比起黎曼积分，测度论的积分美多了

本文为系列文章 “可测函数的积分” 的第一篇。该系列文章将尝试换种方式来讲述可测函数的积分及其相关性质，使之更好地理解和掌握。

前置文章：

所需知识：极限、黎曼积分、无穷集基数、确界定理

不管是高等数学还是数学分析，相信很多同学在大学数学课程里首先遇到的定积分概念都是黎曼积分，而且应该会有一种感觉：黎曼积分的定义怎么那么复杂、看不懂、甚至恶心，一点美感都没有！

这只是从初学者学习角度出发的一种感受，绝对没有要贬低黎曼大佬的意思。为了弄清楚黎曼积分究竟是哪里让人不爽，我们先给出各类教材常用的定义：

定义1

设函数  在闭区间  有定义。用分点

将区间  任意分成  个小区间，小区间的长度为：

记  ；此时在每个小区间上任取一点  ，如下定义黎曼和：

如果当  时，黎曼和  的极限存在：

则称  在闭区间  上是黎曼可积的，同时把值  称为函数  在  上的定积分，记为：

上述定义引用自邓东皋、尹小玲老师的《数学分析简明教程》。为了严谨，也同时参考了张筑生老师的《数学分析新讲》，还有同济大学数学系的《高等数学》。基本上大同小异。

1. 让人难受的黎曼积分

关于黎曼积分的局限性，网上可以搜到相关的描述，这里就不多说，反而想说说学习黎曼积分时让人难受的几个地方。

1.1. 黎曼和的定义有点复杂

关于黎曼和，通常是通过面积来解释。如下图，黎曼和就是图中所有柱形面积的总和。当小区间的长度  时，黎曼和的极限确实趋向于函数曲线下方的面积，确实有助于理解。

但 "闭区间的任意划分"、"小区间中  的任意取点" 就把黎曼和取极限的复杂度提上来：

1. 在闭区间上的划分，至少有  种选择
   划分在闭区间选取第2个点时，由文章《比可列集还大的集合？》可知其有  种选择；整个划分确定下来，你可知有多少种方案？
2. 小区间中  的取点，也有  种选择
   与上述类似，  也有  种选择。

因此，给定小区间最大长度  ，对应的黎曼和至少有  个计算方案，甚至可能有  个取值。如果事先不清楚无穷集基数的知识，看到这么多数值心里不会慌吗？

1.2. 黎曼和的极限是什么鬼？

接触黎曼积分时，大家估计也就刚掌握：

极限模型

1. 数列的极限，它的极限过程仅涉及可列个实数。

2. 一元函数的极限，它的极限过程是自变量在实数集上变化时、对应的函数值所取得的极限。
   

而黎曼和  在  时的极限，明显不是数列的极限：因为  并不在自然数集上取值，而是在实数集上取值，更像是一元函数的极限；

但它也不是一元函数的极限。正如前面1.1小节的a所提及的，在给定具体的  时，随着划分不同、区间中  取点不同，黎曼和  可能有不同的取值（甚至有  个）。同一个  却不只有一个对应的值，明显不符合函数的定义，更不用提一元函数的极限。

因此，黎曼和的极限不符合上述两类极限模型。作为初学者，很可能还没接触可列集、无穷集基数的概念，那就更难辨别上述极限过程之间的不同。虽说极限与涉及的元素数量无关，但又有多少初学者能有这番悟性？多少还是会抵触的。

为了能适配已有的极限模型，可以通过上/下积分给出黎曼可积的等价判断方法（达布定理），具体可参考邓东皋、尹小玲老师的《数学分析简明教程》。拿上积分为例，上积分就是达布上和（也就是黎曼和的上确界）在  时的极限，这就符合一元函数极限的模型。

如果认为通过达布定理就能够很好地理解黎曼积分，那可不一定。达布和的定义需要用到确界定理，而确界定理又是实数连续性的等价描述之一。初学者能否理解和接受实数连续性等价描述在实分析中的地位，还真难说呢。

1.3. 黎曼积分的扩展更难受

接下来将简单罗列一下黎曼积分的几类扩展。你不熟悉也没事，这里只是想让你知道，黎曼积分的扩展是有多折磨。

由定义1可知，黎曼积分处理的是定义在闭区间  上的函数，限制较多。对于其它类型的区间，还得有专门的处理：

a. 区间  

需转换为闭区间上的积分后再求极限：

但必须保证函数  在任意闭区间  上是可积的。通常称这类积分为无穷限广义积分。

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b. 区间  

也得转换为闭区间上的积分后再求极限：

但必须保证函数  在任意闭区间  上是可积的。通常称这类积分为瑕积分。

上面只是对一维数轴上区间的扩展，到了多维的场景那就更麻烦了。在一维场景，黎曼和需要将闭区间划分为有限个小区间，那对于多维场景又应该对什么进行划分？应该怎么划分？需要计算怎样的和式？

a. 二重积分‍

对平面中可求面积的有界闭区域划分成有限个可求面积  的区域，计算和式

对于三重积分，则需要计算划分区域的体积，如此类推到更高维的情况。

b. 曲线积分

对空间中可求长的曲线段进行划分，每小段的长度为  ，计算和式

根据曲线是否有方向，还分为第一型曲线积分和第二型曲线积分。

c. 曲面积分

已知定义在区域  上的光滑曲面  。对区域  进行划分得到  ，相应得到曲面  的划分  ，计算和式

类似的，根据曲面是否有方向，也分为第一型曲面积分和第二型曲面积分。

区区微积分，就有这么多分支要处理。细枝末节那么多，就不能有统一的处理方法吗？

2. 测度论的积分

说了这么多黎曼积分让人难受的地方，是时候看看测度论的积分了：

定义2

已知  是测度空间  上的非负可测函数，  为任意满足  的非负简单函数序列，则如下定义  的积分：

其中  为满足  的任意非负简单函数。

定义2的描述是不是比定义1的简洁很多？有疑问的同学不用着急，先了解下概念就好，后续的系列文章会有详细讲解。

学过实变函数的同学都会发现，这不正是勒贝格积分的定义吗？没错，测度论的积分来自于勒贝格积分，但又有一点不同：测度论的积分所使用的测度不仅限于勒贝格测度！虽然更抽象，但又避免了各种实分析细节的纠缠。

细心的同学可能会有疑问，对于满足条件的不同函数序列  和  ，能保证  与  相等，从而保证  的积分值唯一吗？这正是测度论积分定义的重点和难点，也因此我个人更喜欢下面这个积分的定义：

定义3

已知  是测度空间  上的非负可测函数，如下定义积分：

其中  为满足  的任意非负简单函数。

定义2和定义3是等价的，它们都能处理第1节提到的黎曼积分各种情况。更多的细节我们留到后面的系列文章再说。

正如袁德美、王学军老师在《测度论基础与高等概率论》书中所说的：相较于黎曼积分的自然引入，测度论所使用的勒贝格积分显示了构造上的美感。