集合论和逻辑推理 (I) - 数学危机
数学不仅是研究自然科学的根本工具，也是人类理性思维的产物，在数学史上出现过三次危机，每一次危机都曾动摇数学的根基，直接挑战理性本身的合法性。虽然危机已基本度过，但留下的阴影依然让人心悸。
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一点声明
亲爱的读者，在开始阅读本系列之前，我先表态，虽然这个系列探讨艰深的基础数学问题，但不要担心，我会略去那些只有数学家才能看得懂的古怪公式，计算机才能完成的复杂计算，还有那哲学家才能理解的抽象概念，只把最核心的精髓用直白的语言表达出来。你不需要太多的数学知识，只要有初中生数学的基础，就应该没有困难地理解绝大部分内容。
另外这只是科普文章，而非数学论文，所以某些表达未必严密，但保证核心思想不会有太大偏差。
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数学家的矜持
数学不仅是科学研究，日常生活中必不可少的基础工具，它更是人类纯理性思维的最高结晶。
许多人会以为数学是科学，然而这种观点会让一些数学家感到遭受侮辱。因为科学是通过观察研究人类生存的这个物质宇宙，科学研究需要观察，需要测量，需要实验，而且没有办法保证自己的结论不被新的实验数据所推翻。
然而数学家则没有这么世俗，他们需要的只是一个能够严谨思维的大脑，剩下的就是一支笔和一张纸把大脑思维的产物记录下来而已。当他们仔细检查完自己的推演和证明并确信准确无误时，他们不屑用任何实验来验证他们的结论。如果真有人做实验并表示他们的结论错误时，他们会说，错误的只能是你们的仪器，而不是理性的思维。
最为纯理性思维的产物，数学高于其他思维产物比如说艺术和哲学的地方在于以下两点：
第一是表达的精确性，人们在许多领域都会有辩论，比如说哲学。然而仔细研究他们的辩论，很多时候是概念定义的混淆不清造成的，比如什么是上帝，什么是爱，什么是存在，这些术语本身就没有一个普世认可的精确定义。如果概念的定义都不清楚，那么辩论的命题就更加含混不清，所以很多分歧都来源于问题本身的模糊。
第二是结论的自洽性，也就是没有矛盾，这才能构成一个坚实的基础。正因为这两个属性，数学结论的可靠性才毫无争议地矗立在人类对真理认知的最高处。
然而数学的发展却无法始终让数学家保持这种高傲的矜持。几千年来，数学共经历了三次危机，每次危机都动摇数学的根基。注意这些危机并非只是动摇一些抽象的理论，而是直接动摇人们对纯粹理性的信心。
（数学危机并非是理想的危机，而是让人更清楚地认识理性）
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第一次危机
第一次危机发生在公元前500年古希腊，那时的毕达哥拉斯学派建立起第一个现代数学的雏形。
当时毕达哥拉斯特别推崇数，认为数是万物的起源。而他的数主要是指自然数，也就是正整数。除此之外是分数，也就是两个整数的比。这些数被统称为有理数，认为它们是理性的产物。
因为有理数是无限密集，也就是任何两个大小不等的有理数之间都可以插入新的有理数，于是当时人们相信有理数就是所有的数。
毕达哥拉斯还有一个重要的数学贡献，就是发现了勾股定理，任意直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。这是我们中学就学习过的数学定理。
然而毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现两个直角边长度都等于一的等腰直角三角型的斜边长度是根号2，而根号2无法表示成两个整数的比值。这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的信仰。为了维护权威，他们对这个数字保密，然而最后还是被希帕索斯不小心泄露出去。
