一题可破万题山（上篇）

一道好题的多解归纳

题记：

上周洛阳研讨会上，老师们热烈讨论的一道题目，题目不难，看似普通，却妙处无穷。现将各位老师提及的方法及自己的思考总结如下，以飨读者。

先用一句话概括此题：此题只应天上有，人间能有几回闻！

试题呈现：

如图，正方形ABCD的边长是6，其中，CE=2，CF⊥BE，求OF的长

首先此题不难推出：

勾股定理可求BE=2倍根号10

等面积法可求CF=3/5倍根号10

△BFC~△BCE可以得到BF的长度（也可以用设x用勾股定理求；射影定理求；三角函数求）为9/5倍根号10

∠BOC=90°，∠BCO=45°，tan∠CBE=1/3

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已知这些结论又该如何求解OF的长。那么现在就让我们从不同视角去寻找解法。

思考视角一：旋转

如图，此图形存在等腰，那我们旋转看一看。

很明显，此图为手拉手模型，

先说怎么作辅助线：

用旋转的眼光去想，但是写时得用推理的语言写：在BF上取一点F’使BF’=CF，

再说怎么求解：

由8字导角可得∠OBF’=OCF,再利用边等即可得图中两个阴影三角形全等，进一步可推△OFF’为等腰直角三角形，剩下的就是求解FF’的长度了。

利用FF’= BF-BF’=BF-CF即可得到答案

最后利用等腰直角三角形三边之比或者设x用勾股定理也可求解OF=                            

从旋转视角出发，还可以

绕点O逆时针旋转：

解答过程与上相同。

绕点B顺时针旋转：

此题利用一转成双，两对相似三角形可以求得OF

绕点B逆时针旋转

绕点C顺时针旋转

绕点C逆时针旋转：

思考视角二：四点共圆

四边形BOFC存在两个直角，可以想想是否四点共圆。如图，将四个点放到圆内，这样就变成了圆相关问题了，利用圆相关定理就能解决OF的长（记得北京孙老师首先想到此方法）

利用圆周角定理和垂径定理可以知道∠OBF=∠HGF,易知OG=FG=1/2BC，那么在Rt△HGF中，只要知道∠HGF的三角函数值，再列方程即可求解。

求解∠OBF的三角函数值有很多方法：

方法1：利用8字型BOHCF存在相似可以求解

方法2：利用12345模型可以秒出（参见下篇）

四点共圆还可以帮助解决旋转方法里所涉及的导角。

思考视角三：弦图

这是一个正方形，内部的折线还存在直角，那有没有可能考察弦图，可以试着画一画：

可以画出一个完美的弦图，为了更直观研究这个图形，我们给添上颜色：

从图中易证周围是4个全等的直角三角形。利用A字相似即可求解里面小正方形的边长，然后再求小正方形对角线即可得到答案。

当然此题也可用简化的弦图求解，也就是十字架模型，如图：

从这里由△BCE全等于△CGD得到CG的长，然后导多次相似，最后得到△HOF∽△HCB，进而就可以求解OF。

此方法过程比较繁琐，不过如果知道123模型，此题也可快速出答案。（123模型参见下篇）

思考视角四：相似或三角比

此题里面有很多相等的角，可不可以从相似的角度去思考呢？

如图

图中其实存在天然的相似，△BOF∽△BED，这个相似不容易看出来，它是一个反A字相似，（看反A和母子型，需要用旋转加位似的眼光来看）

只需要证明∠BFO=∠BDC=45°，证明方法：

由四点共圆可知；或者由两次8字导角可知；按照旋转的方法也可知道

除了这样，题中其实还存在天然的相似：

从图中容易得到△BOG∽△CFG, △BGC∽△OGF, 其中CF和OB的长度都是容易得到的，也就是相似比容易得到，这样OF的长度就可轻松求解。

此题用相似来解，关键就是导角导边，既然导角导边，那可不可以用强大的导角导边工具-三角函数来解决呢？如图作辅助线，

利用等腰直角三角形DIE，直角三角形BIE，直角三角形BHO，直角三角形OHG多次导角导比，即可求解。

在这里，段广猛老师提到要有一种大平面观的意识：整个平面内，只要角等就可以比等，比确定后，只要确定一边，就可确定另一边，这样不仅边与边紧密相关，而且边与角也紧密相关，从而整个平面就融为一体。

思考视角五：构直角三角形

这题可以构造直角三角形，利用勾股定理来解吗？

如图：

通过导角导边可知△OGF为等腰直角三角形，后面OF就好求了。

如图作GF⊥OC也是可以利用勾股定理求解。

郑州于老师提出如图作辅助线方法，方法是一边一角一垂线，灵感来源是佛经里说的一花一叶一菩提，其中利用∠CFO=135°，然后设X求解。此法令人印象深刻。

更令人惊奇的是，于老师还提到此题可用高中学习的余弦定理。详细参见下篇。

我们想了各种作辅助线的方法，其实能不能用最原始的方法呢？这里要求的OF是一条倾斜的线，那我把它放到一个横平竖直的直角三角形里是不是可求，也就是我作一些横平竖直的辅助线，如图：

利用直角三角形FLC可求FL和LC，然后再利用矩形FLKJ可知JK，最后利用直角三角形OJF可求OF

突然有一点大工不巧的感觉，前面想了这么多神奇的辅助线，其实用最简单的辅助线也可以解决。

思考视角六：面积视角

如下图，可以取BC中点G,然后得到斜边中线，接着求证DF=OD,OG=FG

得到DG为中垂线，然后利用△OGC的面积等于△OGD的面积（等积转换），而△OGD的面积可以用OJ*GD除以2表示（等面积法）即可算出OJ

进而OF即可求。

这里的解法涉及到了面积，其实除了这样还有一种鬼斧神工的面积法，

王老师说一眼看出OG=CF，为什么呢？

因为△BEC面积=△ODE面积=△BOE面积，这是由等高等底定理得到。

这样推出OG=CF，后面利用导角即可求解。

不得不说，有人就是有火眼金睛，天生直觉能力强。

思考视角七：造K字

作为改斜归正思想中的一种威力无穷的方法，这题可以用K字解决吗？

见直角可造K字，如上图两个绿色三角形为K字全等，这里不仅有一个K字全等，还有一对K字相似，如下图：

利用这两个K字，列方程即可求解。

点评：此法比较难以想到，不过计算量并不大，设x列方程会是一个一元一次方程。此法的使用说明的不是此法厉害，而是此题厉害，一道简单的题目既然包括如此多的方法，可谓包罗万象，气象万千。

思考视角八：坐标法

此类题目，当然可以采取简单直接的坐标方法解决

如图，利用垂直直线的比例系数互为负倒数的关系，可以求出CF解析式，然后联立CF和BE解析式可以求出点F坐标，最后利用两点距离公式可以求解出OF长度。

当然其实在算CF解析式也可以避免使用比例系数互为负倒数关系，如图：

利用十字架模型，可以比较快速地得到CF解析式。

这种建系法在解决中考几何填空题往往能起到绝境逢生的作用，不需要太多的几何构造思维，不过解决的题型比较有限，另外部分知识可能已经超纲，而且大量计算也是此法的一个弱点。

至此，此题解法对于一般初中生可以接受的思路方法就结束了。但是解题还没有结束，如果我们站在更高角度，能不能总结出此题所涉及的更高阶的通性通法？

预知后事如何，请看下篇分解。

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