神奇的数学(X) – 宇宙圆舞曲

“ 数学为人类展开无限的世界，它在无声地演奏一首宇宙圆舞曲，见证着我们每一个人的一生。”

数学为人类展开无限的世界，而我们这个神奇数学系列则是有限的。在这无穷世界中，这个系列只能汲取极其微小的一部分让好奇的读者可以窥见一丝无穷的奥秘。

从前面几篇我们已经看到当讨论的对象达到无穷时，一些在有穷空间的规律要被打破。

01

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整体部分VS结合交换

第一个被打破的是全体与部分关系的规律。在有穷空间中，全体大于部分，但这个规律在无穷世界中并不适用。例如虽然偶数是自然数的一部分，但偶数的数目和自然数的数目一样多。这一特别现象或许可以帮助神学家解释许多难以解释的神学问题。

比如为何完美的神会造出一个不完美的世界。为了解释这一现象，神学家们煞费苦心，甚至发明了一种介于人神之间东西半神(demigod)，认为半神具有神的创造力但却没有神的完美，而人类世界是由半神所创造，所以并不完美。这是这个假设只是把前面的问题往后推延了一下。因为人们不禁会问，不完美的半神又是谁创造的呢，如果是神创造的，那么为什么会不完美，如果不是神创造的，那就和万物都由神的创造而存在相矛盾。总之难以自圆其说。

但如果考虑到无穷这个概念，上面问题的矛盾就容易解决，因为神的完美是在无穷中体现，从无穷中可以分出一个有穷的部分，它是全部的一部分，但因为有穷所以不完美。比如从自然数中只取出从1到10十个整数。这十个整数确实来自于无穷的自然数，但它们却是有穷的。

第二个被打破的是结合律和交换律。a + b = b + a，这是交换律。(a + b) + c = a + (b +c)，这是结合律。它们是算术的基本公理，无法证明但也无容置疑。只是人们发现在有限项运算中正确的结合律和交换律在无穷序列中会失效。这一惊异现象让人意识到把有穷世界的经验套到无穷世界中会多么错误。给出一个无穷序列中交换律和结合律失效的例子并不难，只是限于篇幅这里就不多介绍，将来这个系列出增补时再争取补上。

02

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小概率事件的不可行性

第三个被打破的则是小概率事件的不可行性。在有穷世界中的小概率事件被认为是不可能发生的事。比如一个玻璃杯子从桌子上掉下摔成一堆玻璃渣是可以实现的，但地上的一堆玻璃渣自动跳起来回到桌子上变成一个杯子是不可能实现的。这是由热力学第二规律就是熵增规律决定的。然而仔细研究热力学第二规律，熵增是大概率事件，熵减则是小概率事件，而这个小概率事件的可能性是如此之小，人们认为它完全不可能。然而如果给无穷长的时间或无穷多的机会，任何小概率事件，只要这个概率不是零就终究会必然实现。这也就是说，给你无穷多的观测机会，你终会发现一些地上的玻璃碎片会自动飞起来跳到桌子上而还原成一个完整的玻璃杯子。

几天前一个政治评论家在回答对未来世界走向时这么巧妙地回答，现状不可描述，未来不可预测，一切皆有可能。然而这个一切皆有可能放到无穷世界中则变成一切都必然实现。

任何数乘以零都还是零，唯有无穷乘以零无法定义，因为可能是任何数。我父亲是个中学数学老师，他有一次给学生讲课时就试图介绍这个概念。他说世界上本来没有人，但经过无穷的时间，就产生了人。

03

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宇宙圆舞曲

在本系列结束之前，我们再看一看小学就学过的一个常用数字π。π是一个常数，是圆周长和直径的比。公元五世纪中国数学家祖冲之就计算出π到小数点后七位精度。然而直到十九世纪末人们才知道π原来还是一个超越数。π的序列如此神奇，以至于激励人类创造各种记录。比如有人可以背诵π到小数点后十万位，而现在计算机更是把π的精度计算到小数点后10万亿位。10万亿位到底有多大，如果我们把π的小数点后10万亿位全部打印到普通的A4纸上，这些纸张摞起来会有10座珠穆拉玛峰叠起来的高度。当然读过本系列的读者都明白这些数字虽然看起来很大，但和无穷相比还只是相当于零。

更有甚者，有人还把π当作乐谱输入电子钢琴中演奏，居然也弹奏出神奇的旋律。因为π是圆的化身，我们可以称之为宇宙圆舞曲。

宇宙圆舞曲有什么特殊之处，因为π序列的随机分布性（虽然未被证明，也许永远无法证明，但没有理由认为它不是，所以我们先睁一只眼，闭一只眼地认定它是）说明任何序列都有可能在里面出现，而它的无穷性使得任何可能都变成必然。这就意味着只要你有耐心听这首宇宙圆舞曲，早晚你会听到人类创造过的一切旋律，无论是巴赫的赋格，肖邦的夜曲，还是贝多芬的交响曲都包含其中。而且更妙的是我们每个人的一生，如果谱成乐器也早晚会出现在这首宇宙圆舞曲之中。

我们环顾四周，哪里见不到圆。从太空中的星球，路上奔驰的车轮，到手腕上的手表，还有微观世界的各种粒子，到处都是圆的身影。而每一个圆都有π融合其中，都在无声地演奏这首宇宙圆舞曲，都在演奏我们每一个人的一生。