【墨子沙龙】量子奇观： 从概率、复数，到量子干涉，到量子计算机
以下文章来源于墨子沙龙 ，作者Artur Ekert
Artur Ekert：量子物理学家，1961年出生于波兰弗罗茨瓦夫，1985年本科毕业于雅盖隆大学，1991年在英国牛津大学获得博士学位。目前，他是牛津大学和新加坡国立大学教授。
埃克特是量子信息科学的先驱之一，提出了基于纠缠的量子密码协议（E91协议），他也对量子计算理论和量子物理的其他分支做出了许多重要贡献。因其杰出成就，他获得了2019年度“墨子量子奖”在进入量子计算世界之前，我先介绍一下量子物理学。我将从概率和复数开始，然后，我将用一种非常有用的方法带大家了解量子物理学。您将了解到，量子物理学其实是一种新型的概率论，别无其他——量子物理学只是一种不同的概率计算方法而已。但是，这种不同的概率计算方法会产生很多奇异的结果。其中一个现象——量子干涉，将在本文多次出现。我们今天谈论的所有令人激动的新领域，如量子计算、量子通信等新兴科技的背后都存在着量子干涉。最后，我将简单介绍一些实用方面的内容，比如量子计算。
为了对量子物理有更为深入的了解，您需要了解一点概率论和复数的知识。要学习量子物理学，概率论和复数是您必须知道的两个基本数学概念。如果您还是学生，又对神奇的量子世界感兴趣，不要被人忽悠说这很简单。虽然这并不困难，但也绝不简单，因此您必须花一些功夫。我的意思是您必须学习一点数学。否则，您了解的只是一点皮毛。
而且，量子物理学家所使用的很多数学工具也都是基于这两个概念。其中，概率论可以定量地描述某些事件发生的可能性，而复数是实数的扩展。历史上非常有趣的一点是，发现这两者的碰巧是同一个人。
他的名字叫吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano），生活在16世纪的意大利。卡尔达诺先生是一名医生、占星家、最早对各种机械设备感兴趣的人，还是一位非常有成就的数学家，并且在16世纪的意大利知识界起着重要作用。他对赌博也很感兴趣。卡尔达诺先生试图量化获胜的机会，因此，他成了第一个提出概率思想的人。他的研究比法国数学家早了大约一个世纪。
卡尔达诺先生还对求解某些代数方程感兴趣，并试图找到系统求解的方法。他想到了负数的平方根，并试图发掘其意义。他将这些研究成果收在《大术，或论代数法则》（Ars Magna）中发表。卡尔达诺先生首次引入了复数，这是一项伟大的工作。一个新概念第一次出现了，这是我们追踪到的复数最早出现的地方。
因此，我们在量子物理学中使用的两个基本工具可以追溯到一个人，这真是令人惊讶！
但事实上，卡尔达诺先生对负数的平方根没花太多的功夫。他觉得那些数字太古怪、太灾难、太奇怪了，但是它们对任何事情都没有好处，所以他称它们无用。现在肯定不再是这种情况了，因为物理学、工程学、数学中一直都在使用复数。在开始量子物理学之前，请尝试理解复数。
对于那些觉得他们已经了解复数的人，我给你们出道题目：
图中算式最终推导出 1等于﹣1，这显然是个错误的结果。如果您真正了解复数，则可以理解在哪里出了错。我把问题留给你们，认真想一想，将有助于你更好的理解复数。
接下来我们说说另一个概念——概率，概率其实就是指某个事件发生的可能性。生活中我们一直在使用概率，比如我们预测明天大概有60％的概率会下雨，这是对我们很有帮助的信息。把概率量化是一件很有趣的事情，但这花了人们一些时间去思考，直到卡尔达诺先生提出基本的想法。然后，许多其他人试图把概率解释清楚。
其他许多人继续解释？这里你们可能会疑惑为什么，我们已经知道怎么定义概率了呀。计算A事件的概率就是先考虑所有可能发生事件的总数N，然后再看其中A事件发生的个数n。概率是一个比值：n/N。但是仔细思考，您会发现这当中为了定义概率，我们需要确立基本事件，然后您必须做一个假设——那就是所有的基本事件的发生都是同等可能的。
等一下，什么叫同等可能？这是一个可能性概念，噢，您发现了，这个定义中在使用可能性这一概念来定义可能性，这是循环定义的。事实上，在人们努力定义概率的不同方法中存在严重的问题，所以拉普拉斯、菲耐蒂、米泽斯等数学家登场了。如何定义概率，他们有各种各样的想法，大家感兴趣的话可以自己去详细了解一下。
