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特级教师林俊：差异教学视域下的“阶段性”
差异教学视域下的“阶段性”
随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称为“2022版课标”）的颁布，阶段性与整体性、一致性一起闯入了人们的视野，引起了大家的关注。2022版课标中有关“阶段性”的表述比比皆是，如课程理念中的“核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同”，课程目标中的“核心素养具有整体性、一致性和阶段性”，教学建议中的“教学目标的设定要体现整体性和阶段性”，教材编写建议中的“教材内容要求着重关注核心素养发展的阶段性”等。阶段性表面上涉及到核心素养、教学目标、教学内容等诸多方面，实质上是体现了隐藏其后的不同学段学生和同一年段学生之间在年龄特点和认知特征方面的差异。所以，教学中需要我们整体设计、分段落实、区别对待。
看到“阶段性”，很容易联想到皮亚杰的认知发展阶段理论，他把儿童认知发展划分为四个阶段1：感知运动阶段（0～2岁）、前运算阶段（2～7岁）、具体运算阶段（7～11岁）、形式运算阶段（11～16岁）。小学阶段是儿童正式接受学校教育的起始阶段，具有十分重要的奠基作用。小学儿童认知发展主要处于“具体运算阶段”，认知发展水平处于前运算阶段向形式运算阶段的过渡时期，具有特殊而又重要的“阶段”特征，即儿童的思维已经具有了明显的符号性和逻辑性，能够进行逻辑运算，但仍需要具体事物的支持，具有守恒性和可逆性，去自我中心主义，进行群集运算。
由于小学阶段时间跨度长达6年之久，三个学段学生不同的年龄特征和心理特点，决定了他们的认知特征也是具有差异性、阶段性、递进性的。第一学段学生带有幼儿的学习特点，需要做好小幼衔接，第三学段学生即将升入初中，又要与初中学习方式接轨，需要做好小初衔接。因此，“阶段性”主要源于学生认知发展水平的不同阶段，受学生身心发展、知识经验、思维水平等方面的制约。知识技能的掌握、思想方法的渗透、认知结构的形成、核心素养的发展等，必须照顾学生的差异性，体现教学的阶段性和发展性。下面，结合对2022版课标的学习体会和教学实践，对“阶段性”在教学中的落实谈一些看法。
操作技能形成的阶段性
对于“画给定倾斜方向直线的平行线”这一挑战性任务，不同层次的学生表现出明显的差异。有的学生能够按照“一靠、二移、三画”的步骤，轻而易举地作图；有的学生费了九牛二虎之力还是无功而返；还有的学生在摆弄了半天的工具后，终于豁然开朗：转动纸张，使倾斜方向的直线呈水平状，然后按照“一靠、二移、三画”的步骤，顺利作出图形。课堂观察到，当有的学生想出这样的作图方法后，长长地喘了一口气，如释重负。教学中，对于不同层次的学生，我们应该允许他们画图方法的差异存在，新授课以“会画”为基本要求，“灵活地画”作为练习课、复习课的达成目标，允许学生学习速度上的不一致。
不仅不同层次的学生学习同一内容体现学习水平的阶段性，而且同一内容对于不同学段的学生而言也具有学习的阶段性。几何作图可以发挥其发展学生几何直观、空间想象、推理能力的育人目标。对于2022版课标新增加的“尺规作图”，刘加霞教授认为，要厘清“几何画图”“经典尺规作图”与2022版课标中的“初级尺规作图”的学习进阶层级。如“用直尺画5厘米长的线段”，与用两种不同尺规作图方法作“一条线段等于已知线段”属于三个不同学习进阶层级，具有明显的阶段性。她认为，从画图走向作图，体现出不同的推理与空间想象水平2。
水平1：度量思维水平。用有刻度的直尺画线段的本质是“单位线段的累加”或“数出已知线段长度中包含单位线段的个数”，这是度量思维的具体体现。
水平2：初级尺规作图水平（强调几何基本要素的关系，即课标要求）。2022版课标的要求是“作一条与给定线段长度相等的线段”，与经典尺规作图相比，相同点是：不关注给定线段的具体长度——舍弃线段的度量属性，只需要找到两个端点，用无刻度的直尺连接即可得到所求线段。不同点是：先利用直尺画一条直线，再在这条直线上选定一点，圆规一脚固定此点作为圆心，另一脚在直线上截取已知线段长，其交点为线段另一端点。
水平3：演绎推理水平（经典尺规作图）。《几何原本》第一卷命题2（过一点作一条线段等于已知线段）的作图方法是演绎推理水平，即培养学生从公理、已知命题出发进行严谨的作图以及推理，培养学生空间想象能力。
水平2与水平3相比，虽然也用了尺与规，但不需要从公理、已知命题出发的演绎推理过程，降低了推理难度，但仍然强调“两点”确定唯一一条“线段”，进一步认识“点”与“线”之间的关系，确信“两点之间线段最短”这一几何基本事实。
我们不妨把2022版课标中与尺规作图有关的内容作一梳理，并与相应的学习进阶层级对照，就会更好地理解和把握小学阶段不同学段作图的要求和增加尺规作图的必要性。
