世界他的发现。由于最先发表成果，所以笛卡儿接受了公众的赞美，并且他的名字从此以后永远嵌入术语笛卡儿平面之中。如果我们这位法国地方法官能够早一点发表研究成果，也许今天数学家们谈论的就是费马平面了。笛卡儿赢得了这场战役，但是肯定没有打赢整场战争。事实上，笛卡儿对数学的热情不及费马，费马对他协同创造的解析几何还做出了很多其他很有意义的贡献，但常常不被人们注意。贡献之一就是费马找到了特定曲线的极大值和极小值，这也是他战胜笛卡儿的一个例子。这个问题听起来很熟悉。这是我们在第 D 章中所讨论的微分学的重要目标之一。我们把确定极值所必要的公式化过程归功于莱布尼茨和牛顿，但是我们忘了提到，早在几十年前费马就已经设计了非常类似的方法。这些方法出现在他的《求极大值和极小值的方法》之中，这是另一个非常杰出但同样没有出版的成果。17 世纪 30 年代末，费马对极大值、极小值和切线的处理方式使他与笛卡儿发生了冲突。笛卡儿发明了自己的处理切线问题的技术，并断言：“这不仅是我所知道的几何中最有用、最一般的问题，而且是我一直以来想要知道的。”然而事实证明，甚至对初级的例子，笛卡儿的方法也很笨拙。费马几乎毫不费力就能做到的一切，笛卡儿却需要一页一页地进行令人崩溃的代数计算。这件事曾一度引发了一场竞争，因为笛卡儿声称他的方法更好。然而不久，就连笛卡儿本人也明白了费马采用了更好的途径。笛卡儿承认了自己的失败，这对他来说是极其少见的事情。这场竞争在那个时代两位最伟大的数学家之间留下了抹不去的伤疤。因为费马非常简单地解决了极大值和极小值问题，所以皮埃尔–西蒙·德·拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace, 1749-1827）称他是“微分学的真正发明人”。一位法国数学家对另一位法国数学家的评价如此夸张，显然拉普拉斯是被一股失控的民族情节冲昏了头脑。尽管费马有如此的远见，但是我们能引证几条理由说明为什么他不应该享有如此大的荣誉。其一，费马的技术只适用于某些特定的曲线族：它们的形式是f(x) = xn 和 g(x) = 1/xn，有时候，前者称为“费马抛物线”，后者称为“费马双曲线”。微积分的真正缔造者应能处理更复杂的函数，正如莱布尼茨说的那样，“不受分数或者无理量的限制”。更重要的是，费马没有发掘到所谓的微积分基本定理，这是我们将在第 L 章中探讨的这一学科伟大的大一统思想。这一定理如此重要，甚至让没有发现它的人都自动失去了声称自己“发明”了微积分的资格。应该提及的是，牛顿和莱布尼茨显然非常清楚地看到了这个基本定理。因此，现代数学史学家通常不把微积分缔造者的称号授予皮埃尔·德·费马，但是几乎所有人都承认他离成功不远了。所以我们承认费马在分析几何、微分学和概率论中有很多重要的发现，并承认这些杰出的贡献属于这位“业余数学家”。但是这一切只是一个序幕，费马的声望赖于他对数论的研究，其成就远远超越上面所述的任何成就。正如我们在第 A 章中提到的那样，欧几里得和其他一流的数学家已经对这门学科做过研究，但是可以毫不夸张地说，现代数论源于费马。对这位研究过希腊古典著作的法国学生来说，古代文献点燃了他对数论的兴趣。公元前 250 年丢番图的《算术》就是最佳例证，这本著作的 1621 年译本引起了费马的注意。他认认真真地通读了这本著作，并在他经常翻阅的书页的空白处写下了自己的评述。03
表面是法官，私下是数论学家


