集合系的原材料

本文为系列文章 “集合系的分类” 的第一篇。该系列文章尝试把测度论中涉及的各种集合系（或称集族）串联起来，帮助理解，为后续的测度论学习打下扎实的基础。

前置文章：

所需知识：集合及其运算，集合系

如果接触过测度论或实变函数，你肯定忘不了那个感觉：一上来就是罗列各种集合系的枯燥概念：

  系、半环、环、域（或代数）、单调系，还有什么  系、  环、  域（或  代数）等等。

怎样，晕了没？

你会发现，每个概念的名字都很奇怪，而单独看它的内容又还是简单易懂的。最主要的问题是，概念多，又零散，回过头相关的细节就全忘了，还得重新翻书。这种体验，一方面会影响学习的兴趣，另一方面也会给后续更深知识的学习带来障碍。

静下心来回头再看，相信你至少还会有点印象：这些集合系的特征其实就在于对若干种集合运算是封闭的。

解释

所谓的 “对集合运算封闭” 指的是，集合系  的任意元素（还是集合），其通过集合运算得到的结果仍然是集合系  中的元素。这种 “对运算封闭” 的思维方式，在抽象代数那用得很多，通常称之为代数运算。

你肯定会有疑问，为什么一定要用这几种集合运算进行搭配？定义这种集合系有什么用途？可以自己搭配吗？说不定还可以搞出新的 “菜式” 。这系列文章的目的就是解决这些问题。为了解决这些问题，我们首先要做的事，弄清楚总共有哪些 “原材料” 可以拿来搭配。

1. 有哪些原材料？

我们都知道，常见的集合运算有：交集、并集、差集、补集（这里提到的交集和并集运算，都仅限于有限个集合的运算，后面的系列文章会有更多说明）。此外，集合系里面是否包含全集  、空集  ，也是很重要的性质。这些都是我们需要用到的 “原材料”。

需要注意的是，这些集合运算之间还有一些隐藏的蕴含关系是要弄清楚的，这样有助于避免重复添加无意义的集合运算，也有助于我们更清晰地看到集合系的本质。正如我们在烹制一道菜时，如果不知道豆瓣酱是咸的，在添加豆瓣酱之后还加多盐，那这道菜就得废了。

例如，对于任意集合  ，它的补集  其实可以表示为全集  和它的差集，即  ，因此有蕴含关系：

差集 + 全集      补集   (1)

也就是说，当集合系对差集运算封闭的同时还包含全集  ，则必然对补集运算封闭。如果在讨论该集合系的配方，这时候就没必要再把补集运算单独罗列进去。还有下面这个例子：

结论1 

差集蕴含交集和空集  ，也就是说，对差集运算封闭的集合系，必然对交集运算封闭，也必然包含空集  。 

证明

已知非空集合系  对差集运算封闭，那么对任意集合  ，均有：

由此可知集合系  必包含空集。对任意集合  ，均有：

由此可知集合系  对交集运算封闭。证毕。

结论1可以简单描述为：

差集    交集 + 空集      (2)

因此，为了避免 “既加豆瓣酱又多加盐”，我们还需要 “解剖” 差集运算，将其中的交集运算以及空集部分 “拆分” 出去。怎么拆呢？

2. 如何拆解差集？

我们先介绍一个比 “要求对差集运算封闭” 弱一点的条件：

定义

对于任意的集合  ，如果当  时，即  且  （集合  是  的真子集）时，必然有  ，则称集合系  对真子集差的运算封闭。

如果对差集运算封闭，说明集合系里面的任意两个集合拿出来做差集运算，其结果都会在集合系里面；而如果只是对真子集差运算封闭，则只有在 “一个集合是另一个集合的真子集” 的前提下，其差集运算的结果才会在集合系里面。可以看出，“对真子集差运算封闭” 是一个相对较弱的条件，毕竟没有要求 “任意两个集合” 嘛！

而且，明显地，对差集运算封闭的集合系，必然也对真子集差运算封闭，即：

差集    真子集差    (3)

OK，可以正式开始 “解剖” 差集运算：

结论2 

差集等价于交集、空集  和真子集差，也就是说，对差集运算封闭的集合系，等价于同时对交集和真子集差运算封闭，并且包含空集  。 

证明

由式(2)和式(3)可知，对差集运算封闭，蕴含对交集、真子集差封闭，同时包含空集  。因此已经可证结论2的必要性，剩下的只须要证明其充分性：对于任意的集合  ，证明  。

1. 当  时：

由于集合系  包含空集，则有：

符合结论。

2. 当  且有一个为空集时，也必然满足  ，符合结论。

3. 当  且都不是空集时：

由于集合系  对交集运算封闭，则有：

且明显有：

由于集合系  对真子集差运算封闭，则有：

综上所述，可知集合系  对差集运算封闭。证毕。

结论2说的是，我们可以把差集运算等价地拆分为：交集运算、真子集差运算，以及包含空集  ，即：

差集    真子集差 +  交集 + 空集    (6)

因此，我们可以把前面的原材料清单中的差集替换掉，更新为：交集、并集、真子集差、补集、全集  以及空集  。

3. 一种特殊的原材料

在上面原材料清单的基础上，我们还要添加多一种特殊的原材料，它和真子集差运算有关：

定义

对于任意的集合  ，如果当  时，存在有限个两两不相交的集合  ，使得：

则称集合系  对真子集差的运算是弱封闭的，简称弱真子集差。

弱真子集差并没有要求真子集差的结果必须仍在集合系  里面，只是要求其结果必须能够表示为  里面有限个集合（没有要求具体数量）的并集。因此它比要求 “对真子集差运算封闭” 的条件要更弱，结合式(3)可得：

差集    真子集差    弱真子集差    (7)

且容易知道：

弱真子集差 + 并集    真子集差    (8)

真是一个奇葩的定义。

奇葩归奇葩，但确实有用，至少它在现实中可以很容易地找到实例：

例1

记实数集  上所有左开右闭区间组成的集合系  为：

则  对真子集差运算是弱封闭的。

关于左开右闭区间的定义，请参考文章《实数集的区间》。别小看这个集合系  ，它可是在后续的测度论知识中有着非常重要的地位：从集合系的扩张，到可测函数、随机变量以及分布函数等重要的概念，都要用到它。还是咬咬牙，面对现实，努力消化一下吧。

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到这里，我们可以把前面的原材料清单再次更新为：交集、并集、真子集差、弱真子集差、补集、全集  以及空集  。后面的系列文章，将详细介绍如何通过搭配上述原材料，来获得各种特别的集合系。