神奇的数学(VII) – 难不倒的无穷旅馆
“ 全世界旅馆经理的公敌来了…… 客人源源不断来，旅馆的房间够住吗？”
想象我们开设了一个旅馆，这个旅馆有很多房间，每一个房间都编了号，1，2，3，等等。如果这个旅馆只有10个房间，房间号就是从1号一直排到10号。如果规定一个房间只能住一位客人。如果来的客人比房间数目多，那么我们的旅馆就容纳不下所有客人，这个很容易理解。
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无穷多
假如我们这个旅馆有无穷多房间，排的房号正好是所有的自然数：1，2，3，…，那我们是不是就可以高枕无忧了呢？我们来试试看。
有一天，突然来了无穷多客人，他们也正好排了号：1，2，3，…。无疑客人数和房间数正好相等，每一个客人都住到自己号码相对应的房间去，就刚好把所有房间住满，完美。
然而我们客满了，这时又来了一个新客人也要住店，怎么办？因为每个房间都住满了，如果房间数是有限的，就没有办法安排新来的客人，但如果房间数是无限的，则有办法。方法是把1号客人移到2号房间，2号客人移到3号房间，3号客人移到4号房间。。。反正是有无穷多房间，每个客人都往前移动一位，最后就把1号房间空出来了。
当然，这个方法不仅对多来一位新客人有效，就是多来10位新客人，也可以如法炮制，方法是每个已经住店的客人往前挪10个房间就好了。
然而问题并没有结束，这时突然又来了无穷多客人怎么办？办法还是有的，我们把1号客人移到2号房间，2号客人移到4号房间，3号客人移到6号房间，也就是把第n号客人移到第2n号房间。这样一来，所有偶数号房间都住满了人，但所有奇数号房间就全空了出来。而所有奇数数目也是无穷多，实际就空出无穷间房间可以给新来的无数名客人住。
02
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阿列夫零
从上面的推理我们知道：
ϰ0 + 1 = ϰ0
ϰ0 + n = ϰ0 （n是任意一个自然数）
ϰ0 + ϰ0 = ϰ0
从上面的等式可以看出所有偶数的数目居然和所有自然数数目一样多。这一点与直觉很不相同。因为偶数集合是自然数集合的一部分，数学公理之一就是整体大于部分，但当人们讨论无穷时，部分却可以和整体一样大了！
然而事情还没有完，还有更神奇的结果。我们分析一下有理数。每一个有理数可以看成是一对整数的商，也就是一个有理数对应两个整数。那么应该有多少个不同的有理数呢？为回答这个问题，我们先看一个简单的例子。
假如一个人有三种不同颜色的上衣和两种不同颜色的裤子，那么这个人穿衣服能有多少种不同的组合搭配呢？答案很显然，2 × 3 = 6种。因为整数的个数是ϰ0，那么由两个整数组合起来的有理数个数应该是ϰ0 × ϰ0 （这里我们忽略不同整数对可以对应于同一有理数的特殊情况）。根据直觉 ϰ0 × ϰ0 应该远大于ϰ0，然而事实正相反，可以证明：
ϰ0 × ϰ0 = ϰ0
03
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解决问题了吗？
这也意味着所有整数的个数等于所有有理数的个数。那我们这个无穷旅馆甚至可以住下所有有理数那么多的客人，是不是很神奇。
那么能不能说我们的无穷旅馆可以解决任何无穷客人的住宿问题呢？可惜问题没有那么简单。至于客人多到什么程度我们的无穷旅馆才招架不住时，且听下回分解。