看数学大神欧拉如何处理微积分？

大胆且简洁是欧拉研究的一大特色，仅从初等微积分便可略见一斑。

撰文 | 威廉·邓纳姆（William Dunham，美国穆伦堡学院数学教授）翻译 | 李伯民、汪军、张怀勇图片来源：rook76 / Shutterstock.com
无论按何种标准衡量历史上最杰出的数学家，莱昂哈德·欧拉都是其中的佼佼者。在永不枯竭的广泛兴趣的推动下，他使数学发生了彻底的变革，他一方面扩展了像数论、代数学和几何学这样一些早已确立的分支学科的研究范围，同时又创建了像图论、变分学和分拆论这样一些分支学科。数学界在1911年开始出版他的著作集《欧拉全集》，这本身就是一个巨大的挑战。到目前为止（编者注：本文出版于2005年），已经出版了70余卷，达25000多页，还尚未完成此项任务。这个耗费了将近一个世纪时间的庞大的出版项目，充分证明了欧拉与生俱来的过人数学天赋。
这种天赋在分析学中表现尤为突出。在已经出版的欧拉著作集中，就有厚厚的18卷近 9000 页是论述这门学科的。这些著作中包含了函数（1748）、微分学（1755）和积分学（1768）的里程碑式的教材，以及数十篇题材从微分方程到无穷级数以至椭圆积分的论文。因此，欧拉被描绘成“分析学的化身”。^[1]要在这短短一章的篇幅中公允地介绍这些贡献是不可能的。我们仅选择5个主题（编者注：本文仅节选前两个主题：微分和积分），以期能窥探欧拉的成就。首先从初等微积分的一个例子开始，介绍他大胆的——或许有人会说是不顾一切的方法，来说明他如此鲜明的工作特色。

无穷小量等于0

◆  ◆  ◆

欧拉在 1755 年写的《微分学原理》（Institutiones calculi differentialis）这本教科书中，给出了微分学的一些常见的公式。^[2]这些公式建立在“无限小量”概念的基础上，他对这一概念的特征描述如下。

毫无疑问，任何量都可以减小直到完全消失，以至最后不复存在。但是一个无穷小量是一种不断减小的量，因此，它在事实上等于0……同其他普通的思想一样，在这种思想中其实并没有隐含什么高深莫测的奥秘，使得无穷小的演算变得如此疑难重重。^[3]

对欧拉来说，微分dx就是零：既不多，也不少——一句话，什么也没有。因此，表达式x和x+dx是相等的，并且在必要时可以互换。他注意到“同有限量相比，无穷小量消失为零，因此可以忽略不计”。^[4]此外，像(dx)²和(dx)³这样的无穷小量的乘方比dx还要小，所以同样可以随意丢弃。
欧拉通常需要寻求的是微分之比，并且确定这个比值，这相当于对0/0赋予一个值，这是微积分的使命。正如他所说，“微分学的强大之处在于它同研究任何两个无穷小量的比值相关”。^[5]
我们以他对函数y=sin x的处理作为一个例证。欧拉从牛顿级数开始（其中我们使用现在的“阶乘”符号）：

用微分dx代换z，他推出

由于微分的高次方相对于dx或者常数是可以忽略的，这两个级数化简成
 
在等式y=sin x中，欧拉用x+dx代替x，用y+dy代替y（这对他来说没有任何改变），然后利用恒等式和式(2)，得到

从两端减去y=sin x，他得到dy=sin x+(cos x)dx-y=(cos x)dx。欧拉把这个结果变成一句口诀：“任意弧度的正弦的微分等于弧度的微分与弧度余弦的乘积。”^[6]由此推出，这两个微分的比值自然就是我们所谓的导数，。非常简单！

善用无穷级数

◆  ◆  ◆

欧拉是历史上最重要的求积专家之一，被积函数越是奇特，他做得越是得心应手。在他的著作中，特别在《欧拉全集》第17卷、第18卷和第19卷中，随处可见下面一类非同寻常的例子：^[7]

最后这个公式是超越函数一种多重组合的积分。

作为一个独特的典型，我们考察欧拉对的求积过程。^[8]

首先，他采用了一个备受推崇的策略：只要可能就引入一个无穷级数。

从式（1），他得到

 用积分的无穷级数代替无穷级数的积分，得到

形如的积分不禁使人联想到前一章的约翰·伯努利积分公式，而欧拉立即看出它们的递归形式：
 依此类推。正如前一章所见，，这说明在这样一些不定积分中用0代换x，相应的项变成零。
当欧拉将这个形式的结果用于式(3)时，他求出

这自然是第2章中的莱布尼茨级数，所以欧拉得到

从这个推导可以看出，欧拉同他的前辈们牛顿、莱布尼茨和伯努利兄弟一样，是对付无穷级数的（无畏的）高手。事实上，人们有理由说，在他的前辈数学家们的工作基础上，一种相当高的处理无穷级数的水平造就了这样一位早期的分析学家。

注释

[1] Eric Temple Bell, Men of Mathematics, Simon & Schuster, 1937, p. 139.  

[2] Leonhard Euler, Foundations of Differential Calculus , trans. John Blanton,Spriger-Verlag, 2000. [3] 同[2], p. 51. [4] 同[2], p. 52. [5] 同[2], p. 52. [6] 同[2], p. 116.  [7] 这些积分分别参见 Leonhard Euler, Opera omnia, ser. 1, vol. 17, p. 407, Opera Omnia, ser. 1, vol. 19, p. 227, Opera omnia, ser. 1, vol. 18, p. 8.  [8] Leonhard Euler, Opera omnia, ser. 1, vol. 18, p. 4.  

本文经授权节选自《微积分的历程》（人民邮电出版社，2020年9月版）第4章“欧拉”，小标题和图片为编辑所加。

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编辑：黄琦

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