当然，数学家会说，某种意义上这个问题已经澄清了。有一个叫柯尔莫哥洛夫的俄罗斯数学家，他说我不在乎概率的意义，概率就是满足我的公理集的任何事物，这公理集包括三条公理：1.概率是一个非负数；2.所有可能事件发生的总概率等于1，即所有事件概率相加为1；3. 概率满足 “可加性”，我们将对此进行更谨慎的审视，它表明独立事件的概率是可以加起来的，即如果有两个独立事件A、B，您想知道事件C = {事件A发生，事件B发生}的概率，那么只需将A、B独立发生的概率加起来就行了。很有道理，对吗？
这种美丽的概率数学理论，在数学上没有问题，但是大自然却不认可柯尔莫哥洛夫的概率可加性公理，如经典的双缝干涉实验。我们将在下面详细看看。
双缝实验，在任何一本量子物理学的书本中都可以找到，是量子物理中一个非常重要的实验。实验装置很简单，一个粒子源，一个带有两个缝的板，并且在板的另一边有一个探测器。我们记粒子走其中一条缝到达某一终点的概率为P1，走另一条缝的概率是P2。按柯尔莫哥洛夫的概率可加性公理，粒子到达这一终点的概率等于两个概率之和，即P1加 P2。但当我们实际运行这个实验的时候，结果却不是这样的。我们发现概率理论在这里不适用了。
概率理论在这里不适用意味着什么呢？显然我们不是在说数学家的理论是错误的，毕竟数学家不需要从物理工作中总结数学概念。但是，如果您想使用数学理论对某些事情进行预测，您就要跳出数学，您不能仅仅满足于逻辑一致性，您还要担心这一数学模型是否真的可以描述自然规律。
而事实证明，从这个角度看，概率论在量子领域是失败的，简单地利用柯尔莫哥洛夫的概率可加性公理并不能让您对实验数据做很好的预测。所以，得做点别的。为此，科学家提出了一个新的概念——概率幅，我们从概率幅得出概率，概率幅成为了新研究关注的焦点。什么是概率幅？它是一个复数。在此，概率论和复数在量子物理中相遇了。
量子物理中，概率幅对应的意义是什么？它的引入会带来什么样的神奇变化呢？事实上，在量子概率事件中，我们给任何事件或过程分配一个复数，然后用它们的模的平方来计算概率。然后您会发现，通过对概率幅相加而不是概率相加来计算概率，会给您一个有趣的预测：互斥事件的概率之和等于各自概率相加，以及还有一项数学表达式来修正结果。
例如在双缝干涉实验中，p1代表粒子走上方缝隙的概率，p2代表走下方缝隙的概率，p代表走上缝隙或下缝隙的概率。读者可以自行计算下p和p1、p2的关系，注意：p1和p2分别是复数α1和α2的模平方，而p是α（= α1 + α2）的模平方。很容易发现，p除了包含p1和p2之外，还包含另一项数学表达式，我们称之为干涉项。干涉项可以是正数，也可以是负数，这取决于您的量子设备，它是真正体现量子奇特的地方。
这得出一个令人惊讶的结果，您可以通过控制这最后一个表达式，来提高概率或降低概率！换句话说，您可以在一定程度上操纵某件事情发生的概率！这就是量子物理的力量！如果您能控制量子现象，那您就能提高某些事件发生的概率，或者降低某些事件发生的概率。
如果您不想深入地学习数学，请记住量子干涉的图像。量子干涉会修改概率！使用量子现象，我们可以增强也可以减少某些事情发生的可能性。物理学家怎么做到的呢？物理学家通过量子干涉仪来实现。到目前为止，我们可以使用光子、原子、离子，等等。只要控制这些量子对象，就可以引起量子干涉，更进一步，我们可以使用干涉现象来构建量子传感器、量子计量学和原子钟。
如果我们有很多粒子，并且它们相互相干，我们就可以将量子相干用于量子计算。那会怎么样？我们先来看看经典计算。
我们从最熟悉的计算机来开始思考，想象您的计算机是一个大型设备，它具有有限个不同的状态。一开始，我们让计算机处于某一特定的状态，我们将这一初始状态称做“输入”。从“输入”开始，我们可以一路跟踪计算进程，直到最终 “输出”。而计算可以看作是从一种状态转到另一种状态、再到下一种状态，……，最终到达某种最终状态即“输出”的过程。这输出就是计算机计算后给出的答案。
除了上述的经典计算，我们也可以以概率的方式来进行计算。例如，您的计算机可以基于扔硬币来做出决策，这意味着到达不同的状态具有不同的概率。而您所做的事情使您的计算机有可能遵循不同的计算路径，这就是基于经典概率的计算。计算机科学家使用这种类型的计算做了很多有趣的算法，这些算法依赖于这种计算方式。