显然，第二学段的“尺规作图”，既不同于第一学段的“几何画图”，也有别于第四学段的“尺规作图”。第一学段、第二学段和第三学段、第四学段分别体现了从画图到作图的几何思维发展的三个层级，三种不同的作图要求具有明显的阶段性，是符合相应学段学生的认知规律的。
思维水平达成的阶段性
如有一个学生口算“10以内的加减法”速度特别慢，经过访谈了解到，原来他都是用扳手指的方法算的，处于动作性表征水平，难怪他口算速度这么慢！而其他同学能够借助表象达到映象性表征水平，或根据“数的分与合”，直接快速口算结果，达到符号性表征水平。不同的思维方式决定了不同的思维水平。教学中，不仅要关注学生学习的结果是否正确，而且要关注学生的学习过程是否合理，特别是要关注学生的思维过程，从而采取相应的策略促进学生思维水平的不断提升。
思维水平的阶段性除了受表征水平影响，还受学生知识经验的影响。低年级学生掌握的知识和方法较少，他们思考问题的方法就比较单一。如买2本数学本要6元钱，买4本同样的数学本多少钱？一般的学生都是用“归一法”解答：先求1本数学本多少钱，再求买4本同样的数学本多少钱；而极少有学生想到“倍比法”。如果学生认识了“倍”的概念，能够用“倍比法”解决的人数就会明显增多。而高年级学生知识经验丰富，解决问题的方法不仅多，而且可以看到学生之间思维水平的差异。如果高年级的学生再重做这道题，他们还会想出分数、比例等方法。再如：做一批零件，王师傅3天做了120个，正好完成了这批零件的1/5。照这样的速度，完成剩下的任务还要多少天？一般学生的解法是：（1）每天做多少个？120÷3=40（个）（2）这批零件有多少个？120×5=600（个），（3）还剩多少个？600-120=480（个），（4）还要多少天？480÷40=12（天）。这种思路按部就班，停留在整数范围内思考。思维敏捷的学生却能挣脱这种羁绊，能够敏锐地捕捉到关键信息“3天”与“正好完成了这批零件的1/5”之间的联系，作出巧妙的解答：3÷1/5=15（天），15-3=12（天）。显然，这样的学生已经超越了整数的思维模式，能够抓住本质，排除无关因素的干扰，在更为抽象的分数思维水平上建立数量之间的关系。思路更加简捷，思维更加高级。
在特定的学习领域，学生思维水平也存在明显的阶段性。范·希尔夫妇把几何思维水平划分为五种水平3：
水平1：直观化。起初，学生按照外观来识别和操作形状和另外一些几何图形。他们确认图形为直观化的格式塔。在识别图形中，他们经常用直观具体的样品。在这个水平上，学生却未意识到图形的性质，他们的推理为直觉所主宰。
水平2：描述/分析。学生通过图形的性质来识别图形并能确定图形的特征。通过观察、测量、画图和建模等手段经验地建立了性质。然而这个水平的学生看不出两类图形之间的关系。在这个水平，学生推理的对象是图形的分类，用那些与自己相一致的图形性质去思考。
水平3：抽象/关联。学生能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件；能理解几何领域的逻辑论证，有时甚至能提出这样的论证。他们能分层次将图形分类并给出判别它们类别的非形式化论证。在这个水平，学生推理的对象是图形分类性质。
水平4：形式推理。学生在公理化系统中建立定理。他们识别未定义术语、定义、公理和定理之间的差异。在这个水平，通过逻辑解释像公理、定义和定理的几何陈述，学生能进行形式推理。推理的对象是图形分类性质的关系。
水平5：严密性/元数学。学生在数学系统中进行形式推理。即便没有参照模型，他们也能研究几何，而且还能通过形式化地操作如公理、定义、定理等几何陈述进行推理。推理的对象是形式化构造间的关系。
在图形与几何领域的“图形的认识”主线4，第一学段，要求在对立体图形和平面图形的认识过程中，通过直观辨认和感知形成初步的空间观念；第二学段，要求在对立体图形和平面图形关系的认识过程中，感悟图形的抽象，逐步形成空间观念和初步的几何直观；第三学段，在对图形测量和计算的过程中，从度量的角度加深对图形的认识，理解图形的关系，进一步增强空间观念、量感和几何直观；第四学段，在对图形性质的研究过程中，核心素养的感悟由感性上升为理性，要求在建立空间观念、几何直观的基础上，逐步形成推理能力。
按照范·希尔夫妇几何思维水平划分标准，学生学习“图形的认识”模块呈现出不同的阶段特征：第一学段以直观辨认和感知为主，处于水平1“直观化”阶段；第二学段能够描述、分析图形的特征，处于水平2“描述/分析”阶段；第三学段学生能够在认识图形特征的同时，理解图形的关系，处于水平3“抽象/关联”阶段；第四学段学生在对图形性质的研究过程中，能够进行形式推理，从感性上升为理性，达到水平4“形式推理”阶段。明确了这些阶段特征，教学中我们就不会迷失方向，也不会降低或拔高要求。例如，对于角的概念，第一学段学习“角的初步认识”，只要直观认识角的图形，知道角有一个顶点和两条边组成，角的大小与两边张开的大小有关即可。第二学段学习“角”，要求知道从一点引出两条射线就形成一个角，角的两条边是射线；角也可以看作一条射线绕它的端点旋转而成的图形（不超过360º）。第四学段学习“角”，要求理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位。到高中阶段学生又知道了角有正负之分，并且角的大小可以突破0º ~360º的边界。
