比可列集还大的集合？

本文为系列文章 “无穷集的基数” 的第四篇。该系列文章讲述无穷集之间的大小区别，有助于理解后续学习中经常遇到的数学运算。

系列文章：

所需知识：区间套定理，正切函数

前面的系列文章《神奇的希尔伯特旅馆》提到，可列集是最小的无穷集。而且，即使不停地往可列集里面添加元素，不管是添加可列个元素，还是可列个可列集的元素，最终得到的依然还是个可列集。这就让我们不禁怀疑，真的存在比可列集还大的无穷集吗？

1. 无法扩大无穷集的原因

系列文章《神奇的希尔伯特旅馆》还提到，任意无穷集  必然包含一个可列子集：

而当我们给无穷集  添加可列个元素时：

可以参考文中的方法1，利用  构造一个从  到  的映射：

其中：

我们通过上面的方法，把  映射到  ，同时把  映射回自身，因此  是一一映射。

也就是说，任何无穷集  ，在添加可列个元素之后，还是和自身对等。因此，添加可列集是无法扩大无穷集基数的。

2. 实数区间  

通过添加可列集是没办法得到一个基数更大的集合，估计得直接寻找一个基数更大的集合。大佬们早就帮我们找到了一个：实数区间  。

定理

实数区间  不是可列集。

证明

反证法。反设区间  是可列集，由系列文章《神奇的希尔伯特旅馆》的结论1可知，该集合的所有元素可以排列成序列： 

  

然后把  等分为3个闭区间：  、  和  ，其中总会有一个闭区间不包含  （毕竟  不可能同时出现在3个闭区间里面嘛）。我们将该区间记为  ，于是有： 

  

再把  三等分，又总有一个闭区间不包含  （可能  都不在等分之后的3个区间里面呢），将该区间记为  ，于是有：  

  

重复这个操作，便得到一个区间套  ：

其中  。

根据区间套定理，存在唯一的   。因前面我们已经假设实数区间  是可列集，可以表示为式(1)的形式，且有  ，可知  必为式(1)中的某个  且 ‍ ，与  矛盾。故假设不成立，区间  不是可列集。证毕。‍

—— 邓东皋、常心怡的《实变函数简明教程》

上述结论说明，确实存在元素比可列集更多的无穷集，回答了文章开头的问题。

可是，相关的证明用到了 “区间套定理”，并不是新手能够接受的内容。终于明白，为什么没有在刚开始学习微积分的时候就介绍无穷集的基数，因为那时候你还不懂什么是区间套定理啊！只能在后面的文章再来详细介绍区间套定理了。

3. 实数集不可列

第1节提到，任意无穷集添加可列个元素都不会改变基数，更何况只是添加2个元素？因此，闭区间  与开区间  是对等的，它们拥有相同的基数，都不是可列集。

我们看一下这个正切函数： 

这个函数就是从区间  到实数集  的一一映射。可见，实数集  与区间  是对等的，因此实数集  也是不可列的。

定义:

实数集  的基数记为  ，称为连续统基数。

因实数集  不可列，我们有：

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回来看系列文章刚开始提到的问题：怎样比较自然数集  、实数集  以及  的基数大小？来到系列文章的第四篇，终于能够给出部分回答：自然数集  的基数比实数集  的基数小。可惜这里还是要用到区间套定理，不大适合新手。

后续的系列文章会介绍另一种方法，同样能够说明自然数集  的基数比实数集  的基数小。也将继续解答剩余的问题：实数集  的基数是怎样的？实数集  的基数会比实数集  的基数大吗？