最重要的集合系: Borel Sets

前置文章：

所需知识：数列的极限，广义实数

文章《集合系的常见配方》在介绍集合系  系以及半环时，曾经提及两个例子来说明：

例1  定义集合系  ，则集合系  是  系。

例2  定义集合系  ，则集合系  是半环。

而按照文章《我要变大，不要变圆》的说法，  系  以及半环  都有其各自生成的  域：  、  。在正式介绍Borel集合系之前，我们先看看这两个  域的关系。

1. 证明  

文章《我要变大，不要变圆》已经介绍了针对这类问题的证明方法（常见该文的问题2）：分别证明  和  。

为了证明  ，可以尝试用  的元素来表示  中的任意一个元素。对于任意的  ，容易知道：

等式右边为  元素的可列并集，由于  对可列并集封闭，因此有：

另一方面，对于任意的  ，又有：

等式右边为  元素的差集，由于  对差集运算封闭，因此有：

综上所述，可知：  。这时可以给出定义：

定义

将  或  称作实数集  上的  集合系，记为  ，其中的集合元素称为  中的  集。

集合系  只是其中一类  集合系，在拓扑学中还有更抽象、更广泛的定义，由于与主题关联不大，咱不多说。

2. 常见区间的  域（上）

通过文章《实数集的区间》可以知道，集合系  是由文中类型  的所有区间组成，而  则是由类型  的所有区间组成。为方便后文叙述，将  表示为  ，将  表示为  ，则有：

  

接下来针对文章《实数集的区间》所提及的区间类型，借助文章《我要变大，不要变圆》中提及的证明技巧，看看这些区间各自生成的  域是怎样的。

区间类型  或  ：

即任意类型 或  的区间都可以通过类型  的区间来表示，因此有：

  且  

区间类型  或  ：

即任意类型 的区间都可以通过类型  或  的区间来表示，因此有：

  且  

区间类型  ：

• 如果  ，则  ，自然成立；

• 如果  ，则任取  ，都有：

即任意类型 的区间都可以通过类型  的区间来表示，因此有：

  

结合式(1)(2)(3)(4)可得：

  

3. 常见区间的  域（下）

我们接着看文章《实数集的区间》的区间类型  。

区间类型  

因此有：  。

区间类型  

因此有：  。

区间类型  

因此有：  。

区间类型  

因此有：  。一个循环下来，自然有：

  

结合式(5)发现：

  

也就是文章《实数集的区间》所描述的实数集常见8种区间类型，其生成  域竟然都是集合系  ！

4. 广义实数集上的  域

前面说过，集合系  只是其中一类  集合系，接下来将介绍广义实数集上的  集合系  。从文章《广义实数集的一种理解》可以知道，广义实数集  比起实数集  多了两个元素：  和  ，那么集合系  也应该把这两个元素包含进去：

  

注意，这不是简单地把集合  或  塞进集合系  ，而是塞进去后的最小生成  域。

4.1   区间的生成  域

接下来我们继续看看文章《实数集的区间》剩下的几个和  相关的区间类型。

区间类型  

因此有式(8)：  。

区间类型  

因此有式(9)：  。

区间类型  

因此有式(10)：  。

区间类型  

因此有式(11)：  。综合式(8)(9)(10)(11)可得：

  

4.2 集合系  与区间的关系

我们尝试证明  ：

1. 用区间类型  表示  ： 

2. 用区间类型  表示  ： 

3. 用区间类型  表示  ：  

因此有：  。

用  表示区间类型  ：  

因此又有：  。综上可知：

  

结合式(7)(12)(13)可得：

  

5. 小结

通过式(6)可以知道，  集合系  可以通过实数集  上8种常见区间类型中的任意一种来生成；而通过式(7)和式(14)可以知道，  则可以在  的基础上添加  和  来生成，或者直接通过广义实数集  上4种常见区间类型种的任意一种来生成。

在测度论里，  集合系被用来定义可测函数，也被用来构造  测度（Lebesgue-Stieljes测度），与随机变量、随机过程有着非常密切且重要的关系。