神奇的数学(IX) – 外星人和兔子
“ 上回分解到一大堆无穷多，我们再回过头看看趋近无穷多时会有什么有趣的现象。本回看看聪明的外星人和追不上乌龟的兔子。”
01
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聪明的外星人
一次一个外星人造访地球，他们的文明虽然更高级，但人类的文明也有自己的特点，所以深深吸引了他。在离开地球准备返回自己星球时，他说要把全地球的知识都要带回自己的星球。然而他所乘坐的飞碟比一辆轿车大不了多少，地球上的科学家都说，我们地球人类几千年积攒的知识，地球上最大的图书馆都不一定装得下，你小小的飞碟有多大空间，怎么能装得下？
这个外星人说，不难，于是从身上取出一个棍子。他解释说，我可以把人类全部知识包括所有图书馆的全部书籍都编成码，这数码当然很长很长。但我在这一长串数字前面加上一个0和一个小数点，全部人类知识就等同于一个比0大比一小的数字，我们不妨把这个数称为x。我在这根信息棒上标记一个点，让这根棒前端的长度比起整个棒的长度正好等于x。那么我只需要把这根信息棒带回去，就等于带回了整个地球文明。
地球上的科学家们听到这样一个简单的办法可以携带如此多的信息都感觉不可思议。
02
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追不上乌龟的兔子
龟兔赛跑中贪睡的兔子输给了乌龟，很不服气，想找个机会把面子挣回来。然而一个聪明人见到兔子说，一但乌龟领先了，你就再也追不上它。兔子说怎么可能，我的速度是乌龟的十倍，乌龟跑一米的时间，我都能跑十米，我怎么会追不上它。
这个人耐心地解释说，比如乌龟在你前面100米。等你跑到乌龟当前的位置时，乌龟又往前跑了10米，等你再度追到乌龟第二次的位置时，乌龟又往前跑了一米，你再追到它，它又跑了0.1米。总之，虽然你每次追上它前一刻的位置，你和它的距离就缩短一些，但总还不是零，这样你就永远都追不上乌龟。
03
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无穷多与无穷小
当然上面讲的两个故事都只是故事而已。首先还没有外星人访问地球，而且即使有，它的那个办法也很难奏效。原因是如果把地球全部知识编成一串数码，大概至少要几千亿位，把它变成小数要精确到小数点后几千亿位，没有什么技术在一根棒子上刻点可以达到那么高的精度。不过这只是数学故事，而不是物理故事。物理上实现不了的事在数学上到并不难。所以这个故事还算有那么一丝真实性吧。
至于第二个故事则和直觉完全相反，经验知道只要兔子跑起来，追上乌龟是轻而易举的事。那么故事中的悖论应该怎么理解呢？其实这个悖论可以用另一个方法更简单地描述出来。
一个人在房间里永远走不到门口。为什么？因为这人走到一半距离时，还剩下一半距离，再走完剩下一半距离时，还剩下四分之一的距离，再走完剩下的一半时，还会剩下八分之一的距离。总而言之，虽然剩下的距离越来越短，但这人总是要走过无穷多段的距离才可以来到门口。