对费马来说，数学这门学科有着无限的魅力。他沉迷于整数，或者说他与整数的关系无比亲密，而且，费马有着不可思议的能力，能够认出它们的特性，就如一个人认出老朋友一样。表面上他是图卢兹的一位受人尊敬的法官，但是私下，他是一位卓越的数论学家。但是这名数学家处于不利的境地，因为他留下的东西几乎没有证明。边页注释、诱人的提示，等等，这就是我们拥有的一切。后来的学者，特别是欧拉，试图重建费马的思维过程或者可能的推理路线。但是用 20 世纪数学家安德烈·韦伊（AndréWeil）的话说：“当费马断言他有了某个论断的证明时，我们对这样的声明必须格外小心。”比如出自费马之笔的最著名的数论陈述——“费马最后定理”，也很可能正是因为实在太难，它才赢得了这样的声誉。这个故事是从费马研究古希腊文献丢番图的《算术》开始的，其中的课题还是两个完全平方的和。在某些情况下，这样的和本身可能就是一个平方。我们脑子里能够想到的例子可能是3²+4²=5²或者 420²+851²=949² 。但是费马沉思着，两个完全立方的和也能够是另一个完全立方吗？此时，在《算术》的页边上，他写道：“把一个立方分成另外两个立方，或者一个四次幂，或者一般地任意高于二次的幂分成两个相同次幂是不可能的。”用符号表示的话，费马说的是，不存在正整数 x, y, z,使得 x³ + y³ = z³, x⁴ + y⁴ = z⁴, x⁵ + y⁵ = z⁵, 等等。他的一般结论是：如果 n ⩾3，方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解x,y, z。就好像是在作弄后代的学者似的，费马附加了可能是整个数学史中最著名的陈述：“我确实已经找到它的极好的证明，但是页边太窄了，写不下。”这就是他的完全叫错了名字的“最后的定理”（last theorem）。首先“最后”不是指费马生命中最后的猜测，而是表示在费马的其他猜测都得到证明之后，这个猜测仍然没有得到证明。另外，把这个猜测称为费马的“定理”也不妥当，因为他没有给出证明。很多年过去了，其他数学家也参与到这一证明之中。索菲·热尔曼、勒让德、勒琼·狄利克雷、库默尔等等都参与过这一证明，但进展缓慢。人们对这个问题的兴趣一直持续到 20 世纪。到了 1909 年，人们的热情又被点燃，原因是正确解将获得100 000 德国马克的奖金。对经济利益的向往引发了最糟糕的结果，众多贪婪的冒牌数学家跳了出来，错误的推理如洪流一般席卷了整个学术界。有幸的是，数学家不会永远被经济利益驱使。一位带着高尚动机的数学家就是格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）。1983年，法尔廷斯证明了，对于任意的 n ⩾ 3，费马方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 至多有有限个不同解（排除一组解是另外一组解的倍数这类情况）。乍看起来，这个证明几乎没有什么了不起的帮助。法尔廷斯没有排除这样的可能性，即对某些指数来说，这个方程有 100 000 个解，这距离费马的没有解的断言还太遥远。尽管如此，法尔廷斯还是封死了一般情况下有无限解的可能性。因为这一证明，1986年在加利福尼亚州伯克利举行的国际数学家大会上，法尔廷斯获得了菲尔兹奖，这是数学界的诺贝尔奖。在这本书首次付印的时候，数学家正在热议一个非常有希望的新的费马最后定理的证明，这是英国人安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）博士的证明。当时人们的热情非常高涨，以至于这个故事已登载到《纽约时报》的头版，而且被认为有充分的新闻价值。（数学界已经认可了怀尔斯博士的证明，费马最后定理最终获得证明。——译者注）到这里，也许我们应该离开这位谦逊的法官——皮埃尔·德·费马。在数学家中，他是一位令人敬畏的人物，他因研究古代大师的著作而开发出现代数学如此众多的关键思想。在 1659 年给朋友的一封信中，老年的费马还表达了这样的愿望：“也许子孙后代会感谢我向他们表明了，古人并非知道每一件事。”

本文经授权摘自《数学那些事：伟大的问题和非凡的人》。

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