核心素养养成的阶段性
2022版课标指出，数学课程要培养的学生核心素养，主要包括三个方面：一是会用数学的眼光观察现实世界，二是会用数学的思维思考现实世界，三是会用数学的语言表达现实世界（即“三会”），并首次将义务教育阶段数学课程标准与普通高中数学课程标准的学生核心素养加以贯通（如下表），这是我们一线教师早就翘首以盼的大事，今朝终于实现，心情无比激动！
核心素养在不同阶段具有不同表现。小学阶段侧重对经验的感悟，初中阶段侧重对概念的理解。核心素养在小学阶段主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识；在初中阶段主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识。由此我们不难看出，作为初中阶段“数学眼光”主要表现的抽象能力，是以小学阶段的数感、量感、符号意识为基础的，后期还将发展为高中阶段的数学抽象6。这就要求我们把握好各个学段核心素养培养的尺度，不能缺位，也不能僭越，更不能偏离。
下图把数学核心素养及其表现概括得一览无余，从形式上看，划分为三大区域，将“三会”与对应的核心素养具体表现安排在同一大区，并用同一种色彩表示，这样三大区域一目了然；从色彩上看，同一大区中，同一种色彩又从外到内、用由浅入深的不同程度，表示从小学阶段到高中阶段核心素养各种具体表现之间的进阶关系。可以说，这幅图在形式和内容上达到了完美的统一。
第二学段：量感 空间观念 初步的几何直观
第三学段：量感 空间观念 几何直观
第四学段：空间观念 几何直观 推理能力 这样，一方面我们可以清楚地看出不同学段核心素养发展水平、层次、内容不同，说明核心素养的培养不是一蹴而就的，核心素养需要在数学学习过程中逐渐形成和发展，需要各个学段的密切配合、相互衔接，在完成本学段的核心素养培养目标的同时，为后续学段核心素养培养奠基。如第一学段结合有关内容的学习，形成和发展初步的空间观念，就为第二、三、四学段空间观念的发展做好准备。当然，后面三个学段空间观念的发展也不是一成不变的，随着学习内容的不断加深、变化，学生空间观念的发展必然会发生量的改变和质的提升。
另一方面，我们还要纵向看出核心素养表现的源流。从流向上看，小学阶段的量感到初中阶段要上升为抽象能力（作为重要组成部分），小学阶段和初中阶段的几何直观、空间观念到高中阶段要合并、上升为直观想象。从溯源上看，初中阶段的推理能力需要小学阶段推理意识的支撑。如果从这点来看，推理意识的培养就不能局限于数与代数领域，而应扩展到图形与几何等领域。小学阶段特别是第三学段要加强学生推理意识的培养。否则，学生到初中学习平面几何，将会难以适应形式化的逻辑推理。
总之，核心素养是在长期的教学过程中逐渐形成的，核心素养在不同学段的主要表现体现了核心素养的阶段性和各阶段之间的一致性。要依据核心素养的内涵和不同学段的主要表现，结合具体的教学内容，全面分析主题、单元和课时的特征，基于主题、单元整体设计教学目标，围绕单元目标细化具体课时的教学目标。充分发挥核心素养导向的教学目标对教学过程的指导作用，在实现知识进阶的同时，实现核心素养的进阶7。
参考文献：
1.陈英和,认知发展心理学[M].杭州：浙江人民出版社,1996：37~45.
2.刘加霞等,尺规作图的历史溯源、育人价值及教学建议[J].小学教学（数学版）,2022 (7-8)：22~24.
3.[美]D.A.格劳斯主编,数学教与学研究手册[M].上海：上海教育出版社,1999：499~501.
4.中华人民共和国教育部,义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社,2022：85~86.
5.中华人民共和国教育部,义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社,2022：2.
6.郭庆松,将数学育人落到实处[J].小学数学教与学,2022 (9)：23~27.
7.中华人民共和国教育部,义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社,2022：2
作者简介：林俊，江苏省扬州市育才小学副校长，全国首批、江苏首位小学数学正高级教师，江苏省特级教师，国家级骨干教师，江苏省教育科研先进个人。南京师范大学、扬州大学硕士研究生导师，扬州市小学数学名师工作室领衔人。江苏、浙江、山东、辽宁等省特级教师、正高级教师评审专家。2021年获江苏省基础教育教学成果奖一等奖。《小学数学教师》《小学数学教学》封面人物，倡导“差异发展”的教育主张。在《中国教育报》《天津师范大学学报》《小学数学教师》等报刊发表文章200多篇，应邀到全国各地讲学。
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