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所需知识:等价关系,数列极限,自然数 ,整数 ,有理数 |
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与之前的一些文章类似,为了做到公众号内知识的完整性,特意整理了这一篇文章。后续大家就会看到相关的应用。
这篇文章的内容,正如题目说的那样直白:两个实数之间必然存在有理数(其实还有无理数,但在这不是重点)。如果这个结论对你来说就是一个常识,或者说你对 “如何构造实数” 没有兴趣(甚至认为是无病呻吟),那这篇文章确实也没必要看。
关于实数构造理论,有基于 “戴德金分割” 构造的,也有基于 “柯西数列” 来构造的。这篇文章使用的则是基于 “柯西数列” 的实数理论。从头讲述是不现实的,但至少我们得知道:对于有理数 中的任意数列 ,如果给定任意有理数 都存在正整数 ,使得只要 且 ,就有: |
需要注意的是,柯西数列中的每一项 以及 都是有理数。然后,将符合上述定义的所有柯西数列组成集合 ,并给 中任意两个柯列数列定义以下二元关系:已知柯西数列 和 ,如果给定任意有理数 都存在正整数 ,使得只要 ,就有: |
参考文章《集合上的等价关系》,容易验证上述二元关系 就是集合 上的等价关系,于是就有了 关于该等价关系 产生的等价类 以及商集 。这里的商集 则是我们经常使用的实数集 ;而其中的每一个等价类 ,就是一个实数。至于怎么比较大小、定义运算法则,只能后续通过系列文章来讲述了。由于等价类 中的任一个元素 (柯西数列)都可以拿出来代表这个等价类,例如,有理数 可表示为数列:而无理数 则可表示为数列:
于是我们得到这篇文章所需要的第一个知识点:
知识点1 任一个实数 都可等价地看作一个柯西数列 ,一个由有理数组成的数列。 |
随便给两个不同的实数 ,这篇文章需要在实数 和 之间找一个不同的有理数。按照第一个知识点的说法,我们可以使用柯西数列 和 分别代表实数 和 。既然 ,说明柯西数列 和 不满足前面所说的相等的二元关系,由该关系的定义可以得到对应的否命题:事实1 存在有理数 ,对于任意的正整数 ,都存在另一个正整数 ,使得: |
同时,基于事实1中的有理数 ,由柯西数列的定义可知:
事实2 给定 ,则分别存在正整数 和 ,使得只要 ,就有: |
我们需要根据式(4)、(5)、(6)来判断 在 时的取值范围。首先将式(5)、(6)变换一下:
而式(4)则存在两种情况:
或者
我们需要对这两种情况进行讨论。
对于上述的情况1,如果记 ,可见 也是有理数,且当 时总有 成立,即有理数 总比有理数 大有理数 。这正是用来比较实数大小的标准:知识点2
对于任意的两实数 和 及其对应的柯西数列 和 ,如果存在有理数 和正整数 ,使得当 时总有 成立,则定义实数 和 的大小关系为 或 。 |
接着我们对式(4)的另一种情况进行讨论(其实也就交换一下 和 的位置):
对于上述的情况2,同样沿用 ,当 时总有 成立,根据实数比较大小的标准,可知 。而且,不管式(4)的哪种情况,都会得到: 。因此有:对于任意的两个实数 和 ,并记对应的柯西数列为 和 ,如果 ,则必然存在有理数 和正整数 ,当 时总有: |
准备好知识点之后,再次回到文章的主题:随便给两个不同的实数 ,真的一定会有一个有理数在这两者之间?在实数 和 之间,不能全是无理数吗?为简化讨论,不妨假设 ,则我们可以沿着前面式(4)的情况2继续讨论。此时,我们再取另一个数 ,明显 也是有理数,并且可用下面这个柯西数列 表示:也就是数列的每一项 都是有理数 。而由式(8)可知,当 时总有:也就是:
基于知识点2,可知 。同时由式(7)以及 ,可知当 时也总有:
这样,我们就在实数 和 之间,找到了有理数 。总结如下:任意两个实数 和 ,如果满足 ,则必然存在有理数 满足: 。 |