毕达哥拉斯大怒，于是判决淹死希帕索斯。然而虽然希帕索斯被淹死了，但那个该死的证明却无法被淹死。
这件事之后，人们发现算术方法构造的数，都可以用几何方法构造出来，但几何方法构造的数，却未必能用算术方法构造出来，于是古希腊人开始更加注重几何，其代表人物就是欧几里得，他的伟大贡献就是开创了建立在公理系统上的平面几何学，同时数的崇高地位也受到挑战。
不过一次危机也带来一次机遇，通过这次危机不仅激发几何学的发展，也第一次引入无理数概念，大大促进数学的发展。因为无理数要比有理数多得多，而且人们发现并非所有的数都可以构造出来，其实大部分数都无法构造。
（一个根号2，送了希帕索斯的命，动摇了毕达哥拉斯学派的基础，推进了几何学的发展，让人们第一次窥见无穷的神秘）
04
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第二次危机
第二次危机的隐患实际也在古希腊时代就被埋下。但是直到两千年后的十九世纪，这个问题才算基本解决。
这个危机就是怎么理解无穷小。所谓无穷小，就是比任何正数都要小，但它又大于0，这到底是个什么样的数，或者说是什么样的怪物，因为人们很难理解它到底是不是一个数。
古希腊时代人们就掌握用穷举法来无限逼近某个数值。比如可以用多边形计算圆周，当多边形的边变得无穷多的时候，多边形的边长就无限接近圆周长。
然而这种无穷小的概念会引起许多悖论。比如古希腊哲学家芝诺的悖论，阿喀琉斯(古希腊著名的勇士)追不上乌龟。假设乌龟爬1米，阿喀琉斯可以跑10米。开始乌龟在阿喀琉斯前面10米处，等阿喀琉斯追到乌龟开始的位置时，乌龟已经往前爬了1米，等阿喀琉斯追到乌龟第二次的地方，乌龟又往前爬了0.1米。。。就这样每当阿喀琉斯追到乌龟前一时刻所在的地方，乌龟总会往前爬一点，虽然每次爬的距离都会缩短，但永远大于0，所以推出阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
然而我们知道阿喀琉斯肯定追得上乌龟，那么这个悖论的关键在哪里呢？关键在于无穷小的性质。
关于无穷小的争论到17世纪当牛顿和莱布尼兹发明微积分后更加激烈。微积分涉及到无穷小的运算，但无穷小到底是不是数，没有人可以解释清楚。虽然微积分在工程应用中非常成功，但因为无法精确解释无穷小这个概念，所以长时间遭受人们对它的诟病。
特别是爱尔兰神学家和哲学家贝克莱主教，他和洛克，休谟被认为是经验主义哲学的三大代表人物，非常严厉地批判牛顿的理论。在他《向异端数学家发表的演说》中说到，牛顿引入的那个无穷小变量，一会儿说它不是0，一会儿又说它是0，它到底是0还是不是0（笔者注：在用无穷小进行运算时，加减法中可以当0，乘除法时则不当0）。他于是称这个无穷小变量是一个“死变量的幽灵”。
贝克莱的批判虽然更多出于神学目的，但他的指摘却击中要害。当时牛顿并没有办法解释无穷小到底是个什么东西。
很多年后，数学家才总算给无穷小找到一些比较体面的定义，一个是使用序列。比如说1/n，其中n是一个自然数，当n趋于无穷大时，这个序列就趋于0，但还不是0，就是一个无穷小。
这个方法虽然在计算上行得通，但无穷小不再是一个数，而变成了一个序列。然而序列只是构造的方法，而构造的结果到底是什么依然说不清。
对于无穷小的另一个解决方法是引入一种新的数学分析，被称为非标准分析，非标准分析引入超实数概念，超实数除了一般实数外，又引入无穷大和无穷小两个数，通过非标准分析可以得出大部分数学分析的结论。
超实数超出人类的经验范畴，属于纯粹理性的产物。如同在现实生活中引入上帝这个概念一样，虽然超出经验，但在很多情况下信仰上帝者和不信上帝者可以和平共处。
总结一下，使用无穷小需要有正确的数学直觉，因为它超出任何客观经验，只存在于人的理性思维之中。它的出现代表有限的物质世界与无限的精神世界之间一种难以调和的矛盾。
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