集合原像与集合运算的关系

本文所讲述的是一些比较零散的知识点，读者很可能兴趣不大。一些比较重要的定理须要用到这些知识点，但将其放到系列文章里讲述，又觉得会过于偏离系列文章的主题。因此只能将这种 “细枝末节” 的知识点单独拎出来，作为一篇 “独立” 的文章。

前置文章：

所需知识：集合运算、一一映射、可列、不可数

这部分内容其实让我很纠结。你可以说它很简单，因为可以用几个字概括：集合运算与原像可以相互交换位置；但要是仔细斟酌起它的逻辑，却还是会感觉非常的绕，不像 "一加一等于二" 那么直接。

1. 相关概念

讨论数学问题时，要先有明确的概念，然后在其基础上讨论相关的性质。没有严格的定义就开始讨论问题，是不严谨的，得到的结论也是经不起推敲的。若在实际应用中嫌弃相关条件过于苛刻，可以进行恰当的条件放宽操作或前提假设，但也得明确地知道相关操作对原有严谨结论所带来的影响。

我们先看映射的概念，大家都非常熟悉了：

定义

设  和  是任意给定的集合。如果对每个  ，都存在惟一的  与之对应，则称对应关系  是从  到  的映射。

至于单射、满射以及一一映射这几类特殊的映射，这里就不多说了。接着是集合或集合系原像的概念：

定义

设  是从  到  的映射。对任何  ，称

为集合  在映射  下的原像。对任何  上的集合系  ，称

为集合系  在映射  下的原像。

2. 与 "逆映射" 相区分

注意，集合或集合系的原像使用了符号  ，这个符号在逆映射那里也有用到：

定义

设  是从  到  的一一映射，因此对每个  ，都存在唯一的  ，使得  。定义映射

  ,   

则称对应关系  为  的逆映射。

由逆映射的定义可以看出，与集合或集合系的原像存在以下区别：

  逆映射要求原映射  必须为一一映射，但集合原像不要求；

  逆映射的输入是  中元素，输出是  中元素，而集合原像的输入是  的子集，输出是  的子集。

这篇文章后续的符号  ，都是指集合或集合系的原像，大家注意区分。

3. 与集合运算的关系

准备工作做完，终于来到文章的主题。既然要考虑 "集合或集合系的原像" 与 "集合运算" 的关系，那就得先知道有哪些集合运算。我们直接引用文章《集合系的原材料》以及《更高级的原材料》给出的原材料清单，罗列如下：有限交集、有限并集、真子集差、弱真子集差、补集、全集  以及空集  、单调不减序列的并集、单调不增序列的交集。

我们直接引用程士宏老师《测度论与概率论基础》给出的结论：

结论

设  是从  到  的映射。关于集合的原像，有下列性质：

1.  

2.  

3.  

 且对任意指标集合  ，都有：

4.  

5.  

我们根据上述结论，过一下前面的集合运算清单：

  结论第1、2点说的是，空集  的原像依然是空集，全集  （也就是  ）的原像也依然是全集（也就是  ），覆盖清单中的空集  和全集  ；

  结论第3点说的是，集合补集的原像等价于集合原像的补集，覆盖清单中的补集；

  结论第4点说的是，任意不限数量的集合，不管是有限、可列还是不可数，它们的并集的原像等价于集合原像的并集，覆盖清单中的有限并集和单调不减序列的并集；

  结论第5点说的是，任意不限数量的集合，不管是有限、可列还是不可数，它们的交集的原像等价于集合原像的交集，覆盖清单中的有限交集和单调不增序列的交集；

  对于清单中剩下的真子集差和弱真子集差，考虑到  ，根据结论的第3、5点可知：

也就是集合差集的原像等价于集合原像的差集，因此也被覆盖了。

所以，这个结论已经覆盖上述整个集合运算清单，足够用了：对于清单中的集合运算，都可以与集合原像操作交换位置的。那剩下的问题就是，怎样证明这个结论呢？

4. 结论的证明

终于到了让我纠结的地方：结论很简单，证明的整体思路也很清晰，但实际操作起来很烦啊！我们拿结论的第4点来证明看看：

证明的整理思路就是，分别证明两边的集合都是另一边集合的子集。

a. 先证明  

对于任意一个  ，说明  ，那自然存在  使得  ，从而可知  ，进而：

由  的任意性可得：

证毕。

b. 再证明  

对于任意的  ，存在  使得  ，说明  ，从而有  ，进而有：

同样由  的任意性可得：

结合a和b，结论第4点证毕。

上述内容只完成了结论第4点的证明，其余4点就不啰嗦了，同样的套路。虽说简单，但确实也要绕来绕去。估计最好的做法，就是自行证明一次，然后把结论牢牢记住：集合原像操作与集合运算是可以交换位置的！我们把它当作常识，当作 "一加一等于二" 那样子来用就好了。