接下来，我们来看看量子计算。如果我们在量子系统中进行这种类型的计算，有什么不同呢？我们会引入量子相干。根据前面的描述，我们知道，这时候计算路径就不仅仅是概率相加了，而是概率幅相加。而实际上量子计算的整个艺术，就是以一种巧妙的方式来利用量子相干。通过操控量子相干，您可以提高出现正确答案的机会，减少看到错误答案的机会。这就是量子计算的主体思想。
量子计算令计算机科学家非常兴奋，因为这种进行计算的方式，可以以某种方式轻松解决一系列难题。这涉及到一个词，叫做计算复杂度。您知道有一些数学问题很容易，而有些则很困难。怎么定量地去描述难易程度呢？一种量化的方法是，只考虑给定的算法，然后您用庞大的输入来运行它，观察它的执行时间。举一个简单的例子，如果您想知道乘法运算的算法是好是坏，高效还是低效，您要做的是，运行这个算法。逐步增加输入乘数的位数，从一位数开始，到两位数、三位数、……，并查看执行时间如何增加。如果随着输入位数的增大，执行时间至多呈多项式增长，那么我们可以认定这是一个高效的算法。但是，如果它似乎呈指数增长，那就有麻烦了，即使这种算法可以解决问题，但是会花很多的时间，有些甚至比您的一生还长，或者可能会用完内存或某些有限的物理资源。
基于此，物理学家和计算机科学家们定义了复杂性。他们称，一个问题能在多项式时间内解决，它就是经典问题，记为“P”。这意味着它们很容易，现在的计算机可以很好地处理它们。但是，如果一个问题能被算法以指数时间解决，这个算法就不是很好，这个问题是困难的。比如因式分解问题——将一个给定数字分解成质数的乘积，它是乘法的反向运算。我们知道乘法很容易，但是因式分解却不那么容易。这实际上是指数级困难的问题。如果我给您一个数字15，那么您会说，很简单，15等于3乘以5。但是，如果我给您更大的数，并继续增加这个数字的位数，那么在合理时间内分解它将越来越困难。哪怕拥有世界上最强大的计算机，随着位数的增加，仍然会达到无法企及的时间。但是我们相信量子计算机可以解决一些这样的难题，如因式分解问题，量子计算能使它变得很容易。在我们对量子计算本质的理解上，这是一个很大的成就。
现在，您可能会好奇，如果量子计算这么完美，为什么我们还没有量子计算机。这与量子相干有关——退相干。什么是退相干？退相干是由于量子计算设备中的不同组件会与所有事物交互作用，不仅限于计算机部分，通常还涉及与环境的交互。因此，真实情况是，由于许多我们无法控制的不必要的交互作用，计算过程中的相干基本上消失了。因此，量子计算失去了它应有的能力，甚至没有常规概率计算的能力。
那么我们可以建造量子计算机吗？我想通过一些建筑学的知识，来告诉大家目前在制作量子计算机进程中所处的阶段。
您在这里看到的是一座美丽的伟大寺庙，很漂亮，但是从工程师的角度来看，它是一个糟糕的结构。古希腊人知道如何建造美丽的庙宇，但是他们不知道如何用屋顶来覆盖巨大的区域，他们不知道该怎么做，因为他们没有相关知识。到了罗马时代，他们提出了拱门的概念，建筑进入下一个阶段。您知道吗？在建筑的历史中，建造拱门实际上是一件大事。您知道将石头堆在两侧，并且将它们向中心弯曲，大多数情况下它们会坍塌。但是，如果您设法爬到了顶部并铺上那块关键的石头，整体结构神奇地稳定下来了。突然之间，您有了一些了解，这个关键石头真的必不可少，将其移除会使整个建筑崩溃，而留下它，建筑就会稳定下来。而一旦有了拱门，我们就可以继续做拱顶，可以建造覆盖更大面积的建筑物。拱门是建筑学发展的不可或缺的一点。
我们以此类比，来了解构建量子计算机现在的发展方向。目前，我们正处在完成基本“单元块”的阶段，这相当于砖块，我们有很多逻辑“砖块”的知识。接下来是建造一栋美丽的建筑——一台量子计算机，但我们必须跨越一道门槛，然后才能建造拱门。这被称为容错计算，是物理学家们正在努力的方向。
现在阶段，您可以认为就是开始建造拱门和拱顶的时候了。而把建筑物建得更美丽宏大，是未来的问题。目前，我们知道如何将这些令人惊叹的“砖块”放在一起，但是我们目前还无法构建拱门，我们正处在建筑墙壁的水平上，就像那些美丽的希腊神庙一样。我们仍在等待新的突破，来建造拱门拱顶之类的东西，一旦到达那里，事情应该会更容易。但这仍然是一个悬而未决的问题。
（内容整理、节选自作者2019年在“墨子沙龙”的演讲）
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